5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第1课时　 等比数列的前n项和 第五章　5.3.2　等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 学习目标 导语 国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放 的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够 的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣 然同意了. 导语 问题：每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1,2,22,23，…，263，你能计算这64项的和吗？通过这节课的学习，你就能知道答案. 一、等比数列前n项和公式的推导 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 课时对点练 三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 随堂演练 内容索引 等比数列前n项和公式的推导 一 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化. 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决. 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝ _______________. ① 因为an＝a1qn－1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为Sn＝ ________. ② 知识梳理 10 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论. 知识梳理 11 例1　求下列等比数列前8项的和： 12 13 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立. 反思感悟 14 跟踪训练1　在等比数列{an}中， 15 16 方法一　S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100 ＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150， ∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50. 17 18 等比数列中与前n项和有关的基本运算 二 例2　在等比数列{an}中. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； 20 21 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 22 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 23 因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根. (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 24 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相 除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn， 都可以看作一个整体. (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 反思感悟 25 跟踪训练2　在等比数列{an}中. ∴q＝－2， 26 (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 27 若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1， 28 利用等比数列前n项和公式判断等比数列 三 1.当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝_________.即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝____，Sn是n的正比例函数. 注意点： 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. A(qn－1) na1 知识梳理 31 例3　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 32 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式. 方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列. 33 延伸探究 1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则 实数k＝__. ∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列， 34 2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝ ＋5，则 实数a＝_____. 35 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 反思感悟 36 跟踪训练3　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n－1－1(λ∈R)，则 等于 A. B.3 C.6 D.9 √ 37 因为Sn＝λ·3n－1－1＝3－1·λ·3n－1，且{an}为等比数列， 所以3－1·λ－1＝0， 即λ＝3，Sn＝3n－1. 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－1，两式相减得an＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－1＝2适合上式. 所以S8＝38－1，a7＝2×36. 38 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于 A.－25 B.25 C.－31 D.31 √ 因为an＋1＝2an，且a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 1 2 3 4 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于 当x＝1时，Sn＝n； √ 1 2 3 4 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝p·3n－2，则p等于 A.－3 B.3 C.－2 D.2 √ 所以p＋(－2)＝0，解得p＝2. 1 2 3 4 1 2 3 4 45 1 2 3 4 所以a1＋a2＝3， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于 A.4－2100 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100 √ ＝4(1－2－100)＝4－2－98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于 A.4 B.8 C.16 D.32 √ 等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a， n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)， 化简得an＝2n－2. 则a3a5＝2×23＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 解得q＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝ ，a5＋a6＝12， 则S4＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① 又a5＋a6＝12，即a1q4＋a1q5＝12， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝___，a1＝___. 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}是等比数列. (1)若a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若a1＝－1，a4＝64，求q与S4. 得q＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求数列{an}的公比q； 依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a1－a3＝3，求Sn. 故a1＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5等于 A.12 B.20 C.11 D.21 √ an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an. 因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足 ，则数列{an}的公比为 A.－2 B.2 C.－3 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列， 令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4， ∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，则有2S1＝a2－1， ∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3； 当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1， 上述两式相减得2an＝an＋1－an， ∴an＋1＝3an， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 则bn＝ ＝32n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9， 16.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2). 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an＝a1·3n－1(n∈N＋). (2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列 为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 所以当q≠1时，Sn＝， 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝， (2)①中的n表示的是所求数列的项数(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). (3)②中的an在求和时，表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). 因为a1＝，q＝， (1)，，，…； 所以S8＝＝. (2)a1＝27，a9＝，q<0. 由a1＝27，a9＝，可得＝27q8. 又q<0，所以q＝－， 所以S8＝＝＝＝. (1)a1＝2，q＝－，求S10； S10＝＝＝×＝×＝. (2)q＝，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值. ＝＋a2＋a4＋…＋a100 方法二　S100＝＝150， 整理得a1＝75， 又a2＋a4＋…＋a100＝ ＝a1＝×75＝50. 由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； 得q3＝，从而q＝. 方法一　由题意知 解得 从而S5＝＝. 从而S5＝＝. 从而或 又Sn＝＝126， 所以q＝2或. (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； 由Sn＝得，11＝， 又由an＝a1qn－1得，16＝(－2)n－1，∴n＝5. 当q＝2时，a1＝； 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. ∴S4＝＝1， S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝±2. 问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ 提示　Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. ∴an＝ ∴3－2k＝0，即k＝. － 由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. a·n－1 (1)已知Sn，通过an＝ 所以＝9.故选D. 所以数列{an}的前5项的和为＝31. 当x≠1且x≠0时，Sn＝. A. B. C. D. 依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为Sn＝＝ －·qn＋， 4.已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________. 或6 解得 综上可得a1＝或a1＝6. 方法一　当q＝1时，a1＝a2＝a3＝， 满足S3＝. 当q≠1时，依题意，得 所以＝＝2， 解得q＝1或q＝－. 所以a1＝或a1＝6. 方法二　依题意，得 q＝＝. S100＝＝ Sn＝＝. 2.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于 A. B. C. D. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 A. B.－ C. D.－ 方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－， 由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C. 方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－； 即2x·3－1＝x－，解得x＝. 5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于 A.或5 B.或5 C. D. 由已知得＝， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴前5项和为＝. 6.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，＋＋＝，则 A.{an}必是递减数列 B.S5＝ C.公比q＝4或 D.a1＝4或 因为a1a5＝a＝1，a3＝a1q2＝1， 所以＋＋＝1＋＋＝1＋＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋＝， 解得或 当a1＝4，q＝时，S5＝＝，数列{an}是递减数列； 当a1＝，q＝2时，S5＝＝，数列{an}是递增数列； 综上，S5＝. 方法一　由题意得解得 ∴S4＝＝. 方法二　当q＝1时，S2＝2a1＝， ∴a1＝与a5＋a6＝12矛盾，不符合题意； 当q≠1时，S2＝＝， 即a1(1＋q)＝， 由①②可得 ∴S4＝＝. 得解得 S6＝＝＝189. Sn＝＝＝－. (2)若a1＝－2.7，q＝－，an＝，求Sn； ∴S4＝＝＝51. 由q3＝＝＝－64， 又q≠0，从而q＝－. 从而Sn＝＝. 由已知可得a1－a12＝3， 因为q≠1，所以q＝－2，故S5＝＝11. ＝ ＝9， 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8. ∵＝＝qm＝8＝， 13.设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7，则f(n)等于 A. B. C. D. 设该数列为，则am＝2m－1，设an＝2n＋7， ∴f(n)＝＝. ∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴Sn＝＝. 得＝3且＝3， 15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上.若bn＝ ，则数列{bn}的前n项和Tn＝________. 依题意得＝n＋， 即Sn＝n2＋n. ＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－， 所以an＝2n－(n∈N＋)， 由＝＝32＝9， 故Tn＝＝. 依题意，得2Sn＝an＋1－a1.于是，当n≥2时，有 要使为等比数列，则1＋a1＝0，即a1＝－2. 所以存在a1＝－2使得数列{bn}为等比数列. 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 因为Sn＝＝a1·3n－a1， $$