专项 长方体和正方体的体积-北京版五年级下册期中、期末专项（小学数学）

1 专项 长方体和正方体的体积 答案解析 1．C 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出木块和铁块的体积，再进行比较即可。 【详解】木块和铁块的体积都为 5×5×5＝125（立方分米），它们的体积相等； 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握正方体的体积的计算公式是解答本题的关键。 2．8100平方厘米；45000立方厘米； 486平方分米；729立方分米 【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2， 和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。 把正方体棱长的数据代入正方体的表面积公式：S＝a×a×6，和正方体的体积公式：V＝a×a×a 中，计算出正方体的表面积和体积。 【详解】（60×25＋60×30＋25×30）×2 ＝（1500＋1800＋750）×2 ＝4050×2 ＝8100（平方厘米） 60×25×30＝45000（立方厘米） 即长方体的表面积是 8100平方厘米，体积是 45000立方厘米。 9×9×6＝486（平方分米） 9×9×9＝729（立方分米） 即正方体的表面积是 486平方分米，体积是 729立方分米。 3．0.4米 【分析】已知长方体沙坑的长和宽，可以先用长×宽求出沙坑的底面积；又因为长方体的体积 ＝底面积×高，所以可用长方体的体积（沙子的体积）÷底面积求出沙坑的高，即沙子的厚度。 【详解】38分米＝3.8米 7.6÷（5×3.8） ＝7.6÷19 ＝0.4（米） 2 答：可以铺 0.4米。 【点睛】已知长方体的体积、底面积和高这三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。 4．C 【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个 小正方体原来外露 3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的 3个面，所以剩下图形的 表面积不变，体积减少了，据此解答即可。 【详解】由分析可知：一个长方体被挖掉一小块正方体，则此时体积减少，表面积不变。 故答案为：C 5．C 【分析】根据题意可知，把这根木料锯成两段，表面积比原来增加两个截面的面积，据此可以 求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V=Sh，把数据代入公式解答。 【详解】2米 200 厘米 100 2 200  50 200  10000 （cm³） 故答案为：C 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6． 9 27 【分析】正方体棱长扩大几倍，表面积扩大倍数×倍数，体积扩大倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9 3×3×3＝27 【点睛】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 7．96 【分析】由题意可知，从长方体中截去一个最大正方体，则这个正方体的棱长是 4cm，剩下的 体积等于长方体的体积减去正方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积 公式：V＝a3，据此进行计算即可。 【详解】8×5×4－4×4×4 ＝160－64 ＝96（cm3） 3 则剩下的体积是 96 3cm 。 【点睛】本题考查长方体和正方体的体积，熟记公式是解题的关键。 8．192cm3 【分析】观察图形可知，该图形的体积等于长方体的体积减去顶点处的小正方体的体积，根据 长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。 【详解】10×5×4－2×2×2 ＝200－8 ＝192（cm3） 9．√ 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此分析。 【详解】根据正方体的体积公式可知，体积相等的两个正方体棱长一定相等，所以它们的表面 积也相等。故答案为：√ 【点睛】此题考查了正方体的体积与表面积公式的运用。 10．650平方厘米；1500立方厘米 【分析】这个盒子用的铁皮面积等于长方形面积减去 4个角的正方形的面积；这个无盖长方体 的长是（30－5×2）厘米，宽是（25－5×2）厘米，高是 5厘米，根据长方体的体积＝长×宽× 高，代入数据计算即可。 【详解】30×25－5×5×4 ＝750－100 ＝650（平方厘米） 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 4 答：这个盒子用了 650平方厘米铁皮，它的容积是 1500立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算 公式。 11．26.7厘米 【分析】根据题意，往水深 24厘米的长方体容器里放一块正方体铁块，水面会上升，水上升 部分的体积等于这块正方体铁块的体积；根据正方体的体积 V＝a3，求出铁块的体积； 长方体容器的底面是一个长 50厘米、宽 25厘米的长方形，根据长方形的面积 S＝ab求出底面 积；然后根据长方体的高 h＝V÷S，即可求出水上升的高度，再加上原来的水深，就是这时水 的高度。 【详解】15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 3375÷（50×25） ＝3375÷1250 ＝2.7（厘米） 2.7＋24＝26.7（厘米） 答：这时水深 26.7厘米。 【点睛】本题考查正方体体积、长方体体积公式的灵活运用，明确往水中放入物体，水上升部 分的体积等于放入物体的体积。 12．67次 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出混凝土的体积；再用混凝土的体积除以每辆运 料车每次最多运混凝土的体积，得数采用“进一法”取整数，即是至少需要运的次数；注意单位 的换算：1米＝100厘米。 【详解】20厘米＝0.2米 80×25×0.2 ＝2000×0.2 ＝400（立方米） 400÷6≈67（次） 答：至少需要运 67次才能完成任务。 【点睛】本题考查长方体体积公式的运用，在计算至少需要运的次数时，注意计算结果要结合 5 生活实际，采用“进一法”取近似数。 13．（1）3064平方米（2）3840立方米 【分析】（1）根据题意可知，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b ＋a×h＋b×h）×2，但游泳池贴瓷砖是不需要贴上底面的，所以应该少一个面积，计算求出； （2）求注水的体积相当于求长 150米、宽 16米、高 1.6米的长方体体积，运用体积公式即可 求出。 【详解】（1）20分米＝2米 150×16＋（150×2＋16×2）×2 ＝2400＋（300＋32）×2 ＝2400＋332×2 ＝2400＋664 ＝3064（平方米） 答：贴瓷砖的面积是 3064平方米。 （2）150×16×1.6＝3840（立方米） 答：应注入水 3840立方米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积公式的运用，注意求表面积时要弄清具体求哪几个面 的面积。 14．（1）196平方分米（2）不会溢出（3）5.875分米 【分析】（1）根据题意，长方体玻璃鱼缸（无盖）缺少上面（长和宽组成的长方形），所以 玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）先求出水的体积与正方体铁块的体积之和，再计算鱼缸体积，如果水和铁块的体积比鱼 缸体积大就会溢出，如果比鱼缸体积小则不会溢出，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，正 方体的体积＝棱长×棱长×棱长； （3）根据（2）中计算可知水不会溢出，水深＝水与铁块的体积÷鱼缸底面积；据此解答。 【详解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃 196平方分米。 6 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是 5.875分米。 【点睛】此题考查了长方体的表面积、体积计算，关键灵活运用公式解答。 15． 192 576 【分析】根据题意，长方体的高增加 4cm，就变成了棱长是 12cm的正方体，那么原来长方体 的长、宽都是 12cm； 增加的表面积是高为 4cm的小长方体的 4个侧面积之和，每个面是长为 12cm、宽为 4cm的长 方形，求出一个面的面积，再乘 4，即可求出增加的表面积； 增加的体积是高为 4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出增加的 体积。 【详解】12×4×4 ＝48×4 ＝192（cm2） 12×12×4 ＝144×4 ＝576（cm3） 表面积增加了 192cm2，体积增加了 576cm3。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得出长方体的长、 宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。 7 16．50立方厘米 【解析】根据题意可知，一个长方体如果高增加 3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相 等且比高大 3厘米，因此增加的 60平方厘米是 4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方 体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多 2厘米，那么高＝5－3＝2厘米，由此解答。 【详解】增加的 1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米） 长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米） 长方体的高：5－3＝2（厘米） 体积：5×5×2＝50（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 50立方厘米。 【点睛】理解增加的 60平方厘米是 4个同样的长方形的面积和，并知道长方体的体积公式是 解决此题的关键。 17．8厘米 【分析】已知乙长方体容器中水深 24厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出乙容器中水 的体积；要将长方体容器乙的水倒一部分给甲，使两个长方体容器中水的高度相同，可以想成 将两个容器拼在一起，则底面积是（40×30＋30×20）平方厘米，根据长方体高＝体积÷底面积， 即可求出这时两个容器中水的深度。 【详解】30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 14400÷（40×30＋30×20） ＝14400÷（1200＋600） ＝14400÷1800 ＝8（厘米） 答：水深 8厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，也可以列方程求解，用甲容器中水的体积＋乙 容器中水的体积＝原来乙容器中水的体积，据此列出方程。 1 专项 长方体和正方体的体积 1．两个棱长都是 5分米的正方体，一个是木块，另一个是铁块，它们的体积相比（ ）大。 A．铁块 B．木块 C．同样 2．计算每个图形表面积和体积。 3．学校运来 7.6立方米的沙子，铺在一个长 5米、宽 38分米的沙坑里，可以铺多厚？ 4．一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是（ ）。 A．体积减少，表面积也减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 5．把一根长 2m的长方体木料锯成两段后，表面积增加了 2100cm ，原长方体木料的体积是 （ ）cm3。 A．100 B．200 C．10000 6．一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 7．一个长方体的长、宽、高分别是 8cm、5cm和 4cm，截去一个最大正方体后，剩下的体积 是( ) 3cm 。 2 8．求下面图形的体积。（单位：cm） 9．（判断）体积相等的两个正方体，它们的表面积一定相等。( )。 10．一块长方形铁皮（如图），长 30厘米，宽 25厘米。从四个角各剪掉一个边长为 5厘米的 正方形，然后做成一个无盖盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 11．有一个长方体容器，长 50厘米，宽 25厘米，水深 24厘米。现在在里面沉入一块棱长是 15厘米的正方体铁块，这时水深多少厘米？ 12．用混凝土铺一段长 80米，宽 25米的水泥路，混凝土厚 20厘米。一辆运料车每次最多运 6立方米的混凝土，至少需要运多少次才能完成任务？ 13．游泳馆建了一个长 150米、宽 16米、深 20分米的长方体游泳池。 （1）将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁 1.6米高处用红漆画一条水位线，按水位线注入水，应注入水多少立方米？ 3 14．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分米，宽是 5分米，高是 6分米，水深 5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你 通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 15．一个长方体（如图），如果高增加 4cm，就变成了棱长是 12cm的正方体。表面积增加了 ( )cm2，体积增加了( )cm3。 16．一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加 60平方厘 米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 17．如图，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深 24厘米，要将长方体容器乙的水倒一 4 部分给长方体容器甲中，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？