四 长方体(二)-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（北师大版）

四 长 方 体（二） 第1课时 体积与容积 1. 填一填。 (1) 做一个油箱,至少要用多少铁皮,是求油 箱的( );油箱能装多少汽油,是求油箱的 ( );求这个油箱所占空间的大小,是求这 个油箱的( )。 (2) (生活应用)把一块橡皮泥先捏成正方 体,再捏成圆柱,正方体的体积( )圆柱的 体积。(填“大于”“小于”或“等于”) (3) 以上三种物品中,( )的容积最小,( ) 的容积最大。 2. 选一选。 (1) 九枚一元硬币,( )。 A. 单摆在桌面上所占空间最大 B. 每三枚分一组摆在一起所占空间最大 C. 摞一起所占空间最大 D. 无论怎么摆所占空间一样大 (2) ★装满沙子的沙坑,沙子的( )就是沙 坑的( )。 A. 表面积 B. 体积 C. 容积 D. 质量 3. (几何直观)比一比,谁的体积大? 在 里 填上“>”“<”或“=”。 4. 如图所示的三个杯子,( )的容积最大, ( )的容积最小。(填字母) 5. 数一数,如图所示的长方体盒子还能装多少 个这样的小正方体? 6. (1) 哪两个图形的体积相同? (2) 图形①的体积是图形③体积的几分之几? 7. 用体积都是1cm3的正方体木块摆成一个物 体,从正面、左面、上面看到的图形分别如图 所示。这个物体的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第2课时 体积单位(1) 1. 填一填。 (1) 测量课桌的高度要用( )单位,测量 黑板的大小要用( )单位;测量讲台所占 空间的大小要用( )单位。 (2) 我们学过的常用的体积单位有( )、 ( )和( )。 2. (生活体验)估计下面各物体的体积,在大于 1dm3的物体下面画“􀳫”,在小于1dm3的物 体下面画“○”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. (数形结合)下面的图形都是用体积为1cm3 的小正方体拼成的,在括号里分别写出它们 的体积。 ( )cm3 ( )cm3 ( )cm3 4. 在括号里填上适当的体积单位。 火柴盒的体积 约30( )。 生日蛋糕的体积 约16( )。 平板电脑的体积 约400( )。 货车车厢的体积 约40( )。 5. 选一选。 (1) 25个幼儿园的小朋友站在一起所占的空 间大约是2( )。 A. m3 B. dm3 C. cm3 D. m2 (2) 下面说法错误的是( )。 ① 把一块正方体黏土捏成长方体,体积不变。 ② 体积单位比面积单位大。 ③ 体积是1立方米的物体,一定是棱长为 1米的正方体。 A. ①② B. ②③ C. ①②③D. ② 6. 如图所示为一个用体积是1立方分米的正方 体搭成的立体图形。 (1) 这个立体图形的体积是多少立方分米? (2) 以这个立体图形的最长边为棱,搭成 一个大正方体,则这个大正方体的体积是多 少立方分米? 还要补上多少个体积是1立方 分米的正方体? 7. (创新应用)如图,用体积为1cm3 的小正方 体搭立体图形,按规律继续搭下去,第5个立 体图形的体积为( )cm3。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 数学(北师版)五年级下 第3课时 体积单位(2) 1. 填一填。 (1) 计量液体的体积,一般用容积单位( ) 和( ),也可以写成( )和( )。 (2) 从里面量棱长为1dm的正方体容器的 容积是( );从里面量棱长为1cm的正方 体容器的容积是( )。 2. (生活体验)在适当容器下面的括号里画“􀳫”。 (1) 哪些容器的容积大于1L? ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 要盛2L水,用哪种容器最合适? ( ) ( ) ( ) 3. 在括号里填上适当的容积单位。 蚝油瓶的容积 约250( )。 鱼缸的容积 约4( )。 电热水器储水 约60( )。 一瓶果汁 约500( )。 4. ★(推理意识)下面的杯中有多少毫升水? 估 一估,填一填。 容积500mL 约( )mL 约( )mL 5. 大圆球和小圆球的体积各是多少? 6. (生活应用)华华咳嗽了,医生给他开了一瓶 止咳糖浆。这瓶止咳糖浆可以喝多少天? 7. (操作探究)如图所示为三种不同规格的杯子。 (1) 从上面的三种杯子中任意拿出两种,可 以量出多少毫升的水? (写出三种即可) (2) 请用这三种杯子量出100mL的水。(简 要写出过程) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 四　长 方 体（二） 第4课时 长方体的体积(1) 1. 用8个棱长为1cm的小正方体摆成不同的 长方体或正方体,填一填。 长(a)/ cm 宽(b)/ cm 高(h)/ cm 小正方体 的数量/个 长(正)方体的 体积(V)/cm3 观察表格后,我发现: (1) 长方体的体积=( ), 用字母表示为( )。 (2) 正方体的体积=( ), 用字母表示为( )。 2. (时事热点)新能源汽车已经成为我国重要的 产业。某汽车集团计划在下一代新能源汽车 中使用新型固态电池,相关信息如图所示。 每个新型固态电池重多少千克? ① 电池是棱长为2分米的正方体。 ② 每1立方分米电池重5.8千克。 ③ 每立方分米电池的价格是7800元。 3. (操作探究)下面是一个长方体纸盒的表面展 开图,根据展开图中的信息,求原来这个长方 体纸盒的体积。 4. 填一填。 (1) 正方体的棱长扩大到原来的3倍,它的 体积就扩大到原来的( )倍。 (2) 一根长方体木料,长8分米,宽4分米, 高2分米。把它锯成最大的正方体木块,最 多可以锯( )个。(损耗忽略不计) (3) 一个从里面量长、宽、高分别为10cm、 6cm、9cm的长方体纸盒,最多能放( ) 个棱长为2cm的小正方体。 5. 为了美化校园,学校计划修建两个相同的长 方体花坛,其中一个如图所示。花坛高0.5米, 底面是边长为1.3米的正方形。四周用砖砌 成墙,砖墙的厚度是0.3米,中间填满泥土。 两个花坛里大约共有泥土多少立方米? 6. (创新应用)一个长方体相邻三个面的面积分 别是10cm2、14cm2、35cm2。如果长方体的 长、宽、高的厘米数都是质数,那么这个长方 体的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(北师版)五年级下 第5课时 长方体的体积(2) 1. 填一填。 (1) (人文历史)秦始皇陵兵马俑被誉为“世 界第八大奇迹”,其中最早发现的是一号俑坑, 呈长方体,其东西长约230m,南北宽约62m, 深约5m。一号俑坑的容积约是( )m3。 (2) (地域景观)世博钟楼位于上海火车站南 广场,钟楼的主体是近似的长方体,占地面积 约为5.8m2,高约为15m,它的体积约是 ( )m3。 (3) 王师傅把一根长7dm、宽4dm、高5dm 的长方体木料锯成一个最大的正方体,这个 正方体的体积是( )dm3。 2. 先将表格补充完整,再填一填。 底面积(S)/cm2 25 12 高(h)/cm 5 25 6 体积(V)/cm3 625 168 87.6 长方体和正方体的体积都可以用( )乘 ( )来计算,可以用字母表示为( )。 3. 一个无盖长方体水箱,从里面量长1.5米,宽 1.2米,深0.8米。水箱的壁上有一个洞(如 图),这个水箱最多能盛水多少立方米? 4. 一个长方体的长是12厘米,高是8厘米,涂 色部分的面积和是200平方厘米。这个长方 体的体积是多少立方厘米? 5. (操作探究)把两个完全一样的小长方体拼成 一个大长方体,这个大长方体的表面积比原 来两个小长方体的表面积之和少24cm2。如 果拼成的大长方体的长是10cm(如图),那 么一个小长方体的体积是多少立方厘米? 6. 一个密封的长方体容器内装有6cm深的水, 如果以右侧面为底,把容器竖起来(如图),那 么水的高度会变成多少? (容器壁的厚度忽 略不计) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 四　长 方 体（二） 第6课时 体积单位的换算 1. 填一填。 (1) 用棱长为1cm的小正方体摆一个体积 为1dm3的大正方体,需要( )个小正方 体,大正方体的体积是( )cm3。 (2) 一个长方体的底面积是250cm2,高是 8cm,它的体积是( )cm3,合( )dm3。 (3) 每瓶药水50mL,装200瓶,需要药水 ( )L;如果有5.6dm3 的药水,那么一共 可以装( )瓶。 2. ★下面两组表示体积的量中,每一组都有一 个与其他三个不相等,请划去这个不相等 的量。 3. (生活体验)丽丽陪妈妈到超市买酸奶。她们 看到有三种不同包装的酸奶(如图),买哪种 包装的酸奶最合算? 4. 李阿姨的水果店运来10箱如图所示的苹果。 苹果箱的长是40m,40dm还是40cm? 它 的宽和高呢? 苹果箱的体积是多少? 5. (说理表达)如图,它的净含量表示得对吗? 为什么? 6. (思维过程)如图所示为一个密封的长方体玻 璃容器,容器中的水有多少升? (玻璃的厚度 忽略不计) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版)五年级下 第7课时 有趣的测量 1. 淘气为了求一个不规则铁块的体积,按照以 下步骤进行实验。 第1步:准备一个棱长为12cm的正方体玻 璃容器。 第2步:往玻璃容器中倒入10cm深的水。 第3步:把铁块浸没在水中,水面距离玻璃容 器上边缘还有1.5cm。 (1) 请把题中第2步和第3步所给的条件在 图中标出来。 (2) 请你帮助淘气计算出铁块的体积。(玻 璃的厚度忽略不计) 2. 填一填。 (1) 将不规则物体浸没在盛有水的容器中 (水未溢出),( )的水的体积就是物 体的体积。 (2) 将不规则物体浸没在盛满水的容器中, 水会( ),( )的水的体积就是物体的 体积。 (3) 像花生米、葡萄等较小的物体,可以一次 测量出多颗(如50颗)的体积,再算出平均 ( )。 3. 图中一个小球的体积是( )立方厘米, 一个大球的体积是( )立方厘米。 4. (操作探究)小明想要测一种玻璃球的体积。 如图所示为他测量的过程:① 将300mL的 水倒进一个容积为500mL的杯子中;② 将 四颗相同的玻璃球浸没在水中,结果水没有 满;③ 再将一颗相同的玻璃球浸没在水中, 结果水满溢出。根据以上过程,推测一颗玻 璃球的体积在( )。 A. 20cm3以上,30cm3以下 B. 30cm3以上,40cm3以下 C. 40cm3以上,50cm3以下 D. 50cm3以上,60cm3以下 5. (生活应用)爷爷喜爱养金鱼。聪聪用压岁钱 为爷爷买了一个鱼缸,并在鱼缸中放了一块 高是14厘米、体积是1100立方厘米的假山 石(如图)。若水管每分向鱼缸内注水6立方 分米,则至少需要多长时间才能把假山石浸 没在水中? (鱼缸壁的厚度忽略不计) 6. (创新应用)如图,一个长方体玻璃缸,长8dm, 宽6dm,高5dm,水深2.8dm。如果这时将 一个底面是边长为4dm的正方形、高是6dm 的长方体铁块竖直插入水中(水未溢出),那 么这时水面高度是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 四　长 方 体（二） 第8课时 练 习 四 1. 填一填。 (1) 一个正方体的棱长是40cm,这个正方体 的表面积是( )dm2,体积是( )m3。 (2) 一个长方体的长是15cm,宽是长的35 , 高是宽的2 3 ,这个长方体的体积是( )cm3。 (3) 一个长方体鱼缸的容积是300L,从里面 量,这个鱼缸的长是60cm,宽是50cm,它的 高是( )cm。 (4) 一种长方体油箱,从里面量,长5分米, 宽4分米,高2分米,这种油箱可装汽油( ) 升。如果行驶10千米耗油0.8升,那么一箱 汽油最多可以行驶( )千米。 2. 计算苹果的体积。 3. (生活应用)为方便接送学生的家长停车,学 校修建了一个长185米、宽20米的停车场, 停车场要铺10厘米厚的混凝土。 (1) 需要用去多少立方米的混凝土? (2) 若一辆货车每次可以运混凝土6立方米, 则这辆货车至少要运多少次才能全部运完? 4. 养鸡场需要一个水槽让鸡饮水。李叔叔把一 张长50厘米、宽30厘米的铁皮的四个角各 剪去一个边长为5厘米的正方形(如图①), 然后制作成一个长方体水槽(如图②),这个水 槽最多能盛多少升水? (铁皮的厚度忽略不计) 5. (操作探究)聪聪测量乒乓球的体积的实验过 程及测量记录如下,求这个乒乓球的体积。 ① 用橡皮泥将乒乓球完全裹住并制成一个棱长 为5cm的正方体; ② 将乒乓球从这个正方体橡皮泥中拿出来; ③ 把剩下的橡皮泥捏成一个长方体。 6. (创新应用)从一个长方体的上部和下部分别 截去高3分米和6分米的小长方体后,剩下 的是一个正方体,表面积减少了108平方分 米。原来长方体的体积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(北师版)五年级下 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (平顶山卫东区)赵师傅从一个长方体的 一端截下一个最大的正方体(如图),长方体 剩余部分的长是8分米,表面积减少了36平 方分米。剩余长方体的体积是( )立方分 米,表面积是( )平方分米。 (2) (昆明五华区)泥塑艺术是我国的民间艺 术。聪聪在泥塑课上把一个棱长为4cm的 正方体彩泥捏成了一个长8cm、宽2cm的长 方体,捏成的长方体的高是( )cm。 (3) (芜湖湾沚区)一个长方体能切成一个表面 积是54cm2的正方体和一个表面积是63cm2 的小长方体,原长方体的体积是( )cm3。 2. (海口龙华区)下面的说法中,正确的是( )。 A. 棱长是6dm的正方体,它的表面积和体 积相等 B. 如果两个正方体的表面积相等,那么它们 的形状、大小一定也相同 C. 正方体的棱长扩大到原来的2倍,表面积 就扩大到原来的6倍 D. 把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体,形 状和体积都变了 3. (深圳宝安区)小新家刚装修完新房,爸爸发 现剩余两块长5分米、宽3分米的玻璃和两 块长4分米、宽3分米的玻璃,就想做一个长 方体的玻璃鱼缸(无盖),还需要配一块长 ( )分米、宽( )分米的玻璃,做成的鱼 缸最多能装多少升水? (玻璃的厚度忽略不计) 4. (湘潭雨湖区)有一个正方体水箱,从里面量 棱长为4分米,如果把一满箱水倒入一个长 8分米、宽25厘米的长方体水池内,那么水 深多少分米? (水未溢出) 5. (乌鲁木齐天山区)容器内装有6升水,水位 高15厘米,把一块珊瑚石浸没在水中,水位 高16.4厘米。这块珊瑚石的体积是多少立 方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 四　长 方 体（二） 第四单元整合提升 类型一 求组合立体图形的体积 将组合立体图形合理地切割成几个长方体或正方体, 然后分别计算体积,最后相加。或者将组合立体图形 补成规则的立体图形,再从总体积中减去补上部分的 体积。 1. 求下面各立体图形的体积。 (1) (2) 类型二 抓住不变量解决等积变形问题 将一种物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体 积是不变量。 2. 把一块棱长是0.8米的正方体钢坯锻造成 一个横截面积是0.16平方米的长方体钢块。 锻造成的这个长方体钢块长多少米? (损耗 忽略不计) 3. (思维过程)有一个装满水的正方体水箱,从 里面量棱长是9dm。如果将这个水箱中的 水倒入一个从里面量长为12dm、宽为9dm、 高为7dm的长方体水箱中,这时水面离长方 体水箱口有多少分米? 类型三 用长方形纸制作无盖容器 确定容器的长、宽、高与原来长方形纸的关系,再运用 长方体的体积计算公式进行解答。 4. 一张长方形纸长25厘米,宽20厘米。在这 张长方形纸的两个角上分别剪掉一个边长为 5厘米的正方形,并拼接在长方形纸的右侧 (如图),然后折成一个无盖纸盒。这个无盖 纸盒的容积是多少? (纸盒的厚度忽略不计) 5. (操作探究)有一张长10厘米、宽9厘米的长 方形硬纸板,从四个角上各剪去一个正方形, 再折成一个无盖的长方体纸盒。 (1) 当四个角剪去的正方形的边长是1厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? (2) 当四个角剪去的正方形的边长是2厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? (3) 当四个角剪去的正方形的边长是3厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 数学(北师版)五年级下 类型四 用排水法解决问题 将不规则物体浸没在装有(或装满)水的容器中,水未 溢出时水面上升部分水的体积(或水溢出时溢出部分 水的体积)相当于不规则物体的体积。 6. 有一个长方体水槽,从里面量底面长12厘 米,宽3厘米,水深20厘米,现在将一个底面 积为8平方厘米、高为9厘米的长方体零件 浸没在这个水槽中,且水没有溢出。这个水 槽的水面上升了多少厘米? 7. (创新意识)有一个正方体容器,棱长是24厘 米,里面注满了水。有一根长50厘米、横截 面积是12平方厘米的长方体铁棒,现将铁棒 竖直插入水中,并插到底面。会溢出多少立 方厘米的水? 8. 有一个棱长是5厘米的正方体铁块,浸没在 一个长方体容器的水中,水没有溢出。取出 铁块后,水面下降了0.5厘米。这个长方体 容器的底面积是多少平方厘米? (容器壁的 厚度忽略不计) 素养点 往长方体容器里注水 9. 如图所示为一个长方体水箱,向其中慢慢注 水,水会形成一个长方体。(水箱壁的厚度忽 略不计) (1) 当注入多少水时,水形成的长方体会第 一次出现正方形面? (2) 当继续向里面注水,是否会第二次出现 正方形面? 若会,计算第二次出现正方形面 时一共注入多少水;若不会,请说明理由。 思路提示:出现的正方形面的边长分别是长方体 水箱的宽和长。 10. (思维过程)A,B两个长方体容器里都装了 一些水,A容器的底面面积为25cm2,水面 高度为4cm;B容器的底面面积为20cm2, 水面高度为3cm。(容器壁的厚度忽略不计) (1) 若要使两个容器的水面高度相等,则要 往B容器里注入多少水? 思路提示:B容器的水面高度上升到4cm。 (2) 若要同时往两个容器里注入同样多的 水,使这两个容器的水面高度相等,则要注 入多少水? 思路提示:同时注入1cm3 的水,两个容器的水 面高度差会减少多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 四　长 方 体（二） 第二袋多2个36颗的29 。 11. (1) 720×810=576 (元) 720÷400= 1(个)……320(元) 720-100=620(元) 576<620 苏阿姨去甲商场购买比较合算, 甲商场这套衣服的现价是576元 (2) 840×810=672 (元) 840÷400= 2(个)……40(元) 840-2×100=640(元) 640<672 吴叔叔去乙商场购买比较合算, 乙商场这块手表的现价是640元 解析:甲商场所有商品打八折销售,即按原 价的8 10 销售,根据分数的意义,用乘法求出 商品的现价;乙商场可通过“原价-原价中 所含400元的个数×100元=商品的现价” 来计算,再比较两家商场的现价即可进行 判断。 12. 3 5 7 解析:设这三个质数分别是 a,b,c,根据题意可知,1a+ 1 b= a+b ab , a+b ab + 1 c= bc+ac+ab abc = 71 105 ,则abc= 105=3×5×7,所以这三个质数分别是3,5,7。 四　长 方 体（二） 第1课时 体积与容积 1. (1) 表面积 容积 体积 (2) 等于 (3) 文具盒 垃圾桶 2. (1) D (2) B C 知识归纳 体积与容积的区别 体积是指物体所占空间的大小;容 积是指容器所能容纳物体的体积。 3. > < 4. C A 5. 3×3=9(个) 9×4=36(个) 36-12=24(个) 解析:从题图中可以看出,这个长方体盒子 一层能装3×3=9(个)小正方体,能装4层, 一共能装9×4=36(个)小正方体,现在已经 装了12个,还能装36-12=24(个)。 6. (1) 图形①和图形②的体积相同 (2) 图形①的体积是图形③体积的35 7. 2+3=5(个) 5×1=5(cm3) 解析:由从正面看到的图形可知,这个物体 一共有3列,左右两列都只有一层,中间一 列有两层;由从上面看到的图形可知,这个 物体下层有4个正方体木块;由从左面看到 的图形可知,后面一排有一层,前面一排有 两层,所以后面一排共有2个正方体木块, 前面一排共有2+1=3(个)正方体木块,所 以一共有2+3=5(个)正方体木块,进而求 出这个物体的体积。 第2课时 体积单位(1) 1. (1) 长度 面积 体积 (2) 立方厘米 立方分米 立方米 2. (􀳫 )(○ )(○ )(􀳫 )(○ ) (􀳫 ) 3. 9 7 8 4. 立方厘米 立方分米 立方厘米 立方米 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 5. (1) A (2) B 6. (1) (10+6+3+1)×1=20(立方分米) 解析:要求这个立体图形的体积,就要知道 正方体的个数。由题图可知,从下往上数, 第一层有10个正方体,第二层有6个正方 体,第三层有3个正方体,第四层有1个正 方体,由此即可得到正方体的个数,用1个 正方体的体积乘正方体的个数即可求出立 体图形的体积。 (2) 体积:4×4=16(个) 16×4=64(个) 64×1=64(立方分米) 还要补上的正方体:64-20=44(个) 解析:根据搭成的立体图形可知,这个大正 方体每层有4×4=16(个)正方体,一共有 四层,所以一共有16×4=64(个)正方体, 用1个正方体的体积乘正方体的个数即可 求出大正方体的体积。最后用大正方体中 正方体的个数减去原来立体图形中正方体 的个数,即可求出还要补上的正方体的 个数。 7. 55 解析:观察题图可知,第1个立体图 形有1个小正方体;第2个立体图形比第 1个立体图形多2×2=4(个)小正方体,则 共有1+4=5(个)小正方体;第3个立体图 形比第2个立体图形多3×3=9(个)小正方 体,则共有5+9=14(个)小正方体。所以第 4个立体图形共有14+4×4=30(个)小正 方体;第5个立体图形共有30+5×5= 55(个)小正方体,因此体积为55×1= 55(cm3)。 第3课时 体积单位(2) 1. (1) 升 毫升 L mL (2) 1L 1mL 2. (1) ( )(􀳫 )( )(􀳫 ) (2) ( )(􀳫 )( ) 3. 毫升 升 升 毫升 4. 100 300(合理即可) 方法归纳 用观察法估测容器内液体的体积 把已知量当作参照量,观察未知量 与已知量之间的数量关系。 5. 小圆球:(15-9)÷(4-1)=2(cm3) 大圆球:9-2=7(cm3) 6. 10×2=20(毫升) 120÷20=6(天) 解析:先求出每天喝多少毫升的止咳糖浆, 再用这瓶止咳糖浆的总量除以每天喝的量, 求出这瓶止咳糖浆可以喝的天数。 7. (1) 答案不唯一,如可以量出200mL、 800mL、400mL的水 解析:可以把任意两种杯子的容积相加或相 减,从而量出不同体积的水。 (2) 答案不唯一,如将500mL的杯子装满 水,全 部 倒 入 700mL 的 杯 子 里,再 将 300mL的杯子装满水,继续往700mL的杯 子里倒水,倒满为止,此时300mL的杯子里 剩下的水的体积就是100mL 第4课时 长方体的体积(1) 1. 长(a)/ cm 宽(b)/ cm 高(h)/ cm 小正方体 的数量/个 长(正)方体 的体积 (V)/cm3 8 1 1 8 8 4 2 1 8 8 2 2 2 8 8 (1) 长×宽×高 V=abh (2) 棱长×棱 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 长×棱长 V=a3 2. 2×2×2×5.8=46.4(千克) 3. (20-8×2)÷2=2(cm) 8×6×2=96(cm3) 4. (1) 27 (2) 8 (3) 60 5. 1.3-0.3×2=0.7(米) 0.7×0.7×0.5×2=0.49(立方米) 6. 10=5×2 14=7×2 35=7×5 7× 5×2=70(cm3) 解析:因为长方体的长、 宽、高的厘米数都是质数,所以把10、14、 35分解成两个质数的乘积的形式,从而推 出这个长方体的长、宽和高,再利用长方体 的体积计算公式即可解答。 第5课时 长方体的体积(2) 1. (1) 71300 (2) 87 (3) 64 2. 底面积(S)/cm2 25 25 28 12 高(h)/cm 5 25 6 7.3 体积(V)/cm3 125 625 168 87.6 底面积 高 V=Sh 3. 1.5×1.2×(0.8-0.2)=1.08(立方米) 4. 200÷(12+8)=10(厘米) 12×8×10=960(立方厘米) 5. 24÷2×(10÷2)=60(cm3) 解析:两个完全一样的小长方体拼成一个大 长方体,大长方体的表面积比原来两个小长 方体的表面积之和少24cm2,也就是减少了 两个侧面的面积,把这个侧面看作横截面, 所 以 一 个 横 截 面 的 面 积 是 24÷2= 12(cm2)。因为大长方体的长是10cm,所 以原来小长方体的长是10÷2=5(cm)。根 据长方体的体积计算公式,即可求出原来一 个小长方体的体积。 6. 2dm=20cm 假设题图中长方体容器的 宽为bcm。 6×20×b÷(15×b)=8(cm) 解析:可以先假设长方体容器的宽为bcm, 再根据变化前后水的体积不变来求解。 第6课时 体积单位的换算 1. (1) 1000 1000 (2) 2000 2 (3) 10 112 2. 划去25500立方厘米 划去0.05048立方米 易错分析 弄错体积单位间的进率 若体积单位不统一,则需转化成相 同的体积单位再比较大小。转化时一定 要牢记只有“相邻”两个体积单位间的进 率才是1000,不要弄错。 3. 100毫升=0.1升 1.7÷0.1=17(元) 250毫升=0.25升 5.8÷0.25=23.2(元) 19.5÷1.5=13(元) 13<17<23.2 买桶装的酸奶最合算 4. 苹果箱的长是40cm,宽是30cm,高是 20cm 40×30×20=24000(cm3) 5. 10×6.5×14=910(cm3) 910cm3= 910mL 910mL=910mL 它的净含量表 示得不对,因为物体的容积应小于它的体积 解析:根据长、宽、高算出体积,单位换算后 再与910mL进行比较,得出结论。 6. 50×20×20÷2=10000(cm3) 10000cm3=10000mL=10L 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 第7课时 有趣的测量 1. (1) (2) 12×12×(12-10-1.5)=72(cm3) 2. (1) 上升部分 (2) 溢出 溢出 (3) 每颗花生米、葡萄等较小的物体的体积 3. 30 35 4. C 解析:要求一颗玻璃球的体积的范 围,根据题意,先求出五颗玻璃球的体积大 于多少,四颗玻璃球的体积小于多少,进而 推测出一颗玻璃球的体积的范围。因为把 五颗玻璃球浸没在水中,水满溢出,所以五 颗玻璃球的体积大于500-300=200(mL), 200mL=200cm3,则一颗玻璃球的体积大 于200÷5=40(cm3);因为把四颗玻璃球浸 没在水中,水没有满,所以四颗玻璃球的体 积小于200cm3,则一颗玻璃球的体积小于 200÷4=50(cm3),因此这样一颗玻璃球的 体积在40cm3以上,50cm3以下。 5. 6立方分米=6000立方厘米 (46×25×14-1100)÷6000=2.5(分) 解析:因为这块假山石的高是14厘米,所以 当鱼缸内的水面高度是14厘米时,就能把假 山石浸没在水中,所以只要求出水面高度为 14厘米时,鱼缸内的水和假山石的总体积, 用总体积减去假山石的体积,再除以水管每 分注水的体积,即可求出至少需要的时间。 6. 8×6×2.8÷(8×6-4×4)=4.2(dm) 解析:水的体积不变,但插入铁块后,水的底 面积变小了。玻璃缸的底面积减去铁块的 底面积等于插入铁块后水的底面积。用水 的体积除以插入铁块后水的底面积,即可求 出水面高度。 第8课时 练 习 四 1. (1) 96 0.064 (2) 810 (3) 100 (4) 40 500 2. 8×8×(7-5)=128(立方厘米) 3. (1) 10厘米=0.1米 185×20×0.1=370(立方米) (2) 370÷6=61(次)……4(立方米) 61+1=62(次) 解析:要求多少次才能全 部运完,要采用“进一法”。运61次后还剩 4立方米,则还要再运1次,所以一共要运 61+1=62(次)才能全部运完。 4. (50-5×2)×(30-5×2)×5=4000(立 方厘米) 4000立方厘米=4立方分米 4立方分米=4升 5. 5×5×5-6.1×5×3=33.5(cm3) 6. 108÷(3+6)=12(分米) 12÷4=3(分 米) 3×3×(3+3+6)=108(立方分米) 解析:从长方体的上部和下部分别截去高 3分米和6分米的小长方体后,剩下的是一 个正方体,表面积减少了108平方分米。所 以原来长方体的底面是正方形,表面积减少 的就是截去的两个小长方体的侧面积之和, 截去的两个小长方体的底面相同,高的和是 (3+6)分米,所以底面周长是108÷(3+ 6)=12(分米)。因为底面是正方形,所以底 面边长是12÷4=3(分米),则原来长方体的 长和宽都是3分米,高是(3+3+6)分米,进 而利用长方体的体积计算公式求出原来长 方体的体积。 提分真题集训 1. (1) 72 114 (2) 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 (3) 60.75 解析:用切成的正方体的表面 积除以6求出切成的正方体的底面积,据此 求出切成的正方体的棱长,进而求出切成的 正方体的体积。切成的小长方体有两个相 对的面是正方形,且与切成的正方体的一个 面相同,其他4个面是完全相同的长方形, 因此可以求出切成的小长方体的长,进而求 出切成的小长方体的体积。切成的正方体 与切成的小长方体的体积和就是原长方体 的体积。 2. B 3. 5 4 5×4×3=60(立方分米) 60立 方分米=60升 解析:长方体相对面的面 积相等,现有两块长5分米、宽3分米的玻 璃和两块长4分米、宽3分米的玻璃,用这 四块玻璃分别作长方体鱼缸的前后面、左右 面,那么它的底面是长5分米、宽4分米的 长方形。 4. 25厘米=2.5分米 (4×4×4)÷(8×2.5)=3.2(分米) 5. 6升=6立方分米=6000立方厘米 6000÷15×(16.4-15)=560(立方厘米) 解析:用水的体积除以水位,可以求出容器 的底面积。水位上升部分的体积就是珊瑚 石的体积,用容器的底面积乘水位上升的高 度即可求出这块珊瑚石的体积。 第四单元整合提升 1. (1) (8+6)×11×(9-4)=770(cm3) 6×4×11=264(cm3) 770+264=1034(cm3) 解析:观察题图可知,组合立体图形的体积 是长6+8=14(cm)、宽11cm、高9-4= 5(cm)的长方体与长6cm、宽11cm、高 4cm的长方体的体积之和。 (2) 10×12×6-5×8×3=600(m3) 解析:观察题图可知,组合立体图形的体积 是长10m、宽12m、高6m的长方体与长 5m、宽8m、高3m的长方体的体积之差。 2. 0.8×0.8×0.8÷0.16=3.2(米) 解析:由题意可知,正方体钢坯和长方体钢 块的体积相等,先求出正方体钢坯的体积, 即长方体钢块的体积,再除以长方体钢块的 横截面积,就得到长方体钢块的长。 3. 9×9×9÷(12×9)=6.75(dm) 7-6.75=0.25(dm) 解析:先求出正方体 水箱中水的体积,然后用这个体积除以长方 体水箱的底面积就是水面高度,最后用长方 体水箱的高减去水面高度,即可求解。 4. (25-5)×(20-5×2)×5=1000(立方 厘米) 5. (1) (10-1×2)×(9-1×2)×1=56(立 方厘米) (2) (10-2×2)×(9-2×2)× 2=60(立方厘米) (3) (10-3×2)×(9- 3×2)×3=36(立方厘米) 6. 8×9÷(12×3)=2(厘米) 7. 50>24 12×24=288(立方厘米) 解析:由题意可知,插入水中的铁棒的体积 就是溢出的水的体积,因为50>24,所以铁 棒不能完全插入水中,所以用铁棒的横截面 积乘插入水中部分的长度即可。 8. 5×5×5÷0.5=250(平方厘米) 解析:由题意可知,正方体铁块浸没在水中, 取出铁块后,水面下降部分的水的体积就等 于铁块的体积,铁块的棱长已知,则可求出 下降部分的水的体积,用下降部分的水的体 积除以下降的高度,就是容器的底面积。 9. (1) 12×9×9=972(dm3) 解析:第一 次出现正方形面时正方形的边长与长方体 水箱的宽相等,即注水的高度达到9dm。此 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 时,注入的水的体积为12×9×9=972(dm3)。 (2) 会第二次出现正方形面 12×12×9= 1296(dm3) 解析:第二次出现正方形面时 正方形的边长与长方体水箱的长相等,即注 水的高度达到12dm。此时,一共注入的水 的体积为12×12×9=1296(dm3)。 10. (1) 20×(4-3)=20(cm3) 解析:若要使两个容器的水面高度相等,则 B容器的水面高度上升到4cm,增加4-3= 1(cm),即要注入20×1=20(cm3)的水。 (2) 1÷20=0.05(cm) 1÷25=0.04(cm) 0.05-0.04=0.01(cm) 1÷0.01=100 100×1=100(cm3) 解析:每注入1cm3的 水,B 容 器 的 水 面 高 度 上 升 1÷20= 0.05(cm),A容器的水面高度上升1÷25= 0.04(cm),B 容 器 比 A 容 器 多 上 升 0.01cm,A,B两个容器原来的水面高度相 差1cm,据此可求出要注入的水的体积。 整理与复习 第1课时 分数加减法 1. 图略 (1) 1 4+ 1 2= 3 4 2 3- 1 6= 3 6= 1 2 (2) < > 2. 3. 7 10 1 2 4. (1) 1 4+ 2 5= 13 20 (2) 1 4+ 2 5+ 1 8+ 1 10= 7 8 7 8<1 不是全班同学都参加了读书活动 5. 2 5+ 9 10= 13 10 13 10-1= 3 10 解析:由题意 可知,获奖总人数是整体“1”,25+ 9 10= 获一 等奖、二等奖、二等奖、三等奖的人数占获奖 总人数的几分之几,其中获一等奖、二等奖、 三等奖的人数之和是获奖总人数,即整体 “1”,所以用两个分数的和减去1即可求出 获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几。 6. 答案不唯一,如 解析:先将5个分数通分,12= 6 12 ,1 3= 4 12 ,1 4= 3 12 ,1 6= 2 12 ,1 12= 1 12 ,将它们分别填 入框里,相当于把1,2,3,4,6这5个数分别 填入框里,使横行、竖列中三个数的和相等。 如1+6=7,3+4=7,所以把2填在中间,也 就是把1 6 填在中间,再把1 12 和1 2 填在同一行 (或列)中,把1 3 和1 4 填在同一列(或行)中。 注意本题答案不唯一。 第2课时 分数乘法 1. (1) 36×29=8 (朵) (2) 10 21× 3 10= 1 7 2. 涂一涂略 45 1 2 3. 21 2 24 5 27 7 12 5 32 8 5 4. < < > = 5. 54×19=6 (千瓦时) 54-6=48(千瓦时) 6. (1) 1 8 15 8 (2) 25 11 0.4 1 n (3) 315 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91