山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次）数学试题

山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（3月）开学考试（总第二次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：100分 考查内容：平面向量 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．在中，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在中，，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（    ） A．8 B．12 C．22 D．24 8．已知平面向量，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则（    ） A． B． C．与的夹角可能为 D．向量与不可能垂直 10．的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．若，则外接圆半径为4 D．的最大内角是最小内角的2倍 11．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个D．的点P有两个 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知点，，若，则点的坐标为 ． 13．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可 14．在中，，为的重心，边的中垂线交于点，且，则 ． 四．解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．已知向量，，． (1)求；(2)若向量，试用表示；(3)若，求实数的值． 16．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 17．的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若的面积为，求的周长． 18．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（3月）开学考试（总第二次） 数学评分细则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C C B A D C B AD ABD BCD 12. . 13． . 14．36. 15．已知向量，，． (1)求；(2)若向量，试用表示；(3)若，求实数的值． 【详解】（1）因为，， 所以……….2分 所以……….4分 （2）由题可知与不共线，故设()，……….5分 即， 所以，解得，． 因此.……….8分 （3）由题意得．……….10分 因为， 所以，……….12分 解得.……….13分 16．在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，，……….1分 即，……….3分 因，故,即是锐角，故；……….6分 （2） 如图，由余弦定理，，……….9分 知角是锐角，则，……….11分 作于点，在中，, 即边上的高是.……….15分 17．的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的面积为．求的周长． 【详解】（1）在中，由， 得，……….1分 则，……….3分 整理得， 而，则，………5分 又，所以.……….6分 （2）由，……….7分 得，即，……….9分 又，则，整理得，…….12分 因此，解得，……….14分 所以的周长为.……….15分 18．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、，……….1分 因为，，， 所以，所以，所以点，……….4分 设，则，，……….5分 因为，所以，解得，……….7分 所以，，则．……….8分 （2）解：由（1）知，，设，……….10分 其中，则，……….12分 所以，……….14分 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为．……….17分 19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，且，若，求． 【详解】（1）因为， 所以.……….3分 （2）①因为 ，……….6分 且，，则， 所以.……….7分 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是；……….8分 ②因， 则，……….9分 可得， 即，可得，……….10分 又因为，可知点为的重心，则， 可得，……….12分 则， ， ，……….15分 可得， 所以.……….17分 学科网（北京）股份有限公司 $$