第5章 习题课 求数列通项的常用方法 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

习题课　 求数列通项的常用方法 第五章　数　列 1.熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式. 学习目标 一、已知Sn＝f(n)或Sn＝f(an)，求数列的通项公式an 二、已知an＋1－an＝f(n)或 ＝f(n)，求数列的通项公式an 课时对点练 三、已知an＝pan－1＋q或an＝pan－1＋qn－1，求数列的通项公式an 随堂演练 内容索引 已知Sn＝f(n)或Sn＝f(an)，求数列的通项公式an 一 例1　已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式. (1)Sn＝2n2－3n； 当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 因为a1＝－1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－5. 5 (2)Sn＝2n＋3. 当n＝1时，a1＝S1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1. 因为a1＝5不符合上式， 6 已知Sn＝f(n)求an的步骤 第一步，令n＝1，得a1＝S1，求出a1. 第二步，当n≥2时，用n－1替换Sn中的n得到Sn－1的关系式，利用an＝Sn－Sn－1便可求出当n≥2时an的表达式. 第三步，检验a1是否符合第二步中求出的an的表达式. 第四步，写出数列的通项公式. 注意：若第三步中当n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示. 反思感悟 7 例2　已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝ ＋1，n∈N＋. (1)求a2的值； 8 (2)求数列{an}的通项公式. 9 得4Sn＝(an＋1－1)2. 所以当n≥2时，4Sn－1＝(an－1)2， 两式相减，得4an＝(an＋1－1)2－(an－1)2， 化简得(an＋1－an－2)(an＋1＋an)＝0. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2， 又a2－a1＝3－1＝2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 即an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 10 因为an>0，所以Sn>0， 所以Sn＝n2. 11 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又a1＝1符合上式， 所以an＝2n－1. 12 已知Sn与an之间的关系式求an，解决此类问题通常有两种途径 (1)由关系式消去Sn，建立an与an－1(或an＋1)之间的关系求an. (2)由关系式消去an，建立Sn与Sn－1(或Sn＋1)之间的关系求Sn，进而求an. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项公式为___________. an＝2n－10 ∵Sn＝n2－9n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10， 又a1＝S1＝－8符合上式， ∴an＝2n－10. 14 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于 A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2 √ 15 因为Sn＝2an－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－4， 两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即an＝2an－2an－1， 因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4， 所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 则an＝4×2n－1＝2n＋1. 16 已知an＋1－an＝f(n)或 ＝ f(n)，求数列的通项公式an 二 例3　 18 …， 19 验证知n＝1时，a1＝1符合上式. 20 an＋1－an＝f(n)型求通项公式的方法 (1)若f(n)为常数，即an＋1－an＝d，则数列{an}为等差数列，an＝a1＋(n－1)d. (2)若f(n)为关于n的函数，用累加法求通项an. 其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 反思感悟 21 又因为a1＝2，所以an＝2n. 22 (其中q是不为0的常数)时，数列{an}为等比数列，an＝a1·qn－1. (2)当f(n)为关于n的函数时，用累乘法. 反思感悟 23 跟踪训练2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式； ∵an＋1＝an＋n＋1， ∴an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2). 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)， 又a1＝1也适合上式， 24 又a1＝3， 25 已知an＝pan－1＋q或an＝pan－1＋qn－1，求数列的通项公式an 三 例5　(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋4(n∈N＋且n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________. 3n－2 27 设an＋x＝3(an－1＋x)， 则an＝3an－1＋2x. 又an＝3an－1＋4， ∴2x＝4，即x＝2， ∴an＋2＝3(an－1＋2)， 又∵a1＋2＝3， ∴{an＋2}是公比为3，首项为3的等比数列， 即an＋2＝3×3n－1，∴an＝3n－2. 28 将an＋1＝2an＋3·2n两边同时除以2n＋1， 所以数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－1. (2)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式. 29 (1)满足an＝pan－1＋q型的数列{an}求通项公式时，可利用待定系数法将其变形为an＋λ＝p(an－1＋λ)，再设an＋λ＝bn，则{bn}是以b1＝a1＋λ为首项，p为公比的等比数列，求出{bn}的通项公式，进而求出an. (2)满足an＝pan－1＋qn－1型的数列{an}求通项公式时，一般要先在原递推 反思感悟 30 跟踪训练3　已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式. 设an＋1＋a＝2(an＋a)，a为待定系数，展开得an＋1＝2an＋a，与原式对比知a＝3，则有an＋1＋3＝2(an＋3). 因为a1＋3＝7，所以{an＋3}是以7为首项，2为公比的等比数列， 31 1.知识清单： (1)利用公式an＝ 求通项公式an. (2)累加法和累乘法求通项公式. (3)构造数列法求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项时忽视对n＝1时的验证. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 √ 1 2 3 4 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5， 显然当n＝1时，不满足上式. 1 2 3 4 2.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，则数列{an}的通项公式为 A.an＝2n－1＋1 B.an＝2n C.an＝3n－1 D.an＝3n－1＋1 √ 因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，以上各式累加得an－a1＝2＋22＋23 ＋…＋2n－1，故an＝ ＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以an＝2n. 1 2 3 4 3.已知数列{an}中，a1＝2，(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0(n∈N＋)，则数列{an} 的通项公式为_________. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝_______. n·3n－1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是 A.2n－1 B. C.n2 D.n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＝n(an＋1－an)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＋1＝Sn＋1－Sn， 又S1＝a1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝ 的最大值为 A.－3 B.－1 C.3 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两式相减，整理得an＝－2an－1， (－2)n－1 ∴a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列， 故an＝(－2)n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a1＝1，an＋1＝2nan； ∵an＋1＝2nan， ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝ . 又a1＝1适合上式，故an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. ∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式an. 得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)， 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1， 于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N＋)，则下列说法正确的是 A.a1＝1 B.an＝n C.an＝2n－1 D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N＋). 又f(xy)＝f(x)＋f(y)， ∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)， 两式相减得2an＝3an－1. 又当n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，3S1＝a1a2,3a1＝a1a2，∴a2＝3. 当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an， 两式相减得3an＝an(an＋1－an－1)， 又∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3， ∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}满足：an＋1＋an＝4n－3(n∈N＋)，且a1＝2，则数列{an} 的通项公式an＝________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＋1＋an＝4n－3，得an＋an－1＝4n－7(n≥2)， 两式相减得an＋1－an－1＝4(n≥2). 由等差数列的定义可知，数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 方法一　由a1＝2及a2＋a1＝4－3＝1，知a2＝－1， 方法二　当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N＋， a2k＝a2＋4(k－1)，a2＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋).数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为_________. bn＝3n－2 ∵an＋1＝3an－4n＋2， ∴an＋1－2n－2＝3an－6n， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)，∴bn＋1＝3bn. 又bn＝an－2n≠0，n∈N＋， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立.数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N＋)，且a1＝2，则数列的通项公式an＝______. n·2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝2，y＝2n－1，则f(x·y)＝f(2n) ＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)， 即f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1a1， 16.已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2). (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2). 又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)， ∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n). 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列. ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N＋). 2.能够利用公式an＝及累加法、累乘法、构造数列法等求数列通项公式. 所以数列{an}的通项公式为an＝ 2 因为a1＝1，an＋1＝2＋1， 所以a2＝2＋1＝2＋1＝3. 方法一　将an＋1＝2＋1两边平方， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝n， 方法二　由an＋1＝2＋1， 得Sn＋1－Sn＝2＋1， 故Sn＋1＝(＋1)2. 所以＝＋1， 整理得an＝2an－1，所以＝2. 已知an＝an－1＋(n≥2且n∈N＋)，a1＝1，求an. a5－a4＝－， an－an－1＝－， 已知等式变形为an－an－1＝－， 则a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， 以上各式两边分别相加可得an－a1＝1－， ∴an＝2－(n>1)， ∴对任意正整数n，有an＝2－. 例4　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式. 由题意可得an≠0，所以＝， 则有＝，＝，＝，…，＝， 把以上各式叠乘，得＝n. ＝f(n)型求通项公式的方法 (1)当f(n)为常数，即＝q 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2). ∴an＝，n∈N＋. (2)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式. 由已知等式变形为＝， 则····…·＝····…·， 可得＝. ∴an＝(n∈N＋). ∴＝3(n≥2). 由等差数列的通项公式，得＝1＋(n－1)＝n－， 得＝＋， 则－＝. 又＝＝1， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列. 公式两边同除以qn，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＝bn－1＋，再应用类型(1)的方法解决. 所以an＋3＝7×2n－1，所以an＝×2n－3. A.an＝6n－5 B.an＝ C.an＝5n－6 D.an＝ 故数列的通项公式为an＝ an＝ 以上各式累乘得＝， 所以an＝，当n＝1时，a1＝2也符合上式， 故数列{an}的通项公式为an＝. 因为a1＝2，(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，所以＝， 即＝，＝，＝，…，＝， 由an＋1＝3an＋3n，可得＝，即－＝， 所以是公差为的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝n·3n－1. 1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且2anan＋2＝an＋1·an＋2＋an·an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为 A. B. C. D. 由题设变形可得＝＋，所以成等差数列，故公差为－＝－1＝1，所以＝＋(n－1)×1＝n，所以an＝. 2.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)，则数列{an}的通项公式为 A.an＝n＋1 B.an＝n C.an＝n－1 D.an＝3·n－1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1，化简得2an＝－an＋an－1，即＝. 又由S1＝a1＝(1－a1)，得a1＝， 所以an＝×n－1＝n. 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 数列是首项为1，公差为的等差数列， 3.数列{an}满足a1＝1，a2＝，且＋＝(n∈N＋，n≥2)，则an等于 A. B.n－1 C.n D. ∴＝1＋(n－1)＝， ∴an＝. n－1 ∴＝， ∴an＝×××…×××a1 ＝×××…×××1＝n. A.2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 得Sn＝Sn＋1－Sn， 即Sn＋1＝Sn(n≥1)， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列， 所以Sn＝n－1. an，则 由Sn＝an得，当n≥2时，Sn－1＝an－1， 两式作差可得an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得＝＝1＋， 由此可得，当n＝2时，取得最大值，其最大值为3. 即为等差数列，公差为2， 所以＝＋(n－1)×2＝2n－1， 所以an＝. 由an＋1＝，知＝， 7.已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝________. 即＝＋2，所以－＝2， 由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋， 8.若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝_________. 又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋， (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln； 由题意知an＋1－an＝ln， an－an－1＝ln＝ln (n≥2)， ＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2 ＝2＋ln＝2＋ln n(n≥2). ∴an＝··…··a1 ∴＝2n－1(n≥2)， 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an， 两式作差得nan＝an＋1－an， 于是an＝ an＝n－1 ∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， ∴an＝n－1. A. B. C. D. ∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝. 所以当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n； 当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－5. 即an＝a2＋4＝2n－5. 综上，数列{an}的通项公式为an＝ 则k＝，a2k－1＝a1＋4(k－1)， 即an＝a1＋4＝2n； 当n为偶数时，设n＝2k，k∈N＋，则k＝， 综上，数列{an}的通项公式为an＝ ∴＝3. ∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列. 又b1＝a1－2＝－2＝， ∴bn＝×3n－1＝3n－2. 即an＝2an－1＋2n，＝＋1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 由此可得＝1＋(n－1)＝n，an＝n·2n. ∴＝3(n≥2)， $$