5.5 数学归纳法 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

*§5.5　数学归纳法 第五章　数　列 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题. 学习目标 导语 归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全部都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决过程中有着广泛的应用. 内容索引 一、数学归纳法定义的理解 二、用数学归纳法证明等式 课时对点练 三、用数学归纳法证明不等式 随堂演练 四、用数学归纳法证明几何问题 数学归纳法定义的理解 一 问题　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出________时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. n＝k＋1 知识梳理 7 例1　 (1)(多选)下面四个判断中错误的是 A.式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1 B.式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k √ √ √ 8 A中，当n＝1时，式子的值为1＋k； B中，当n＝1时，式子的值为1； 9 10 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误. 反思感悟 11 跟踪训练1　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是 A.1 B.1＋2 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 √ 12 当n＝k时，共有3k－1项；当n＝k＋1时，共有3k＋1－1项，故左边增加的项数为(3k＋1－1)－(3k－1)＝2×3k. (2)用数学归纳法证明：1＋ <n(n∈N＋，n>1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是 A.2×3k B.3k C.3k＋1 D.1 √ 13 用数学归纳法证明等式 二 例2　用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 15 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， 所以左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立. 则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2 16 ＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)] ＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立. 17 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形. 反思感悟 18 跟踪训练2　用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋). 19 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立. 20 用数学归纳法证明不等式 三 例3　用数学归纳法证明：2n>(n＋1)2(n≥6，且n∈N＋). (1)当n＝6时，26>(6＋1)2，不等式成立； (2)假设当n＝k，k≥6时，2k>(k＋1)2， 当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k>2×(k＋1)2＝2k2＋4k＋2， 因为2k2＋4k＋2－(k＋2)2＝k2－2， 因为k≥6，所以k2－2>0， 所以2k＋1>(k＋2)2，即2k＋1>[(k＋1)＋1]2， 所以当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，当n≥6时，2n>(n＋1)2. 22 用数学归纳法证明不等式的四个关键点 反思感悟 23 跟踪训练3　 24 (2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，不等式成立. 那么当n＝k＋1时， 25 这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立. 26 用数学归纳法证明几何问题 四 例4　在教材中，我们已研究出如下结论：平面上n个圆把平面最多分成n2－n＋2个区域.现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N＋.设空间内n个平面最多可将空间分成f(n)＝an3＋bn2＋cn＋1个部分. (1)求a，b，c的值； 28 由f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝8， 29 (2)用数学归纳法证明此结论. 30 用数学归纳法证明 ①当n＝1时，由(1)的计算可知结论显然成立. ②假设当n＝k时命题成立， 31 32 即n＝k＋1时，结论成立. 33 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系. 反思感悟 34 跟踪训练4　平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行， 任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝ . 35 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个. ∴当n＝2时，命题成立. 那么，当n＝k＋1时， 36 l与其他k条直线的交点个数为k. 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点， ∴当n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N＋(n≥2)命题都成立. 37 1.知识清单： (1)数学归纳法的定义. (2)数学归纳法的应用. 2.方法归纳：放缩法、配项凑项法等. 3.常见误区： (1)从n＝k到n＝k＋1时，增加的项数易出现错误. (2)归纳假设只设不用而致误. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，初始值n0的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)的过程中，第二步假设当n＝k时，等式成立，则当n＝k＋1时，应得到 A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2 B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2 C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2 D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2 √ 由数学归纳法知第二步假设当n＝k时，等式成立，则当n＝k＋1时，应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2. 1 2 3 4 3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 A.1 B.1＋2 C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23 √ (2)假设n＝k时命题成立，即f(2k)> ，则当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2k)＋ _______________________________________________________________ __________________________________，即当n＝k＋1时，命题成立. 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.用数学归纳法证明f(n)＝2n－n2>0(n≥5，n∈N＋)时，应先证明 A.f(1)>0 B.f(2)>0 C.f(4)>0 D.f(5)>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为 A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2 √ 凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其他不相邻的n－2个顶点可引n－2条对角线；原来的一条边变为对角线，所以共增加n－1条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n3＝ ，n∈N＋”，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 A.(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 B.(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k3＋k＋1) C.(k＋1)3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝k时，左端式子为1＋2＋3＋…＋k3，当n＝k＋1时，左端式子为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3， 两式比较可知增加的式子为(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从k到k＋1，左端需要增乘的代数式为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝k时，左端为(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k， 当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)， 因为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2) ＝[(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k]·2(2k＋1)， 所以从k到k＋1，左端需要增乘的代数式为2(2k＋1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是 A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.证明过程全部正确 B.对n＝1时的验证不正确 C.归纳假设过程不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 √ 从n＝k到n＝k＋1的推理过程中未用到n＝k时的假设，故推理不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立， 则还需要用归纳假设证n＝_______时等式成立. 由于是所有正偶数，则归纳推广，下一个数为n＝k＋2时，等式成立. k＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n≥3)”的过程中，假设当n＝k(k∈N＋，k≤3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n ＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)＝_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(k＋1)＝f(k)＋g(k)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即当n＝k＋1时等式成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知x>－1，且x≠0，n∈N＋，且n≥2. 用数学归纳法证明：(1＋x)n>1＋nx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x. 因为x2>0，所以原不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立， 即(1＋x)k>1＋kx. 当n＝k＋1时，因为x>－1，所以1＋x>0. 于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)·(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2， 右边＝1＋(k＋1)x， 因为kx2>0，所以左边>右边， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x. 这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立. 根据(1)和(2)可知，原不等式对任何不小于2的正整数都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)用数学归纳法证明 对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·2！＋1·1！(n>1，且n∈N＋)的结果时，第一步当n＝____时，A＝___. ∵n>1，且n∈N＋， ∴当n＝2时，A＝(2－1)(2－1)！＝1. 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)”能被9整除，要利用归纳假设证当n＝k＋1时的情况，只需展开 A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3 √ 假设当n＝k时，原式能被9整除， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除. 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设， 只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在常数a，b，使等式成立. 将n＝1，n＝2分别代入等式，得 那么当n＝k＋1时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n＝k＋1时，等式成立. C.式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D.设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋ ＋ C中，当n＝1时，式子的值为1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故错误的是ABD. 当n＝1时，应当验证的第一个式子是1－＝，从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的式子是－. (2)用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ ，第一步应验证的等式是______________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左 边需增加的等式是________________________. 1－＝ － ＋＋…＋ 用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋). (1)当n＝2时，＋＝＝>. 即＋＋…＋>， ＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－ ＝＋－ ＝＋>. ＝＋＋－>＋＋－ 得 解得 f(n)＝n3＋n＋1，n∈N＋. 即f(k)＝k3＋k＋1， 那么当n＝k＋1时，在k个平面的基础上再添上第k＋1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线， 且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k＋1个平面划分 成k2＋k＋1个部分.每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个 区域，因此，空间区域的总数增加了k2＋k＋1个， 所以f(k＋1)＝f(k)＋k2＋k＋1 ＝k3＋k＋1＋k2＋k＋1＝(k＋1)3＋(k＋1)＋1， 根据①②可知，f(n)＝n3＋n＋1，n∈N＋. 又f(2)＝×2×(2－1)＝1， (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)， 任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)， 即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k ＝k(k－1＋2)＝k(k＋1) ＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 4.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋).用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证 明过程： (1)当n＝1时，f(21)＝1＋>； 由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，都有f(2n)>成立. ＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＝＋＝ 因为当n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋>， 所以当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＝＋＝. D. A.2k＋1 B.2(2k＋1) C. D. 6.对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－ ＝2成立. 7.已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝2时， 8.在用数学归纳法证明“f(n)＝＋＋＋…＋<1(n∈N＋， ＋－ ∴g(k)＝＋－. ∵f(k)＝＋＋＋…＋， f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋， ∴f(k＋1)－f(k)＝＋－. 9.用数学归纳法证明…＝(n≥2，n∈N＋). (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝， ·…·＝， 则当n＝k＋1时，·…·＝ ＝·＝＝， 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2. 11.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式 A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 > 13.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边 A.增加了一项 B.增加了两项， C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 依据数学归纳法的证明步骤可知，假设当n＝k时，则有＋＋…＋<成立； 当n＝k＋1时，不等式的左边为＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋. ∴增加了，两项，减少了一项，故选C. 16.是否存在常数a，b，使等式＋＋＋…＋＝对任意的n∈N＋成立？若存在，请用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 解得 下面证＋＋…＋＝对任意的n∈N＋成立. (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时等式成立，即＋＋…＋＝， ＋＋…＋＋＝＋＝＝· 综上所述，可知等式＋＋＋…＋＝对任意的n∈N＋成立. ＝， ＝·＝ $$