第7节 一元二次方程及其应用（课件PPT）-【练客中考】2025年浙江数学总复习新思路

数学 课堂精讲本 2025版 1 第7节 一元二次方程及其应用 2 1 知识梳理 夯基础 2 题型精讲 攻重难 3 浙江真题 随堂测 3 了解一元二次方程的根与系数的关系. （删除“*”，改为必学） 返回目录 4 01 知识梳理 夯基础 5 知识点 一 一元二次方程 1.概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程. 2.一般形式：,,为已知数，，其中,, 分 别是二次项、一次项和常数项，, 分别是二次项系数和一次项系数. 1.关于的一元二次方程.若 ，则该方程 必有一个根是( ) A. B. C. D. √ 返回目录 6 知识点 二 一元二次方程的解法 1.公式法：适用所有一元二次方程，解题步骤如下： （1）将方程化为 的形式； （2）确定，， 的值（注意带上“符号”）； （3）求出 的值； （4）若，则代入求根公式①_ ______________，解出， . 2.开平方法：适用于（1）形如 ; （2）形如___0 . 返回目录 7 3.配方法：适用二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程, 解题步骤如下： （1）移项：将常数项移到方程的右边； （2）变形：将二次项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上③______________________，写成完全平 方的形式； （4）求解：用直接开平方法解方程. 一次项系数一半的平方 返回目录 8 4.因式分解法：适用以下方程 （1）方程缺少常数项，即方程 ； （2）一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积， 即方程 ; （3）方程两边含有相同的因式. 返回目录 9 2.用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 3.（1）解方程： （利用公式法）； 解： ， ，， ， ， ， ， ; √ 返回目录 10 （2）解方程： （利用配方法）； 解： , ， ， ， ， ， ， ； 返回目录 11 （3）解方程： （利用因式分解法）. 解： ， ， 或 ， 解得， . 返回目录 12 知识点 三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.根的判别式 一元二次方程 的根的判别式为④__________. 2.根与判别式的关系 （1）___ 一元二次方程 有两个 不相等的实数根； （2） 一元二次方程 有两个 ⑥______的实数根； （3） 一元二次方程 ______实 数根. 相等 没有 返回目录 13 3.根与系数的关系 若，是一元二次方程 的两根，那么 _ ___； __. 返回目录 14 4.已知关于的方程 . （1）若该方程有实数根，则 的取值范围是_ _______； （2）若该方程为一元二次方程. ①该方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围为_________________； ②该方程有两个相等的实数根，则 的值为____； ③该方程没有实数根，则 的取值范围为________. 且 5.已知一元二次方程的两根为，，则 ____. 返回目录 15 知识点 四 一元二次方程的实际应用 1.平均变化率问题（设起始量为，终止量为 ） （1）若连续两次增长，平均增长率为，则 ；（2）若连续 两次下降，平均下降率为，则 . 2.循环问题 （1）握手总次数：为人数，且 （单循环问题）;（2）互赠 礼物总份数：为人数，且 （双循环问题）. 返回目录 16 3.面积问题 4.每每问题 若单价每涨<m></m>元，少卖出<m></m>件，则涨价<m></m>元，少卖出的数量为<m></m>. 返回目录 17 6.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均 每人传染了 人，则可得到方程( ) A. B. C. D. 7.某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续 两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是______. √ 返回目录 18 8.某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每 月可销售200件.父亲节来临之际，该店实行降价促销.经调查发现，这款男 士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件.当每件男士短袖降价多 少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8 000元？设每件男士短袖降价 元，可列出方程为_________________________________. 返回目录 19 02 题型精讲 攻重难 20 题型 一 一元二次方程的解法及解的应用 例1 （2024广州）定义新运算： ，例如： ，.若，则 的值 为_ ______. 或 变式1-1 （2024河北）淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求 得的答案比正确答案小1，则 ( ) A.1 B. C. D.1或 变式1-2 （2024赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为( ) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 √ √ 返回目录 21 题型 二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 例2 （2024上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A. B. C. D. 变式2-1 （2024自贡）关于的方程 根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 √ √ 返回目录 22 变式2-2 （2024绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在 化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 .则原 来的方程是( ) A. B. C. D. √ 返回目录 23 题型 三 一元二次方程的实际应用 例3 （2023东营）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙 （外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个 宽的门 （建在 处，另用其他材料）. 例3题图 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？ 返回目录 24 例3题图 解：设矩形的边 ，则边 . 根据题意，得 ， 化简，得 ， 解得， ， 当时， ; 当时， . 答：当羊圈的长为，宽为或长为 ，宽 为时，能围成一个面积为 的羊圈； 返回目录 25 （2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不 能，请说明理由. 例3题图 解：不能，理由如下： 由题意，得，化简，得 ， ， 一元二次方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到 . 返回目录 26 变式3 如图，在长为，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等 的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小 路的宽是( ) 变式3题图 A. B. C.或 D. √ 返回目录 27 易错点一 解一元二次方程 例1 方程 的解为_________________. ， 【错因分析】本题容易出错的地方在于方程两边同除以一个含字母的式子， 导致丢根. 【思考总结】____ 返回目录 28 易错点二 二次项系数的取值 例2 （2024凉山州）若关于的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) A.2 B. C.2或 D. 【错因分析】本题容易出错的地方在于忽略一元二次方程二次项系数不为 0这一隐含条件. 【思考总结】____ √ 返回目录 29 03 浙江真题 随堂测 30 （建议用时：15分钟） 命题点 一 一元二次方程的解法 1.（2024杭州滨江区二模）解方程： . 解： ， ， 即 ， ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 命题点 二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 2.（2021台州5题）关于的方程 有两个不相等的实数根， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.（2022温州6题）若关于的方程 有两个相等的实数根， 则 的值是( ) A.36 B. C.9 D. 4.（2024杭州西湖区三模）方程 的一个根为2，则另一个 根为( ) A.3 B.4 C. D. √ √ √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 5.（2024宁波模拟）在面积等于3的所有矩形卡片中，周长不可能是( ) A.12 B.10 C.8 D.6 √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 6.（2023杭州17题）设一元二次方程 .在下面的四组条件中 选择其中一组， 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方 程. ，；， ； ，；， . 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 解： 要使这个方程有两个不相等的实数根， ，即， 均可. 选②，则这个方程为 ， ， ， ； 选③，则这个方程为 ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 命题点 三 一元二次方程的实际应用 7.（2024温州鹿城区校级三模）经两次降息调整，某银行人民币存款一年 期的年利率，从2022年6月的0.021降到2024年6月的0.018.设平均每次降息 百分率为 ，可列出方程为( ) A. B. C. D. √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 8.（2024杭州四模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有 一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有 一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时 比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长. 若设门的对角线长为 尺，则可列方程为( ) A. B. C. D. 9.（2022杭州15题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万， 2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为 ，则 ______.（用百分数表示） √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 第10题图 10.（2023金华16题）如图是一块矩形 菜地， ， ，面积为 ，现将边 增加 . （1）如图1，若，边 减少 ，得到的矩形面积不变，则 的值 是___； 6 （2）如图2，若边增加，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积 为，则 的值是_________. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 请完成《课后作业本B》P8～9习题 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 40 $$