第5章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

习题课　 等差数列前n项和性质的综合问题 第五章　数　列 1.掌握总项数为奇数或偶数时前n项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法. 3.会解决等差数列前n项和的比值问题. 学习目标 一、等差数列中奇、偶项的和 二、含绝对值的等差数列的前n项和 课时对点练 三、等差数列前n项和的比值问题 随堂演练 内容索引 等差数列中奇、偶项的和 一 问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？ 由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数时，其和可用中间一项表示. 问题2　当总项数为2n时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd， 问题3　当总项数为2n－1时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝___________，S偶－S奇＝___， ＝____. 2.若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝____________，S偶－S奇＝ _______， ＝______. n(an＋an＋1) nd (2n＋1)an＋1 －an＋1 知识梳理 8 注意点： (1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数； (2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半. 知识梳理 9 例1　在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， ，则公差d＝____. 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. 2 10 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项. 反思感悟 11 设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28， ∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28， ① ∵S奇＝50，S偶＝34， ∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md， ② 由①②得d＝－4. 跟踪训练1　已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_____. －4 12 含绝对值的等差数列的前n项和 二 问题4　已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和. 提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n， 当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－8n＋32. 1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为 Tn＝ n∈N＋. 2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak＋1<0，则其绝对值的前n项和为Tn＝ n∈N＋. 注意点： (1)要先去掉绝对值才能求和； (2)找准分界点是解决此类问题的关键. 知识梳理 15 例2　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n. ∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴an＝101－2n(n∈N＋). 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列. 16 (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 17 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an) ＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2. 18 19 延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和. 由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an， 当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an. 20 求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，即找到正负项的“分界点”，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解. 反思感悟 21 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和. 22 由a1＝－60，a17＝－12，知 所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21. 所以{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数. 设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和. 当n≤20时， 23 当n>20时， Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 24 等差数列前n项和的比值问题 三 知识梳理 26 27 方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 28 方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 由于a1＋a9＝2a5. 29 方法三　因为等差数列的前n项和为 根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0). 所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k， b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k. 30 31 (1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为 公式an＝ ，所以an∶bn＝S2n－1∶T2n－1. (2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果. 反思感悟 32 跟踪训练3　 √ 33 1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和. (3)等差数列前n项和的比值问题. 2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法. 3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 设等差数列的公差为d，由题意，得S偶－S奇＝30－15＝5d＝15，解得d＝3. 1 2 3 4 2.已知等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____. 由题意，得S奇＋S偶＝148， S偶－S奇＝50d＝50， 解得S偶＝99. 99 1 2 3 4 9 1 2 3 4 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，S5＝－25，bn＝|an|， 的前n项和为Tn，则T10＝____. 设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝－9，S5＝－25. 50 ∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是 A.0.5,0.5 B.0.5,1 C.0.5,2 D.1,0.5 √ 由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d， 得a1＝0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.一个等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 B.8 C.10 D.12 √ ∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝120， ∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12， 解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是 A.3 B.－3 C.－2 D.－1 √ (a2＋a4＋…＋a2n)－(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝nd＝72－90＝－18. 又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是 A.a7 B.a8 C.S15 D.S16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n ＋1)∶(3n－2)，则 ＝____. ∵{an}，{bn}均为等差数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是___，项数是___. 11 7 设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N＋)， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n 解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，又S奇－S偶＝an＋1， 即a4＝44－33＝11为所求的中间项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n) ＝n2－10n＋50， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n∈N＋)，求S21. 将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1得a2＝3－1＝2， 由an＋an＋1＝2n＋1①，可以得到an＋1＋an＋2＝2n＋3②，②－①得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 A.15 B.35 C.66 D.100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 令an>0，则2n－5>0， ∴n≥3. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝1＋1＋a3＋…＋a10 ＝2＋(S10－S2) ＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470， 设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶 数项的和之比为___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别是以A，B，C为圆心，以AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，再以A为圆心，AA3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA1，A1A2， A2A3，…，A28A29，A29A30的总长度为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则根据等差数列的求和公式得 16.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列 是公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　S2n＝＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝， 提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1， ＝＝. 提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an， 则有S奇－S偶＝an，＝. 得 ＝ 由 ∴Tn＝ 由①②得数列{bn}的前n项和为Tn＝n∈N＋. 数列的前n项和Tn＝－n2＋100n， 数列的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000， 综上，Tn＝n∈N＋. 等差数列{an}的公差d＝＝＝3. Tn＝－Sn＝－＝－n2＋n. ＝－60n＋－2 ＝n2－n＋1 260， 综上，Tn＝ 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 例3　有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求. 则＝ 则有＝， ① ＝， 即＝a5，故A9＝＝9a5. 又由于＝， ② 观察①，②，可在①中取n＝9，得＝＝.故＝. 则有＝，其中An＝， 所以＝＝. 同理B9＝9b5.故＝. 故＝＝＝. Sn＝an2＋bn＝an， 方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝. 已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则等于 A. B. C.1 D.2 同理可得T11＝11b6，因此，＝＝＝＝，故选A. 由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11＝＝11a6， ＝＝＝×5＝9. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则＝____. ∵bn＝，所以bn＝， ∴T10＝＋＋＋＋＋1＋3＋5＋7＋9＝ 2＝50. ∴－9×5＋×d＝－25，解得d＝2. ∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋×0.5， ∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝＝an＋1＝12， ∵＝＝＝＝7＋为正整数，∴n＝1,2,3,5,11，共5个. 4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝， 则使得为整数的正整数n的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 由题意可得b3＋b11＝2b7，则＝＝＝，解得t＝5. 5.设等差数列{an}和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，若＝，则t等于 A.5 B.6 C.22 D. 由于a1＋a15＝2a8，故a1＋a8＋a15是定值，可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值. ∴＝＝＝＝. ＝＝(n＋1)an＋1， ＝＝nan＋1， 所以＝＝， 由S2＝16，S4＝24，得 即解得 由an≥0，解得n≤5，则 故Tn＝ 所以S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231. 易得an＝ 尺数为an，则的值为 A. B. C. D. S30＝30×6＋d＝470，解得d＝， 所以an＝6＋×＝n＋， a1＋a3＋…＋a29＝＝15a15， a2＋a4＋…＋a30＝＝15a16， 所以＝＝＝. 由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇＝＝6a6， 偶数项的和为S偶＝＝5a6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为. 所以＋＝＝＝＝＝＝. 14.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈ N＋)，则＋＝______. A.310π B.π C.58π D.110π 根据弧长公式知弧CA1，A1A2，A2A3，…，An－1An的长度分别为，×2，…，×n，此数列是以为首项，为公差的等差数列， Sn＝n×＋×＝n(n＋1). ∴弧CA1，A1A2，A2A3，…，A28A29，A29A30 的总长度为S30＝×30×(30＋1)＝310π. 因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n， 因为bn＝nan＝n， 当n为偶数时，Tn＝＋5＋＋13＋…＋[－]＋， 所以Tn＝[＋5]＋[＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×＝2n， 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2＋[－(4n－3)]＝1－2n， 综上可知，Tn＝ (2)若bn＝(－1)nan，求数列的前n项和Tn. $$