第12节 反比例函数及其应用（课件PPT）-【练客中考】2025年浙江数学总复习新思路

数学 课堂精讲本 2025版 1 第12节 反比例函数及其应用 2 1 知识梳理 夯基础 2 题型精讲 攻重难 3 浙江真题 随堂测 3 01 知识梳理 夯基础 4 知识点 一 反比例函数的概念 1.概念：形如为常数，的函数叫作反比例函数.其中 是自变 量，是关于的函数， 叫作比例系数. 2.其他表达形式：或 . 1.若是反比例函数，则 的取值为( ) A.1 B. C. D.任意实数 √ 返回目录 5 知识点 二 反比例函数的图象与性质 大致图象 _____________________________ _______________________________ 所在象限 第①________象限， ______ 第③________象限， ______ 增减性 在每一个象限内，随 的 增大而⑤______ 在每一个象限内，随 的增大 而⑥______ 图象特征 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，曲线两端无限 接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 一、三 同号 二、四 异号 减小 增大 返回目录 6 对称性 关于直线⑦_______________成轴对称；关于⑧______成中 心对称 与 原点 返回目录 2.关于反比例函数 ，下列结论正确的是( ) A.图象位于第二、四象限 B.点 在它的图象上 C.当时，随的增大而减小 D.若图象经过点，则 3.若正比例函数与反比例函数的图象交于点， ， 则点 的坐标为( ) A. B. C. D. √ √ 4.若点，，在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 返回目录 8 知识点 三 比例系数 的几何意义 在反比例函数为常数，的图象上任取一点 ，过这一 点分别作轴、轴的垂线，，与坐标轴围成的矩形 的面积为 ,则 ____. 返回目录 9 5.如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点 作 轴，垂足为.若的面积等于4，则 的值等于____. 第5题图 返回目录 10 知识点 四 反比例函数表达式的确定 1.待定系数法 （1）设反比例函数的表达式为<m></m>； （2）将图象上的一点<m></m>代入表达式得<m></m>； （3）确定反比例函数表达式为<m></m>. 2.根据<m></m>的几何意义求解 （1）当面积已知时，可以考虑利用<m></m>的几何意义求解； （2）由面积得<m></m>，再结合图象所在象限判断<m></m>的正负，从而得出<m></m>的值， 最后代入表达式. 返回目录 11 6.已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则 的 值为___. 3 第7题图 7.如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，是的中点，连接，，若 的面积 为3，则 的值为_____. 返回目录 12 知识点 五 实际问题中常见的等量关系式 1.行程问题：速度 ； 2.工程问题：工作效率 ； 3.压强问题：压强 ； 4.电学问题：电阻 . 返回目录 13 8.节能环保已成为人们的共识，小丽家计划购买500度电，若平均每天用 电度，则能使用 天.下列说法错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍 √ 返回目录 14 02 题型精讲 攻重难 15 题型 一 反比例函数的图象与性质 例1 已知反比例函数 . （1）该反比例函数的图象在第________象限，且在每一个象限内， 的值 随 的增大而______（填“增大”或“减小”）； 一、三 减小 （2）下列各点在此函数图象上的有_______（写出代表点的字母）； A. B. C. D. E. F. （3）若点,在该反比例函数的图象上，则的值为____, 的值为____； 32 √ √ √ √ 返回目录 16 （5）根据图象，当时，自变量的取值范围是__________；当 时， 的取值范围是__________. （4）若点在该反比例函数图象上，则点 ____该反比例函数图象上（填“在”或“不在”）； 在 返回目录 17 变式1-1 （2024滨州）点和点 在反比例函数 为常数的图象上，若，则， ，0的大小关 系为( ) A. B. C. D. 比较反比例函数 值的大小时，在同一象限内，根据反比例函数的性质进 行比较；在不同象限内，不能按其性质比较， 值的大小只能根据符号特 征确定. √ 返回目录 18 变式1-2题图 变式1-2 （2024新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线交于，两点， 轴 于点，连接交轴于点 ，结合图象判断下列结论： ①点与点关于原点对称；②点是 的中点；③在 的图象上任取点和点 ，如果 A.1 B.2 C.3 D.4 ，那么； .其中正确结论的个数是( ) √ 返回目录 19 变式1-3 （2023泰安）一次函数与反比例函数 ，为常数且均不等于0 在同一坐标系内的图象可能是( ) A. B. C. D. √ 返回目录 20 题型 二 反比例函数与几何图形结合（含 的几何意义） 例2题图 例2 （2023宁波16题）如图，点， 分别在函数 图象的两支上（ 在第一象限），连接 交轴于点.点，在函数 图 象上，轴，轴，连接， .若 ，的面积为9，四边形 的面积 为14，则的值为____， 的值为___. 12 9 返回目录 21 变式2-1题图 变式2-1 （2024龙东）如图，双曲线 经过 ，两点，连接，，过点作 轴，垂足为 ，交于点，且为的中点，则 的面积 是( ) A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 √ 返回目录 22 变式2-2题图 变式2-2 （2024通辽）如图，平面直角坐标系中， 原点为正六边形的中心，轴，点 在双曲线为常数， 上，将正六边形 向上平移个单位长度，点 恰好落在双 曲线上，则 的值为( ) A. B. C. D.3 √ 返回目录 23 易错点 反比例函数的增减性 例 （2024浙江9题3分）反比例函数的图象上有 ， 两点.下列正确的选项是( ) A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， √ 【错因分析】反比例函数中比较自变量或因变量的大小时，必须讨论在每 一个象限内的情况，和在不同象限内的情况，不能笼统地认为反比例函数 的增减性是连续的，而导致情况讨论不全面. 【思考总结】____ 返回目录 24 03 浙江真题 随堂测 25 （建议用时：20分钟） 命题点 一 反比例函数图象与性质（2024.9） 第1题图 1.（2022温州21题）已知反比例函数 的 图象的一支如图所示，它经过点 . （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图 象的另一支； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 解：把点代入 ， 得，解得 ， 反比例函数的表达式为 . 补画该函数图象的另一支如图； 第1题图 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 （2）求当，且时自变量 的取值范围. 第1题图 解：当时，，解得 ， 当，且时，或 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 2.（2020杭州20题）设函数， . （1）当时，函数的最大值是，函数的最小值是 ，求 和 的值； 解：， ， 随的增大而减小，随 的增大而增大， 当时，最大值为 ，①； 当时，最小值为 ，②； 由①，②得， ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 （2）设，且，当时，；当 时， .圆圆说：“一定大于 ”.你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 解：圆圆的说法不正确，理由如下： 设，且，则， ， 当时， ， 当时， ， ， 圆圆的说法不正确. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 命题点 二 反比例函数与几何图形结合（含 的几何意义） 第3题图 3.（2021温州9题）如图，点， 在反比例函数 的图象上，轴于点， 轴于点，轴于点，连接.若 ， ，，则 的值为( ) A.2 B. C. D. √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 第4题图 4.（2023绍兴15题）如图，在平面直角坐标系 中，函数 为大于0的常数， 图象上的两点， ，满足， 的边轴，边轴， 若 的面积为6，则 的面积是___. 2 第5题图 5.（2020温州15题）点，，在反比例函数 （常数， ）图象上的位置如图所示，分别过这 三个点作轴、 轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从 左到右依次为，， .若， ，则 的值为_ __. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 第6题图 6.（2021宁波15题）在平面直角坐标系中，对于不在坐 标轴上的任意一点，我们把点，称为点 的 “倒数点”.如图，矩形的顶点为，顶点 在 轴上，函数的图象与交于点.若点 或 是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则 的面积为_ ____. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 第6题图 [解析] 设点的坐标为 点是点 的“倒数点”， 点坐标为， 点的横纵坐标满足 ， 点在反比例函数上， 点不可能在， 上，分两种情况：①点在上，由轴， 点 ， 点的纵坐标相等，即，（负值舍去）， 点 纵坐标为1， 此时，；②点在上， 点 横坐标为3，即 ， 点纵坐标为，此时， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 命题点 三 反比例函数与一次函数结合 第7题图 7.（2023宁波7题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于，两点，点 的横坐标 为1，点的横坐标为，当时， 的取值范围是 ( ) A.或 B.或 C.或 D.或 √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 8.（2022杭州20题）设函数，函数，， 是常 数，， . （1）若函数和函数的图象交于点，点 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 ①求函数， 的表达式； 解：把点代入，得 ， 解得， 函数的表达式为 ; 把点代入，解得 ， 把点，点代入 ， 得，解得 ， 函数的表达式为 ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②当时，比较与 的大小（直接写出结果）； 解：当时， ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 （2）若点在函数的图象上，点 先向下平移2个单位，再向左平 移4个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求 的值. 解：由平移，可得点坐标为 ， ，解得， 的值为1. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 命题点 四 反比例函数的实际应用 第9题图 9.（2023温州15题）如图1，在温度 不变的条件下，通过一次又一次地对 汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对 汽缸壁所产生的压强 与汽缸 内气体的体积成反比例， 关 于 的函数图象如图2所示.若压强由 20 加压到，则气体体积压缩了____ . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 第10题图 10.（2023台州20题）科学课上，同学用自制密度计测量液体 的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 （单位：）是液体的密度 （单位： ）的反比例函 数，当密度计悬浮在密度为的水中时， . （1）求关于 的函数表达式； 解：设关于 的函数表达式为 ， 把，代入表达式，得 ， 关于 的函数表达式为 ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度 . 第10题图 解：把代入，得 ， 解得 . 答：该液体的密度 为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 请完成《课后作业本A》P16～17习题 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 43 44 $$