专项 长方体和正方体的表面积-北京版五年级下册期中、期末专项（小学数学）

1 专项 长方体和正方体的表面积 1．陈叔叔要用木条做一个长方体的广告箱，他想知道用多少木条，是求长方体的( )。 2．要做一个棱长是 5分米的正方体无盖鱼缸，至少需要（ ）平方分米玻璃。 A．150 B．125 C．25 3．一个长方体的长是25cm，宽是20cm，高是18cm，最大面的长是( )cm，宽是( )cm， 面积是( )cm 2 ；最小面的长是 20cm，宽是( )cm，面积是( )cm 2 ；这个长方 体的表面积是( )cm 2 。 4．一个正方体的棱长总和是 24分米，它的表面积是（ ）平方分米。 A．3456 B．24 C．8 5．长方体的长宽高都扩大到原来的 2倍，则表面积就扩大到原来的（ ）倍。 A．2 B．4 C．8 6．（如图）从一个体积是 60cm3的长方体木块的一个角上，挖掉一个小方块，现在的表面积 和原来相比较（ ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 7．一根长方体木料，它的长是8厘米，宽是6厘米，高是 4厘米，切成 2个完全一样的长方 体，表面积最多增加（ ）平方厘米。 A．48 B．64 C．96 8．用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少 24平方厘米，这个长方体的表面积 是( )平方厘米。 9．四个同样的礼品盒，每个长 10cm，宽 7cm，高 2cm。下面四种不同的包装方式，（ ） 最省包装纸。 A． B． C． D． 10．如图所示，要在这个正方体的表面涂一层颜色。 2 一面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，三面涂色的有( )块，没有涂色 的有( )块。 11．计算下面长方体和正方体的表面积。 12．学校要粉刷一间会议室，会议室的长是 15米，宽是 8米，高是 4米。扣除门窗和黑板的 面积 25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 13．一个房间长 8米，宽 5米，高 3米，现在要为这个房间的四壁和顶面刷涂料。如果每平方 米需用涂料 3千克，一共要用涂料多少千克？ 14．这个颁奖台是由 3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂 是红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 3 15．用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 160厘米，这个长方 体的表面积是多少平方厘米？ 16．下图几何体是由 27个小正方体组成的，拿掉（ ）块小正方体后，剩下的图形表面积 最大。 A．① B．② C．③ D．不确定 17．将长 6厘米、宽 5厘米、高 4厘米的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长 1 厘米的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？ 1 专项 长方体和正方体的表面积 答案解析 1．表面积 【分析】根据表面积的定义，物体所有表面的面积的和就是这个物体的表面积；再根据长方体 特征，长方体共有 6个面，相对的面完全相同，据此解答即可。 【详解】陈叔叔要用木条做一个长方体的广告箱，他想知道用多少木条，是求长方体的表面积。 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。 2．B 【分析】求玻璃的面积就是求正方体的五个面的面积，先求出正方体的一个面的面积，再乘 5 即可。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（平方分米） 则至少需要 125平方分米玻璃。 故答案为：B 【点睛】本题考查正方体的表面积，明确玻璃的面积就是正方体的五个面的面积是解题的关键。 3． 25 20 500 18 360 2620 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六 个面都是长方形。根据长方形的面积公式 S＝ab，即可求出各个面的面积，再比较大小，找出 最大面的面积和最小面的面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数 据求出长方体的表面积。 【详解】25×20＝500（cm2） 25×18＝450（cm2） 20×18＝360（cm2） 500＞450＞360 （500＋450＋360）×2 ＝（950＋360）×2 ＝1310×2 ＝2620（cm2） 2 一个长方体的长是 25cm，宽是 20cm，高是 18cm，最大面的长是 25cm，宽是 20cm，面积是 500cm2；最小面的长是 20cm，宽是 18cm，面积是 360cm2；这个长方体的表面积是 2620cm2。 4．B 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长12的逆运算，用棱长总和除以 12得棱长，再根据正 方体的表面积公式 26S a ，代入数据计算即可。 【详解】  224 12 6  22 6  4 6  24 （平方分米） 一个正方体的棱长总和是 24分米，它的表面积是 24平方分米。 故答案为：B 5．B 【分析】设长方体的长是 a，宽是 b，高是 h，扩大后长方体的长是 2a，宽是 2b，高是 2h；根 据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出原来长方体的表面积 和扩大后的表面积，再用扩大后长方体的表面积÷原来长方体表面积，即可解答。 【详解】设长方体的长是 a，宽是 b，高是 h，扩大后长方体的长是 2a，宽是 2b，高是 2h。 [（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2]÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2] ＝[（4ab＋4ah＋4bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[4×（ab＋ah＋bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[8×（ab＋ah＋bh）]÷[2×（ab＋ah＋bh）] ＝8÷2 ＝4 长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2倍，表面积就扩大到原来的 4倍。 故答案为：B 6．B 【分析】依据题意，结合图示可知，木块挖去一个角后，木块的表面积等于原来木块的表面积， 据此可得出答案。 【详解】长方体木块挖去一个角，表面积与原来的长方体表面积相等。故答案为：B 3 7．C 【分析】把一个长方体切成 2个完全一样的长方体，其表面积增加 2个截面的面积，平行于底 面切时表面积增加的最多，截面为长是 8厘米，宽是 6厘米的长方形，增加的面积＝长×宽×2， 据此解答。 【详解】8 6 2  48 2  96 （平方厘米） 即表面积最多增加 96平方厘米；故答案为：C 8．84 【分析】用 3个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积和减少了 4个正方形，求出一个正 方体一个面的面积，再求出 3个正方体表面积和，减去 24平方厘米即可。 【详解】24÷4＝6（平方厘米） 6×6×3－24 ＝108－24 ＝84（平方厘米） 【点睛】关键是熟悉长方体和正方体的特征，灵活计算长方体表面积。 9．A 【分析】要想最省包装纸，就是求这四个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包 装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最 大，就最省包装纸。 【详解】A．表面积减少了： 10×7×6 ＝70×6 4 ＝420（cm2） B．表面积减少了： 10×7×4＋7×2×4 ＝70×4＋14×4 ＝280＋56 ＝336（cm2） C．表面积减少了： 10×2×4＋7×2×4 ＝20×4＋14×4 ＝80＋56 ＝136（cm2） D．表面积减少了： 10×2×6 ＝20×6 ＝120（cm2） 420＞336＞136＞120 故答案为：A 【点睛】掌握立体图形拼接的特点，明确要使拼成的立体图形的表面积最小，则把最大的面重 合。 10． 6 12 8 1 【分析】因为有 27块正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有 3个小正方体，因为三面涂色的小 立方体只能在 8个顶点上，所以三面涂色的小正方体有 8块；两面涂色的处在 12条棱的中间 上，并且每条棱上有一个，所以共有 12块；一面涂色的处在每个面的中间，6个面共有（1×6） 个一面涂色的小正方体；剩下的就是没有涂到颜色的小正方体；据此解答。 【详解】因为有 27正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有 3个小正方体 一面涂色的小正方体有 6块 两面涂色的小正方体有 12块 三面涂色的小正方体 8块 没有涂到颜色的小正方体有 27－8－12－6＝1（块） 【点睛】本题关键要明确：三面有色的处在 8个顶点上，两面有色的处在 12条棱上（顶点外）， 5 一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。 11．正方体的表面积是 150dm2；长方体的表面积是 3.92m2 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，把数据代入公式即可解答。 【详解】正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（0.8×0.5＋0.8×1.2＋0.5×1.2）×2 ＝（0.4＋0.96＋0.6）×2 ＝1.96×2 ＝3.92（m2） 12．278.6平方米 【分析】粉刷这间会议室，地板不刷，只要粉刷它的上面和前后左右面共 5个面，再减去门窗 和黑板的面积，因此粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗和黑板的面积，据此代入 数据计算即可。 【详解】15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是 278.6平方米。 13．354千克 【分析】根据题意得：房间为长方体，刷涂料的面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，用乘法列 式计算一共要用涂料多少千克。 【详解】8×3×2＋5×3×2＋8×5 ＝48＋30＋40 ＝118（平方米） 所用涂料质量为：118×3＝354（千克） 答：一共要用涂料 354千克。 14．12800平方厘米，10000平方厘米 6 【分析】先明确黄色与红色各有多少个面，每个面的面积各是多少，从而可以分别求出涂黄色 油漆和红色油漆的面积各是多少。 【详解】65－10＝55（厘米） 涂黄色油漆的面积： （40×40＋40×65＋40×55）×2 ＝（1600＋2600＋2200）×2 ＝6400×2 ＝12800（平方厘米） 红色油漆的面积： 40×40×4＋（65﹣40）×40＋40×10＋40×55 ＝6400＋1000＋400＋2200 ＝10000（平方厘米） 答：涂黄色油漆和红色油漆的面积分别是 12800平方厘米和 10000平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积。 15．896平方厘米 【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来 3个正方体的棱长总和减少了正 方体的 16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比 3个正方体的表 面积之和减少了正方体的 4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式 解答。 【详解】160÷（12×3－16） ＝160÷（36－16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3－8×8×4 ＝64×6×3－64×4 ＝384×3－256 ＝1152－256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 896平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体 7 的棱长是解题的关键。 16．C 【分析】立体图形的表面积是各个面积的总和。从正方体的顶点拿走一个小正方体，剩下的图 形的表面积不变；从正方体的棱和面分别拿走一个小正方体，剩下的图形表面积会增加。据此 分类解答。 【详解】（1）若拿走①小正方体： 观察图中可知，拿走①小正方体，减少了 3个小正方体的面，但空出来的面 也恰好还是 3个小正方体的面，表面积不变。 （2）若拿走②小正方体： 观察图中可知，拿走②小正方体，减少了 2个小正方体的面，但空出来的面 是 4个小正方体的面，表面积增加了 2个小正方体的面。 （3）若拿走③小正方体： 观察图中可知，拿走③小正方体，减少了 1个小正方体的面，但空出来的面 是 5个小正方体的面，表面积增加了 4个小正方体的面。 所以拿掉③块小正方体后，剩下的图形表面积最大。 故答案为：C 【点睛】理解表面积的意义，明确在顶点，棱、面不同部分拿走小正方体后，引起表面积的不 同的变化。 17．一面涂色的有 52块；没有涂色的有 24块 8 【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被 切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有 8个顶点，所以 三面涂色的有 8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成 6个小正方体，所以一条长有 （6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成 5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆 的小正方体，高被切成 4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用 （6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2） ＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上 面的结论，即可求得答案。 【详解】小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1） ＝120÷1 ＝120（个） 有 8个顶点，所以三面涂色的小正方体有 8个， 两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 没有涂色的有：120－8－36－52＝24（个） 答：一面涂色的有 52块；没有涂色的有 24块。 【点睛】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱 长上，一面涂色的在正方体的面中间上。