四 长方体(二)-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（北师大版 广东专用）

商品的现价;乙商场可通过“原价-原价中 所含400元的个数×100元=商品的现价” 来计算,再比较两家商场的现价即可进行 判断。 12. 这三个质数分别是3,5,7 解析:设这 三个质数分别是a,b,c。根据题意可知, 1 a+ 1 b= a+b ab ,a+b ab + 1 c= bc+ac+ab abc = 71 105 ,则abc=105=3×5×7,所以这三个质数 分别是3,5,7。 四　长 方 体（二） 第1课时 体积与容积 1. (1) 表面积 容积 体积 (2) 等于 (3) 文具盒 垃圾桶 2. (1) C (2) B 知识归纳 体积与容积的区别 体积是指物体所占空间的大小;容 积是指容器所能容纳物体的体积。 3. > < 4. C A 5. 3×3=9(个) 9×4=36(个) 36-12=24(个) 解析:从题图中可以看出,这个长方体盒子 一层能装3×3=9(个)小正方体,能装4层, 一共能装9×4=36(个)小正方体,现在已经 装了12个,还能装36-12=24(个)。 6. (1) 图形①和图形②的体积相同 (2) 图形①的体积是图形③体积的35 7. 2+3=5(个) 5×1=5(cm3) 解析:由从正面看到的图形可知,这个物体 一共有3列,左右两列都只有一层,中间一 列有两层;由从上面看到的图形可知,这个 物体下层有4个正方体木块;由从左面看到 的图形可知,后面一排有一层,前面一排有 两层,所以后面一排共有2个正方体木块, 前面一排共有2+1=3(个)正方体木块,所 以一共有2+3=5(个)正方体木块,进而求 出这个物体的体积。 第2课时 体积单位(1) 1. (1) 长度 面积 体积 (2) 立方厘米 立方分米 立方米 2. (􀳫 )(○ )(○ )(􀳫 )(○ ) (􀳫 ) 3. 18 8 4. 立方厘米 立方分米 立方厘米 立方分米 5. (1) A (2) B 6. (1) (10+6+3+1)×1=20(立方分米) 解析:要求这个立体图形的体积,就要知道 正方体的个数。由题图可知,从下往上数, 第一层有10个正方体,第二层有6个正方 体,第三层有3个正方体,第四层有1个正 方体,由此即可得到正方体的个数,用1个 正方体的体积乘正方体的个数即可求出立 体图形的体积。 (2) 体积:4×4=16(个) 16×4=64(个) 64×1=64(立方分米) 还要添加的正方体:64-20=44(个) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 解析:根据搭成的立体图形可知,这个大正 方体每层有4×4=16(个)正方体,一共有 四层,所以一共有16×4=64(个)正方体, 用1个正方体的体积乘正方体的个数即可 求出大正方体的体积。最后用大正方体中 正方体的个数减去原来立体图形中正方体的 个数,即可求出还要添加的正方体的个数。 7. 8 24 解析:根据题意可知,32个小正 方体的体积和是其中一个物体体积的(1+ 3)倍,据此可求出其中一个物体的体积,进 而求出另一个物体的体积。 第3课时 体积单位(2) 1. (1) 升 毫升 L mL (2) 1L 1mL 2. (1) ( )(􀳫 )( )(􀳫 ) (2) ( )(􀳫 )( ) 3. 立方米 毫升 立方分米 升 4. 100 300(合理即可) 方法归纳 用观察法估测容器内液体的体积 把已知量当作参照量,观察未知量 与已知量之间的数量关系。 5. 小圆球:(15-9)÷(4-1)=2(cm3) 大圆球:9-2=7(cm3) 6. 15×3×3=135(毫升) 135>120 不够 7. (1) 答案不唯一,如可以量出200mL、 800mL、400mL的水 解析:可以把任意两种杯子的容积相加或相 减,从而量出不同体积的水。 (2) 答案不唯一,如将500mL的杯子装满 水,全 部 倒 入 700mL 的 杯 子 里,再 将 300mL的杯子装满水,继续往700mL的杯 子里倒水,倒满为止,此时300mL的杯子里 剩下的水的体积就是100mL 第4课时 长方体的体积(1) 1. 长(a)/ cm 宽(b)/ cm 高(h)/ cm 小正方体 的数量/个 长(正)方体 的体积 (V)/cm3 8 1 1 8 8 4 2 1 8 8 2 2 2 8 8 (1) 长×宽×高 V=abh (2) 棱长×棱 长×棱长 V=a3 2. 2×2×2×5.8=46.4(千克) 3. (20-8×2)÷2=2(cm) 8×6×2=96(cm3) 4. (1) 27 (2) 8 (3) 60 5. 5.4÷(6×3)=0.3(米) 6. 10=5×2 14=7×2 35=7×5 7× 5×2=70(cm3) 解析:因为这个长方体的 长、宽、高的厘米数都是质数,所以把10,14, 35分解成两个质数的乘积的形式,从而推 出这个长方体的长、宽和高,再利用长方体 的体积计算公式即可解答。 第5课时 长方体的体积(2) 1. (1) 71300 (2) 87 (3) 64 2. 底面积 高 体 积 25cm2 14cm 350cm3 18m2 7.5m 135m3 45dm2 12dm 540dm3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 底面积 高 V=Sh 3. 1.5×1.2×(0.8-0.2)=1.08(立方米) 4. 200÷(12+8)=10(厘米) 12×8×10=960(立方厘米) 5. 36÷2=18(平方分米) 18平方分米= 0.18平方米 0.18×3.2=0.576(立方米) 6. 17×9×3=459(cm3) 459÷(9×5)=10.2(cm) 第6课时 体积单位的换算 1. (1) 1000 1000 (2) 2000 2 (3) 10 112 2. 划去25500立方厘米 划去0.05048立方米 易错分析 弄错体积单位间的进率 若体积单位不统一,则需转化成相 同的体积单位再比较大小。转化时一定 要牢记只有“相邻”两个体积单位间的进 率才是1000,不要弄错。 3. 50×40×30=60000(cm3) 60000cm3=60dm3 60dm3=60L 60×12=720(km) 4. 苹果箱的长是40cm,宽是30cm,高是 20cm 40×30×20=24000(cm3) 5. 10×6.5×14=910(cm3) 910cm3= 910mL 910mL=910mL 这盒牛奶的净 含量标示得不对,因为物体的容积应小于它 的体积 解析:根据长、宽、高算出体积,单 位换算后再与910mL进行比较,得出结论。 6. 50×20×20÷2=10000(cm3) 10000cm3=10000mL 10000mL=10L 第7课时 有趣的测量 1. (1) 上升部分 (2) 溢出 溢出 (3) 每颗花生米、葡萄等较小的物体的体积 2. (1) ① ✕ ② 􀳫 ③ 􀳫 (2) 10×10×(11-9)=200(cm3) 3. 30 35 4. C 解析:要求一颗玻璃球的体积的范 围,根据题意,先求出五颗玻璃球的体积大 于多少,四颗玻璃球的体积小于多少,进而 推测出一颗玻璃球的体积的范围。因为把 五颗玻璃球浸没在水中,水满溢出,所以五 颗玻璃球的体积大于500-300=200(mL), 200mL=200cm3,则一颗玻璃球的体积大 于200÷5=40(cm3);因为把四颗玻璃球浸 没在水中,水没有满,所以四颗玻璃球的体 积小于200cm3,则一颗玻璃球的体积小于 200÷4=50(cm3),因此一颗玻璃球的体积 在40cm3以上,50cm3以下。 5. 6立方分米=6000立方厘米 (46×25×14-1100)÷6000=2.5(分) 解析:因为这块假山石的高是14厘米,所以 当鱼缸内的水面高度是14厘米时,就能把假 山石浸没在水中,所以只要求出水面高度为 14厘米时,鱼缸内的水和假山石的总体积, 用总体积减去假山石的体积,再除以水管每 分注水的体积,即可求出至少需要的时间。 6. 8×6×2.8÷(8×6-4×4)=4.2(dm) 解析:水的体积不变,但插入铁块后,水的底 面积变小了。玻璃缸的底面积减去铁块的 底面积等于插入铁块后水的底面积。用水 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 的体积除以插入铁块后水的底面积,即可求 出水面高度。 第8课时 练 习 四 1. (1) 96 0.064 (2) 810 (3) 100 2. (1) 15×10×10=1500(cm3) 1500cm3=1.5dm3 1.5dm3=1.5L (2) 15×10×(12-10)=300(cm3) 3. (1) 10厘米=0.1米 185×20×0.1=370(立方米) (2) 370÷6=61(次)……4(立方米) 61+1=62(次) 解析:要求多少次才能全 部运完,要采用“进一法”。运61次后还剩 4立方米,则还要再运1次,所以一共要运 61+1=62(次)才能全部运完。 4. D 5. 5×5×5-6.1×3×5=33.5(cm3) 6. 108÷(3+6)=12(分米) 12÷4=3(分 米) 3×3×(3+3+6)=108(立方分米) 解析:由题意得,原来长方体的底面是正方 形,表面积减少的就是截去的两个小长方体 的侧面积之和,截去的两个小长方体的底面 相同,高的和是(3+6)分米,所以底面周长 是108÷(3+6)=12(分米)。因为底面是正 方形,所以底面边长是12÷4=3(分米),则 原来长方体的长和宽都是3分米,高是(3+ 3+6)分米,进而利用长方体的体积计算公 式求出原来长方体的体积。 提分真题集训 1. 150 2. (1) D (2) B (3) B 3. 5 4 5×4×3=60(立方分米) 60立 方分米=60升 解析:长方体相对面的面 积相等,用两块长5分米、宽3分米的玻璃 和两块长4分米、宽3分米的玻璃分别作长 方体鱼缸的前后面、左右面,那么这个鱼缸 的底面是长5分米、宽4分米的长方形。 4. 50×40×30=60000(立方厘米) 60000立方厘米=60立方分米 60立方分米=60升 15×60=900(千米) 5. 2.5立方分米=2500立方厘米 (50× 30×24-125×24)÷2500=13.2(分) 解析:由题意可知,要将小长方体淹没,水池 内至少需要注入24厘米高的水。根据“至 少需要注入水的体积=水池内24厘米高的 水的体积-小长方体的体积”“至少需要注 入水的时间=至少需要注入水的体积÷水 管每分流出水的体积”列式计算即可。 第四单元整合提升 1. (1) (8+6)×11×(9-4)=770(cm3) 6×11×4=264(cm3) 770+264=1034(cm3) 解析:观察题图可知,组合立体图形的体积 是长6+8=14(cm)、宽11cm、高9-4= 5(cm)的长方体与长6cm、宽11cm、高 4cm的长方体的体积之和。 (2) 10×12×6-5×8×3=600(m3) 解析:观察题图可知,组合立体图形的体积 是长10m、宽12m、高6m的长方体与长 5m、宽8m、高3m的长方体的体积之差。 2. 0.8×0.8×0.8÷0.16=3.2(米) 解析:由题意可知,正方体钢坯和长方体钢 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 块的体积相等,先求出正方体钢坯的体积, 即长方体钢块的体积,再除以长方体钢块的 横截面积,就得到长方体钢块的长。 3. 25×4÷(25+15)=2.5(米) 4-2.5= 1.5(米) 解析:A处比B处高4米,A处比 B处的土多25×4=100(立方米),将这些土 推向B处,使A,B两处同样高,则将100立 方米的土平铺在25+15=40(平方米)的面 上,高为100÷40=2.5(米),A处下降了 4-2.5=1.5(米)。 4. (40-6×2)×(32-6×2)×6=3360(cm3) 5. (1) (10-1×2)×(9-1×2)×1=56(立 方厘米) (2) (10-2×2)×(9-2×2)× 2=60(立方厘米) (3) (10-3×2)×(9- 3×2)×3=36(立方厘米) 6. 10×10×(5.2-5)÷10=2(cm3) 7. 50>24 12×24=288(立方厘米) 解析:由题意可知,插入水中的铁棒的体积 就是溢出的水的体积,因为50>24,所以铁 棒不能完全插入水中,用铁棒的横截面积乘 插入水中部分的长度即可。 8. (1) 8×5+(8×6+5×6)×2=196(平方 分米) (2) 8×5×(6-5.4)=24(立方分 米) 27>24 27-24=3(立方分米) 3立方分米=3升 会溢出,溢出3升水 9. (1) 12×9×9=972(dm3) 解析:第一 次出现正方形面时正方形的边长与长方体 水箱的宽相等,即注水的高度达到9dm。此 时,注入的水的体积为12×9×9=972(dm3)。 (2) 会第二次出现正方形面 12×12×9= 1296(dm3) 解析:第二次出现正方形面时 正方形的边长与长方体水箱的长相等,即注 水的高度达到12dm。此时,一共注入的水 的体积为12×12×9=1296(dm3)。 10. (1) 20×(4-3)=20(cm3) 解析:若要使两个容器的水面高度相等,则 B容器的水面高度上升到4cm,增加4-3= 1(cm),即要注入20×1=20(cm3)的水。 (2) 1÷20=0.05(cm) 1÷25=0.04(cm) 0.05-0.04=0.01(cm) 1÷0.01=100 100×1=100(cm3) 解析:每注入1cm3的 水,B 容 器 的 水 面 高 度 上 升 1÷20= 0.05(cm),A容器的水面高度上升1÷25= 0.04(cm),B 容 器 比 A 容 器 多 上 升 0.01cm,A,B两个容器原来的水面高度相 差1cm,据此可求出要注入的水的体积。 整理与复习 第1课时 分数加减法 1. (1) 14+ 1 2= 3 4 2 3- 1 6= 3 6= 1 2 (2) < > 2. 3. 7 10 1 2 4. (1) 1 4+ 2 5= 13 20 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 四 长 方 体（二） 第1课时 体积与容积 1. 填一填。 (1) 做一个油箱,求至少要用多少铁皮,是求 油箱的( );求油箱能装多少汽油,是求油 箱的( );求这个油箱所占空间的大小,是 求这个油箱的( )。 (2) (生活应用)把一块橡皮泥先捏成正方 体,再捏成圆柱,正方体的体积( )圆柱的 体积。(填“大于”“小于”或“等于”) (3) 以上三种物品中,( )的容积最小, ( )的容积最大。 2. (1) 一块橡皮泥,妙想第一次把它捏成长方 体,第二次把它捏成正方体,捏成的两个物体 的体积相比,( )。 A. 长方体大 B. 正方体大 C. 一样大 D. 无法确定 (2) ★(深圳光明区)淘气看到一瓶洗发水的 包 装 上 印 有“净 含 量:500mL”的 字 样, “500mL”是指( )。 A. 洗发水瓶的体积 B. 瓶内洗发水的体积 C. 洗发水瓶的容积 D. 瓶内洗发水的质量 3. (几何直观)比一比,谁的体积大? 在 里 填上“>”“<”或“=”。 4. 如图所示的三个杯子,( )的容积最大, ( )的容积最小。(填字母) 5. 数一数,如图所示的长方体盒子还能装多少 个这样的小正方体? 6. (1) 哪两个图形的体积相同? (2) 图形①的体积是图形③体积的几分之几? 7. 用体积都是1cm3的正方体木块摆成一个物 体,从正面、左面、上面看到的图形分别如图 所示。这个物体的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第2课时 体积单位(1) 1. 填一填。 (1) 测量课桌的高度要用( )单位,测量 黑板的大小要用( )单位;测量讲台所占 空间的大小要用( )单位。 (2) 我们学过的常用的体积单位有( )、 ( )和( )。 2. (生活体验)估计下面各物体的体积,在大于 1dm3 的物体下面画“􀳫”,在小于1dm3 的物 体下面画“○”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. (惠州惠阳区)下面的图形都是用1cm3的正 方体搭成的。图形①的体积是( )cm3, 图形②的体积是( )cm3。 4. 在括号里填上适当的体积单位。 火柴盒的体积 约为30( )。 生日蛋糕的体积 约为16( )。 平板电脑的体积 约为400( )。 洗衣机的体积 约为400( )。 5. 选一选。 (1) 25个幼儿园的小朋友站在一起所占的空 间大约是2( )。 A. m3 B. dm3 C. cm3 D. m2 (2) 下面的说法中,错误的是( )。 ① 把一块正方体黏土捏成长方体,体积不变。 ② 体积单位比面积单位大。 ③ 体积是1立方米的物体,一定是棱长为 1米的正方体。 A. ①② B. ②③ C. ①②③D. ② 6. 如图所示为一个用体积是1立方分米的正方 体搭成的立体图形。 (1) 这个立体图形的体积是多少立方分米? (2) 以这个立体图形的最长边为棱,搭成 一个大正方体,则这个大正方体的体积是多 少立方分米? 还要添加多少个体积是1立方 分米的正方体? 7. (茂名电白区)用32个体积是1立方厘米的 小正方体摆出两个物体,使其中一个物体的 体积是另一个物体的3倍。这两个物体的体 积分别是( )立方厘米和( )立方厘米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 数学(北师版·广东专用)五年级下 第3课时 体积单位(2) 1. 填一填。 (1) 计量液体的体积,一般用容积单位( ) 和( ),也可以写成( )和( )。 (2) 从里面量棱长为1dm的正方体容器的 容积是( );从里面量棱长为1cm的正方 体容器的容积是( )。 2. (生活体验)在适当容器下面的括号里画“􀳫”。 (1) 哪些容器的容积大于1L? ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 要盛2L水,用哪种容器最合适? ( ) ( ) ( ) 3. (深圳盐田区)在括号里填上适当的体积单位 或容积单位。 车厢体积约是25( )。可装药水约6( )。 占空间约1( )。 可装水约20( )。 4. ★(推理意识)下面的杯中有多少毫升水? 估 一估,填一填。 容积500mL 约( )mL 约( )mL 5. 大圆球和小圆球的体积各是多少? 6. (茂名)淘气今年8岁,他最近咳嗽,医生给他 开了一种止咳糖浆,该止咳糖浆的部分说明 如图所示。淘气要连续服用3天,购买一瓶 够吗? [规格] 每瓶120毫升。 [用法用量] 口服,每天三次。 3~7岁儿童:每次5~10毫升; 7岁以上:每次15~20毫升。 7. (操作探究)如图所示为三种不同规格的杯子。 (1) 从上面的三种杯子中任意拿出两种,可 以量出多少毫升的水? (写出三种即可) (2) 请用这三种杯子量出100mL的水。(简 要写出过程) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 四　长 方 体（二） 第4课时 长方体的体积(1) 1. 用8个棱长为1cm的小正方体摆成不同的 长方体或正方体,填一填。 长(a)/ cm 宽(b)/ cm 高(h)/ cm 小正方体 的数量/个 长(正)方体的 体积(V)/cm3 观察表格,我发现: (1) 长方体的体积=( ), 用字母表示为( )。 (2) 正方体的体积=( ), 用字母表示为( )。 2. (时事热点)新能源汽车已经成为我国重要的 产业。某汽车集团计划在下一代新能源汽车 中使用新型固态电池,相关信息如图所示。 每个新型固态电池重多少千克? ① 电池是棱长为2分米的正方体。 ② 每立方分米电池重5.8千克。 ③ 每立方分米电池的价格是7800元。 3. (操作探究)下面是一个长方体纸盒的表面展 开图,根据展开图中的信息,求原来这个长方 体纸盒的体积。 4. 填一填。 (1) 正方体的棱长扩大到原来的3倍,它的 体积就扩大到原来的( )倍。 (2) 一根长方体木料,长8分米,宽4分米, 高2分米。把它锯成最大的正方体木块,最 多可以锯( )个。(损耗忽略不计) (3) 一个从里面量长、宽、高分别为10cm、 6cm、9cm的长方体纸盒,最多能放( ) 个棱长为2cm的小正方体。 5. (深圳龙华区)阳光小学新建的长方体沙池从 里面量长6米,宽3米。工程队运来5.4立 方米沙子,刚好把沙池填满。这个沙池有 多深? 6. (创新应用)一个长方体相邻三个面的面积分 别是10cm2、14cm2、35cm2。如果这个长方 体的长、宽、高的厘米数都是质数,那么这个 长方体的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(北师版·广东专用)五年级下 第5课时 长方体的体积(2) 1. 填一填。 (1) (人文历史)秦始皇陵兵马俑被誉为“世 界第八大奇迹”,其中最早发现的是一号俑坑, 呈长方体,其东西长约230m,南北宽约62m, 深约5m。一号俑坑的容积约是( )m3。 (2) (地域景观)世博钟楼位于上海火车站南 广场,钟楼的主体是近似的长方体,占地面积 约为5.8m2,高约为15m,它的体积约是 ( )m3。 (3) 王师傅把一根长7dm、宽4dm、高5dm 的长方体木料锯成一个最大的正方体,这个 正方体的体积是( )dm3。 2. 算一算,填一填。 底面积 高 体 积 25cm2 14cm 7.5m 135m3 45dm2 540dm3 长方体和正方体的体积都可以用( )乘 ( )来计算,可以用字母表示为( )。 3. 一个无盖长方体水箱,从里面量长1.5米,宽 1.2米,深0.8米。水箱的壁上有一个洞(如 图),这个水箱最多能盛水多少立方米? 4. 一个长方体的长是12厘米,高是8厘米,涂 色部分的面积和是200平方厘米。这个长方 体的体积是多少立方厘米? 5. (惠州)把一根长3.2米的长方体木料截成两 段(如图),表面积比原来增加了36平方分 米,原来这根木料的体积是多少立方米? 6. (深圳龙岗区)淘气将一个装有水的密封长方 体容器竖立后放在桌面上(如图),这时容器中 的水深多少厘米? (容器壁的厚度忽略不计) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 四　长 方 体（二） 第6课时 体积单位的换算 1. 填一填。 (1) 用棱长为1cm的小正方体摆一个体积 为1dm3的大正方体,需要( )个小正方 体,大正方体的体积是( )cm3。 (2) 一个长方体的底面积是250cm2,高是 8cm,它的体积是( )cm3,合( )dm3。 (3) 每瓶药水50mL,装200瓶,需要药水 ( )L;如果有5.6dm3 的药水,那么一共 可以装( )瓶。 2. ★下面两组表示体积的量中,每一组都有一 个与其他三个不相等,请划去这个不相等 的量。 3. 某种汽车的油箱的长是50cm,宽是40cm, 高是30cm,这个油箱能装多少升汽油? 如 果每升汽油可供汽车行驶12km,那么这箱 汽油最多可供这辆汽车行驶多少千米? 4. (生活应用)李阿姨的水果店运来10箱如图 所示的苹果。苹果箱的长是40m,40dm还 是40cm? 它的宽和高呢? 苹果箱的体积是 多少? 5. (说理表达)如图,这盒牛奶的净含量标示得 对吗? 为什么? 6. (思维过程)如图所示为一个密封的长方体玻 璃容器,容器中的水有多少升? (玻璃的厚度 忽略不计) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版·广东专用)五年级下 第7课时 有趣的测量 1. 填一填。 (1) 将不规则物体浸没在盛有水的容器中 (水未溢出),( )的水的体积就是物 体的体积。 (2) 将不规则物体浸没在盛满水的容器中, 水会( ),( )的水的体积就是物体的 体积。 (3) 像花生米、葡萄等较小的物体,可以一次 测量出多颗(如50颗)的体积,再算出平均 ( )。 2. (深圳宝安区)军军准备用一个底面边长为 10cm的长方体容器测量一块珊瑚石的体积。 (1) 下面的操作中,你认为必须进行的在括号 里画“􀳫”,不必进行的在括号里画“✕”。 ① 测得容器的高是14cm,并算出它的体积。 ( ) ② 将珊瑚石浸没在水中,测得水面高度是 11cm。 ( ) ③ 取出珊瑚石,测得水面高度是9cm。 ( ) (2) 请你计算出这块珊瑚石的体积。 3. (东莞)如图(单位:cm),一个小球的体积是 ( )cm3,一个大球的体积是( )cm3。 4. (操作探究)小明想要测一种玻璃球的体积。 如图所示为他测量的过程:① 将300mL的 水倒进一个容积为500mL的杯子中;② 将 四颗相同的玻璃球浸没在水中,结果水没有 满;③ 再将一颗相同的玻璃球浸没在水中, 结果水满溢出。根据以上过程,推测一颗玻 璃球的体积在( )。 A. 20cm3以上,30cm3以下 B. 30cm3以上,40cm3以下 C. 40cm3以上,50cm3以下 D. 50cm3以上,60cm3以下 5. (生活应用)爷爷喜爱养金鱼。聪聪用压岁钱 为爷爷买了一个鱼缸,并在鱼缸中放了一块 高是14厘米、体积是1100立方厘米的假山 石(如图)。若水管每分向鱼缸内注水6立方 分米,则至少需要多长时间才能把假山石浸 没在水中? (鱼缸壁的厚度忽略不计) 6. (创新应用)如图,一个长方体玻璃缸,长8dm, 宽6dm,高5dm,水深2.8dm。如果这时将 一个底面是边长为4dm的正方形、高是6dm 的长方体铁块竖直插入水中(水未溢出),那 么这时水面高度是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 四　长 方 体（二） 第8课时 练 习 四 1. 填一填。 (1) 一个正方体的棱长是40cm,这个正方体 的表面积是( )dm2,体积是( )m3。 (2) 一个长方体的长是15cm,宽是长的35 , 高是宽的2 3 ,这个长方体的体积是( )cm3。 (3) 一个长方体鱼缸的容积是300L,从里面 量,这个鱼缸的长是60cm,宽是50cm,它的 高是( )cm。 2. (深圳龙华区)如图,一个长方体玻璃水缸从 里面量长15cm,宽10cm,水深10cm。 (1) 水缸里有多少升水? (2) 这个苹果的体积是多少立方厘米? 3. (生活应用)为方便接送学生的家长停车,学 校修建了一个长185米、宽20米的停车场, 停车场要铺10厘米厚的混凝土。 (1) 需要用去多少立方米的混凝土? (2) 若一辆货车每次可以运混凝土6立方米, 则这辆货车至少要运多少次才能全部运完? 4. (清远英德)笑笑用如图所示(单位:cm)的纸 板做了一个无盖纸盒,计算这个纸盒的容积, 正确的算式为( )。(纸板厚度忽略不计) A. 94×74×12 B. (94-12)×(74-12)×12 C. (94-12)×74×12 D. (94-12)×(74-12×2)×12 5. 聪聪测量一个乒乓球的体积的实验过程及测 量记录如下,求这个乒乓球的体积。 ① 用橡皮泥将乒乓球完全裹住并制成一个棱长 为5cm的正方体; ② 将乒乓球从这个正方体橡皮泥中拿出来; ③ 把剩下的橡皮泥捏成一个长方体。 6. (创新应用)从一个长方体的上部和下部分别 截去高3分米和6分米的小长方体后,剩下 的是一个正方体,表面积减少了108平方分 米。原来长方体的体积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(北师版·广东专用)五年级下 提分真题集训 1. (广州)一个长方体纸盒相邻的两个面被撕下 了一部分,展开后如图所示,这个长方体纸盒 原来的体积是( )cm3。 2. 选一选。 (1) (揭阳普宁)一个水池能装40立方米的 水,我们就说这个水池的( )是40立方米。 A. 表面积 B. 占地面积 C. 体积 D. 容积 (2) (湛江)淘气用体积是1立方厘米的小正 方体测量图中四个长方体盒子的容积, ( )的容积最大。 A. B. C. D. (3) (海口龙华区)下面的说法中,正确的是 ( )。 A. 棱长是6dm的正方体,它的表面积和体 积相等 B. 如果两个正方体的表面积相等,那么它们 的形状、大小一定也相同 C. 正方体的棱长扩大到原来的2倍,表面积 就扩大到原来的6倍 D. 把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体,形 状和体积都变了 3. (深圳宝安区)小新家刚装修完新房,爸爸发 现剩余两块长5分米、宽3分米的玻璃和两 块长4分米、宽3分米的玻璃,就想做一个长 方体的玻璃鱼缸(无盖),还需要配一块长 ( )分米、宽( )分米的玻璃,做成的鱼 缸最多能装多少升水? (玻璃的厚度忽略不计) 4. (深圳宝安区)奇奇的爸爸准备开车带一家人 去旅游。汽车油箱的长为50厘米,宽为40 厘米,高为30厘米。出发前,汽车油箱是满 油状态,如果每行驶15千米耗油1升,那么 这辆汽车最多行驶多少千米就会耗光油箱中 的汽油? (油箱的厚度忽略不计) 5. (深圳南山区)一个长方体水池,从里面量得的 尺寸如图所示。水池内固定了一个高是24厘 米、底面积是125平方厘米的小长方体。现 在往水池里注水,水管的流量为每分2.5立 方分米,至少需要多长时间才能将小长方体 淹没? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 四　长 方 体（二） 第四单元整合提升 类型一 求组合立体图形的体积 将组合立体图形合理地切割成几个长方体或正方体, 然后分别计算体积,最后相加。或者将组合立体图形 补成规则的立体图形,再从总体积中减去补上部分的 体积。 1. 求下面各立体图形的体积。 (1) (2) 类型二 抓住不变量解决等积变形问题 将一种物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体 积是不变量。 2. 把一块棱长是0.8米的正方体钢坯锻造成 一个横截面积是0.16平方米的长方体钢块。 锻造成的这个长方体钢块长多少米? (损耗 忽略不计) 3. (湛江)一堆土如图所示,A处比B处高4米, 现在把A处的土推向B处,使A,B两处同样 高。A处下降了多少米? 类型三 用长方形纸制作无盖容器 确定容器的长、宽、高与原来长方形纸的关系,再运用 长方体的体积计算公式进行解答。 4. (环保意识)笑笑是学校的“环保卫士”,她用 如图所示的长方形硬纸板制作了一个无盖的 长方体收纳盒。这个长方体收纳盒的体积是 多少立方厘米? 5. (操作探究)有一张长10厘米、宽9厘米的长 方形硬纸板,从四个角上各剪去一个正方形, 再折成一个无盖的长方体纸盒。(硬纸板的 厚度忽略不计) (1) 当四个角剪去的正方形的边长是1厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? (2) 当四个角剪去的正方形的边长是2厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? (3) 当四个角剪去的正方形的边长是3厘米 时,长方体纸盒的容积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 数学(北师版·广东专用)五年级下 类型四 用排水法解决问题 将不规则物体浸没在装有(或装满)水的容器中,水未 溢出时水面上升部分水的体积(或水溢出时溢出部分 水的体积)相当于不规则物体的体积。 6. (揭阳榕城区)一个棱长为10cm的正方体容 器内水深5cm,奇思想要测量一颗玻璃球的 体积,他把10颗同样的玻璃球放入水中,测得 这时水深大约是5.2cm。平均每颗玻璃球的 体积大约是多少? (容器壁的厚度忽略不计) 7. (创新意识)有一个正方体容器,棱长是24厘 米,里面注满了水。有一根长50厘米、横截 面积是12平方厘米的长方体铁棒,现将铁棒 竖直插入水中,并接触到底面。会溢出多少 立方厘米的水? 8. (惠州惠东)东东在巽寮湾赶海时捡了一些漂 亮的贝壳和石头,体积共为27立方分米。家 里有一个长方体玻璃鱼缸(无盖),量得它的 长是8分米,宽是5分米,高是6分米。(玻 璃的厚度忽略不计) (1) 做这个长方体玻璃鱼缸至少需要多少平 方分米的玻璃? (2) 已知鱼缸内水深5.4分米,如果把这些 贝壳和石头一起放入鱼缸,鱼缸里的水会溢 出吗? 如果会溢出,那么会溢出多少升水? 素养点 往长方体容器里注水 9. 如图所示为一个长方体水箱,向里面慢慢注 水,水会形成一个长方体。(水箱壁的厚度忽 略不计) (1) 当注入多少水时,水形成的长方体会第 一次出现正方形面? (2) 当继续向里面注水,是否会第二次出现 正方形面? 若会,计算第二次出现正方形面 时一共注入多少水;若不会,请说明理由。 思路提示:出现的正方形面的边长分别是长方体 水箱的宽和长。 10. (思维过程)A,B两个长方体容器里都装了 一些水,A容器的底面面积为25cm2,水面 高度为4cm;B容器的底面面积为20cm2, 水面高度为3cm。(容器壁的厚度忽略不计) (1) 若要使两个容器的水面高度相等,则要 往B容器里注入多少水? 思路提示:B容器的水面高度上升到4cm。 (2) 若要同时往两个容器里注入同样多的 水,使这两个容器的水面高度相等,则要注 入多少水? 思路提示:同时注入1cm3 的水,两个容器的水 面高度差会减少多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 四　长 方 体（二）