第5章 习题课 数列求和(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

习题课　 数列求和(一) 第五章　数　列 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式. 2.掌握分组求和、倒序相加求和、并项求和等数列求和的方法. 学习目标 一、分组求和 二、倒序相加求和 课时对点练 三、并项求和 随堂演练 内容索引 分组求和 一 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1. 于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. 5 (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) 6 分组求和的适用题型 (1)若an＝bn±cn，且数列{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和. (2)通项公式为an＝ 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数 列或等差数列，可采用分组求和法求和. 反思感悟 7 跟踪训练1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 解得d＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n， 数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 8 9 由(1)知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 则数列{cn}的前21项的和 T21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(b2＋b4＋…＋b20) 10 倒序相加求和 二 例2　已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N＋)，设f(x)＝x＋ ， 则数列{f(an)}的各项之和为 A.36 B.33 C.30 D.27 √ 12 解得－2<x<8. 所以－2<an<8.又因为an＝n－2(n∈N＋)，所以满足f(an)的an所有的取值为－1,0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9. 所以f(x)＋f(6－x)＝6. 13 设数列{f(an)}的各项之和为S，则S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7).因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54. 所以S＝27. 14 倒序相加求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 反思感悟 15 跟踪训练2　德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律得出，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an＝ ，则a1＋a2＋…＋a98等于 A.96 B.97 C.98 D.99 √ 16 令S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98 则S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1 两式相加得， 所以S＝98. 17 并项求和 三 例3　已知an＝(－1)n(2n－1)，求Sn. 因为an＝(－1)n(2n－1)， 故当n＝2k(k∈N＋)时， S2k＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(4k－3)＋(4k－1)]＝ ＝2k，此时Sn＝n(n为偶数)； 当n＝2k－1(k∈N＋)时，S2k－1＝S2k－a2k＝2k－(4k－1)＝－2k＋1＝ －(2k－1)， 此时Sn＝－n(n为奇数). 综上，可知Sn＝(－1)n·n. 19 并项求和适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式进行求和. 反思感悟 20 跟踪训练3　若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 21 若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2] 若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2) 22 23 1.知识清单： (1)分组求和. (2)倒序相加求和. (3)并项求和. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶性. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为 数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则 其前10项的和为＝ . √ 1 2 3 4 2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则该医院30天入院治疗流感的共有 A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 √ 1 2 3 4 当n为奇数时，an＋2＝an， 当n为偶数时，an＋2－an＝2， 所以a1＝a3＝…＝a29＝1， a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列， 1 2 3 4 3.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为 A.2n－1 B.2n－1－1 C.2n－n－1 D.2n＋1－n－2 √ 1 2 3 4 若x1，x2∈(0,1)，且x1＋x2＝1，则 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.15 B.12 C.－12 D.－15 a5＋a6＝－14＋17＝3，a7＋a8＝－20＋23＝3，a9＋a10＝－26＋29＝3，因此a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 023等于 A.3 031 B.3 032 C.3 033 D.3 034 √ 由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 023＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 021＋a2 022)＋a2 023＝3×1 011＋1＝3 034. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，Sn为其前n项和，则S5的值为 A.63 B.61 C.62 D.57 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0，若f(x)＝ ，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)等于 A.2 021 B.4 036 C.2 023 D.4 038 √ ∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0， ∴lg(a1·a2 023)＝0，即a1·a2 023＝1. 令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)， 则T＝f(a2 023)＋f(a2 022)＋…＋f(a1)， ∴2T＝f(a1)＋f(a2 023)＋f(a2)＋f(a2 022)＋…＋f(a2 023)＋f(a1)＝2×2 023， ∴T＝2 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 A.a3＝13 B.数列 是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＝2n＋1－3， ∴a3＝13， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an＝n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＋f(1－x)＝2， 所以2an＝2(n＋1)， 所以an＝n＋1 . 8.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ＝________. ∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， 1 033 ∴bn＝1×2n－1＝2n－1， ∴ ＝2n－1＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求证：对任意实数x都有f(x)＋f(1－x)＝1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的前m项的和为Sm，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 023的值为 A.1 008 B.1 009 C.1 011 D.1 012 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an， 因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n， 当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1， 两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1， 所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以有a1＝1， 所以an＝2n－1(n∈N＋)，令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有 Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.an＝n＋1 B.an＝3n＋1 C.an＝3n＋3 D.an＝n2－2n＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a51＝________. 676 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n为大于或等于3的奇数时， Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1) 当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当n为偶数时， ＝＋. 得 (2)记cn＝(k∈N＋)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式) 又cn＝(k∈N＋)， ＝11×2＋×4＋＝， 所以数列{cn}的前21项的和为. log2 由f(x)＝x＋log2 ，知>0， 因为f(6－x)＝6－x＋log2 ， ＝＋＋…＋＋， ＝＋＋…＋＋， 2S＝＋ ＝＋＋…＋＋＝98×2， ＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有项， 故Sn＝×3＋×4＝＋； ＝3＋7＋11＋…＋(－n2)，其中前项是等差数列，故有Sn＝×3＋×4－n2＝－－， 综上所述，Sn＝n∈N＋. ＝ A.×(49－1) B.×(410－1) C.×(49－1) D.×(410－1) 所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝15＋15×2＋×2＝255. ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1， ∴Sn＝＋＋…＋＝－n＝2n＋1－n－2. 4.设函数f(x)＝＋lg ，则f ＋f ＋…＋f ＝_____. f(x1)＋f(x2)＝1＋lg ＝1， 故f ＋f ＋…＋f ＝4＋f ＝4＋＝. 因为an＝n，所以a1＋a2＝－2＋5＝3，a3＋a4＝－8＋11＝3， 1.若数列{an}的通项公式是an＝n，则a1＋a2＋…＋a10等于 2.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为 A.n2＋1－ B.n2＋2－ C.n2＋1－ D.n2＋2－ 数列1，3，5，7…的通项公式为an＝2n－1＋n， 所以Sn＝＋＋＋＋…＋ ＝＋ ＝＋＝n2＋1－. 由数列的递推关系可得，an＋1＋1＝2，a1＋1＝2 ， 据此可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则an＋1＝2×2n－1⇒an＝2n－1 ， 分组求和有S5＝－5＝57. ∵函数f ＝， ∴f(x)＋f ＝＋＝＝2. an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2，∴数列是公比为2的等比数列， 又∵a1＝1，∴an＋3＝2n－1＝2n＋1， ∴Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4. 7.若f(x)＋f(1－x)＝2，an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是______________. an＝f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f  ， an＝f ＋f ＋…＋f ＋f ＋f ，两式相加可得 2an＝＋＋…＋＋， ∵是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2＋×1＝n＋1， ∴ ＝＋10＝1 033. 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3＝3n－5. (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn. 当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 综上，Sn＝ 当an＝3n－5时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. f(1－x)＝＝＝， 10.已知函数f(x)＝. ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝1. (2)若an＝f ，其中m∈N＋，n＝1,2，…，m.求数列{an}的前m项的和. Sm＝a1＋a2＋…＋am＝f ＋f ＋…＋f ＋f(1)， ① 又Sm＝am＋am－1＋…＋a1＝f(1)＋f ＋…＋f ＋f ， ② ①＋②，得2Sm＝f(1)＋＋＋…＋ ＋f(1)＝m－1＋2f(1)＝m－1＋2×＝m＋， ∴Sm＝＋， ∴数列{an}的前m项的和为＋. 所以S2 023＝a1＋＋＋…＋＝1＋×1＝1 012. 12.已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，记数列{2an－n}的前n项和为Sn，则Sn等于 A.2n－－ B.2n－－－1 C.2n＋1－－－2 D.2n－－－2 因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝n， ① 当n≥2，n∈N＋时，有a1＋a2＋a3＋…＋·an－1＝n－1， ② ①－②得，an＝1⇒an＝2n－1，显然当n＝1时，也适合， ＝－ ＝2n＋1－2－－. 13.已知F(x)＝f －3是R上的奇函数，an＝f(0)＋f ＋…＋f ＋f(1)，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为 由题意知F＝f －3是R上的奇函数， 故F＝－F， 代入得f ＋f ＝6， ∴函数f 关于点对称， 令t＝－x，则＋x＝1－t，得到f ＋f ＝6， ∵an＝f ＋f ＋…＋f ＋f  ， 倒序相加可得2an＝6， an＝f ＋f ＋…＋f ＋f ， 即an＝3. 14.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120＝_____. 将此数列分组，第一组：＝，共21－1项；第二组：＋＋＝＝，共22－1项的和；第三组：＋＋＋＋＋＋＝＝＝，共23－1项的和；…第n组：＋＋＋＋＋＋…＋＝＝，共2n－1项的和， 由＋＋＋…＋＝2×－n＝120，解得n＝6， 因此前120项之和正好等于前6组之和，即S120＝＋＋…＋＝＝＝60. 当n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝1； 所以a1＋a2＋…＋a51＝26×1＋(2＋4＋6＋…＋50)＝26×1＋×25×(2＋50)＝676. 当n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝2＋×2＝n； 16.已知数列{an}的通项公式为an＝求数列{an}的前n项和Sn. ＝·＋ ＝＋ ＝＋. Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－2＋4n)＝＋. 综上，Sn＝ $$