专项 倍数与因数的认识及应用-北京版五年级下册期中、期末专项（小学数学）

1 专项 倍数与因数的认识及应用 1．35÷7＝5，那么( )和( )是( )的因数，( )是( )和 ( )的倍数。 2．12的因数有 ；请写出 30以内所有 8的倍数 。 3．（判断）因为 72÷8＝9，所以 72是倍数，8和 9是因数。( ) 4．（判断）因为 3÷1.5＝2，所以 3是 1.5的倍数，1.5是 3的因数。( ) 5．一个数，它既是 18的倍数，又是 18的因数，这个数是（ ）。 A．9 B．18 C．36 D．324 6．（判断）一个数，既是 24的因数，又是 6的倍数，这个数可能是（ ）。 7．（判断）一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 8．如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），那么 m是 n的( )数，n是 m的( )数。 9．实践乐园：猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 10．欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了 3支相同的钢笔，售货员 说应付 22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 11．一根绳子比 20米长，比 30米短，剪成 4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多 有多少米？（请写出理由） 2 12．60人分组做游戏，要求每组人数相等，且每组不多于 30人，不少于 5人，有( ) 种分法。 13．妈妈买了 30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放， 而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 14．黑板上贴着 7张数字卡片，细心的妙想发现：这 7个数字正好是某个自然数的所有因数， 这个自然数是 。 15．《孙子算经》中一题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 问物几何”，此物数量最少是( )。 16．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数 就是“完全数”。例如 6有 4个因数 1，2，3，6，除本身 6以外，还有 1，2，3三个因数。6 1 2 3   ， 所以 6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（ ）。 A．10 B．12 C．16 D．2 1 专项 倍数与因数的认识及应用 答案解析 1． 7 5 35 35 7 5 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数 和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【详解】35÷7＝5，那么 7和 5是 35的因数，35是 7和 5的倍数。 【点睛】掌握因数和倍数的意义，理解“因数与倍数是相互依存的”的含义。 2． 1，2，3，4，6，12 8，16，24 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出 所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与 非 0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1，2，3，4，6，12。 8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 30以内所有 8的倍数：8，16，24。 3．× 【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式 a×b＝c（a、b、c均为非 0的自然数）中，a、b 就是 c的因数，c就是 a、b的倍数。据此解答。 【详解】因为 72÷8＝9，即 9×8＝72，所以 72是 8和 9的倍数，8和 9是 72的因数。原题说 法错误。故答案为：× 【点睛】此题主要考查因数和倍数的认识，因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单 独存在。 4．× 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被 除数的因数。 2 【详解】在 3÷1.5＝2中，1.5是小数，不在因数、倍数的研究范围内。 原题说法错误。故答案为：× 【点睛】注意因数和倍数是在整数范围内讨论。 5．B 【分析】根据因数、倍数的求法分别找出 18的因数、倍数，再找出符合题意的数即可；据此 解答。 【详解】18的倍数：18，36，54，…； 18的因数：1，2，3，6，9，18； 一个数，它既是 18的倍数，又是 18的因数，这个数是 18。 故答案为：B 【点睛】本题考查找一个数的因数和倍数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本 身。 6．6、12或 24 【分析】先写出 24的所有因数，再写出 24以内 6的倍数，然后从 6的倍数里找出同时是 24 的因数的数即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 24以内 6的倍数有：6、12、18、24； 所以，一个数既是 24的因数，又是 6的倍数，这个数可能是 6、12或 24。 7．× 【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因 数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解 答即可。 【详解】比如 6的最大因数是 6，6的最小倍数是 6，所以一个数的倍数一定比它的因数大的 说法是错误的。故答案为：× 8． 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被 除数的因数。 【详解】如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），即 m÷n＝4，那么 m是 n的倍数，n是 m 的因数。 9．5054631 3 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b的倍数，b就叫 做 a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数 的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是 0，1只有 1个因数，就是它 本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是 5； 最小的自然数是 0； 5的最大因数是 5； 既是 4的倍数，又是 4的因数的数是 4； 所有因数是 1、2、3、6的数是 6； 所有因数是 1，3的数是 3； 只有一个因数的数是 1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 10．售货员的说法错误；判断方法见详解 【分析】根据单价×数量＝总价，所以总价应该是数量的倍数，22不是 3的倍数，据此解答。 【详解】22÷3＝7（元）……1（元） 答：钢笔上的标价为整数，买了 3支相同的钢笔，付的钱应该是 3的倍数，但 22不是 3的倍 数。所以售货员的说法错误。 11．28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是 20~30之间的 4的倍数。可以列乘法算式找一个数 的倍数，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在 20~30之间 4的倍数有 24、28。 24＜28 即这根绳子最多有 28米。 答：这根绳子最多有 28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍 4 数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 12．7 【分析】要求每组人数相等，说明 60人刚好可以平均分，则每组人数和组数是 60的因数，且 5≤60的因数≤30，据此解答。 【详解】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，依次计算符合条件的 人数和组数。 当每组有 5人时，可以分 60÷5＝12（组）；当每组有 6人时，可以分 60÷6＝10（组）； 当每组有 10人时，可以分 60÷10＝6（组）；当每组有 12人时，可以分 60÷12＝5（组）； 当每组有 15人时，可以分 60÷15＝4（组）；当每组有 20人时，可以分 60÷20＝3（组）； 当每组有 30人时，可以分 60÷30＝2（组）； 所以，一共有 7种分法。 【点睛】用枚举法列出所有符合条件的情况是解答本题的关键。 13．6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据 此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除 1和本身 两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法 算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除 1和 30，还有 2、3、5、6、10、15。 答：一共有 6种放法，每次分别放 2个、3个、5个、6个、10个、15个。 14．64 【分析】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为 0的自然数，当 a×b＝c时，a和 b是 c的因 数，c是 a和 b的倍数。如 8＝1×8＝2×4，8的因数就有 1、8、2、4，共 4个。一个数的因数 总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如 16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有 1、16、 2、8、4共 5个，因为 16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的 平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。 【详解】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有 1、2、4、8、16 共 5个。16是这个数的因数，这个数就是 16的倍数。当 16的倍数中，16×4＝64＝82，64的 5 因数有 1、2、4、8、16、32、64，共 7个因数。因此这个自然数是 64。 【点睛】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。 15．23 【分析】“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”意思为三个三个分组，最后会剩下 2 个；五个五个分组，最后会剩下 3个；七个七个分组，最后会剩下 2个；即一个数被 3整除余 2，被 5整除余 3，被 7整除余 2；据此用列举法即可得到答案。 【详解】除以 3余数是 2的数有：5、8、11、14、17、20、23、26… 除以 5余数是 3的数有：8、13、18、23、28… 除以 7余数是 2的数有：9、16、23、30… 满足三个条件的第一个数字是 23。 故此物数量最少是 23。 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，列举时按照找一个数倍数的方法，分别乘 1、2、3…， 再加余数，不要遗漏。 16．D 【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。 【详解】A．10的因数有：1、10、2、5。 1＋2＋5＝8 10不是“完全数”。 B．12的因数有：1、12、2、6、3、4 1＋2＋3＋4＋6＝16 12不是“完全数”。 C．16的因数有：1、16、2、8、4 1＋2＋4＋8＝15 16不是“完全数”。 D．28的因数有：1、28、2、14、4、7 1＋2＋4＋7＋14＝28 28是“完全数”。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。