5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第2课时　 等差数列前n项和的性质及应用 第五章　5.2.2　等差数列的前n项和 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 2.能解决等差数列中前n项和的最值问题. 3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题. 学习目标 导语 上节课我们学习了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的前n项和公式的函数特征，那么等差数列的前n项和还具有哪些独特的性质呢？这一节课我们继续研究等差数列的前n项和的性质. 一、等差数列前n项和的实际应用 二、等差数列中前n项和的最值问题 课时对点练 三、等差数列中的片段和问题 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的实际应用 一 例1　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 6 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% 7 所以分期付款的第10个月应付55.5万元. ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元). 8 (1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题. 反思感悟 9 跟踪训练1　某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作.问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线？请说明理由. 10 ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0. ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线. 11 等差数列中前n项和的最值问题 二 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有____值，使Sn取得最值的n可由不等式组__________ 确定； 当a1<0，d>0时，Sn有____值，使Sn取得最值的n可由不等式组__________ 确定. 最大 最小 知识梳理 13 (2)Sn＝ ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有_____值；当d<0时，Sn有_____值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取 得最值. 最小 最大 注意点： (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 知识梳理 14 例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 15 方法一　因为S8＝S18，a1＝25， 解得d＝－2. ＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 16 又因为n∈N＋， 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8＝S18， 所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 17 所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得 a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25， 18 所以当n＝13时，Sn取得最大值. 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 19 等差数列前n项和最值的求法 (1)二次函数法：等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数. (2)邻项变号法：对于等差数列中a1>0，d<0或a1<0，d>0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值. 反思感悟 20 跟踪训练2　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； 由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋). 21 方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0， ∴{an}是递减数列. ∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值. (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 22 等差数列中的片段和问题 三 问题　等差数列{an}的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差数列，其公差等于____. 注意点： k2d 知识梳理 25 例3　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 26 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10＝100，S100＝10， 27 方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d， 28 所以S110＝－110. 方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 29 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反思感悟 30 跟踪训练3　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 31 方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 32 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的实际应用. (2)等差数列中前n项和的最值问题. (3)等差数列中的片段和问题. 2.方法归纳：公式法、函数法、构造法、整体代换法. 3.常见误区：忽略Sn取得最值时的n不一定唯一. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值 C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值 √ 1 2 3 4 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 √ ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 3.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若 ＝2，则S10等于 A.10 B.100 C.110 D.120 √ ∴S10＝100. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值. ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0. ∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大. 5或6 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D. ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又a1＝24，d＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若等差数列{an}的前m项和Sm＝20，前3m项和S3m＝90，则它的前2m项和S2m等于 A.30 B.70 C.50 D.60 √ ∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， ∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， ∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m， ∴S2m＝50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a11＝9，S5＝S3＋44，则Sn的最大值为 A.225 B.223 C.221 D.219 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11＝9，S5＝S3＋44， ∴a1＋10d＝9，a4＋a5＝2a1＋7d＝44， 得a1＝29，d＝－2， ＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225， ∴当n＝15时，Sn取得最大值225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11＝9，S5＝S3＋44， ∴a1＋10d＝9，a4＋a5＝2a1＋7d＝44， 解得a1＝29，d＝－2， ∴an＝31－2n. 令an>0，得n<15.5， ∴Sn的最大值为225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列判断正确的是 A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S6>S7， ∴a7<0， ∵S7>S5， ∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确； 数列{Sn}中最大项为S6，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则 A.S3，S6－S3，S9－S6成等差数列 √ C.S9＝2S6－S3 D.S9＝3(S6－S3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3a1＋12d，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a1＋21d，得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，A正确； 2S6－S3＝12a1＋30d－(3a1＋3d)＝9a1＋27d≠S9，C错误； 3(S6－S3)＝3×(3a1＋12d)＝9a1＋36d＝S9，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝____. 因为S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________. ∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5，且同时最大. ∴n＝4或5. 4或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在我国古代，9是数之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围 绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比 前1圈多9块，共有9圈，则 (1)第9圈共有多少块石板？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设从第1圈到第9圈石板块数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为 a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块). 故第9圈共有81块石板. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)一共有多少块石板？ 由等差数列前n项和公式，得石板总数为 故一共有405块石板. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围； ∵a3＝12，∴a1＝12－2d. ∵S12＞0，S13＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)前几项的和最大？并说明理由. ∵S12＞0，S13＜0， ∴a6＞0， 又由(1)知d＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项的和最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0， 又a9>a5，所以d>0，a1<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S6＝78，则an＝________， 的最大值为___. 6n－8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a2＝4，S6＝78， 所以an＝－2＋(n－1)×6＝6n－8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在数列{an}中，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，则S100＝_______. 4 700 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1＝－7，an＋2＝an＋2，可得an＋2－an＝2， ∴a1，a3，a5，a7，…，a99是以－7为首项，2为公差的等差数列，共50项. 同理，a2，a4，a6，…，a100是以3为首项，2为公差的等差数列，共50项. ∴S100＝2 100＋2 600＝4 700. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？ A.4日 B.3日 C.5日 D.6日 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列， 驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________. (1)判断2 023是否是数列{an}中的项，并说明理由； 从①S11＝－22；②S5＝S6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①， 设数列{an}的公差为d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20. 令3n－20＝2 023，得n＝681∈N＋， 所以2 023是数列{an}中的第681项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②， 设数列{an}的公差为d， 所以an＝2n－12. 所以2 023不是数列{an}中的项. (2)求Sn的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选①， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2n－12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0，当n≥7时，an>0. 故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝－30. 若选②， ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋). 所以S20＝×(a1＋a20)×20 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列. 所以a10＝60－9×＝55.5， 又a20＝60－19×＝50.5. 设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an－an－1＝－. ∴数列{an}构成首项为24，公差为－的等差数列.设还需组织(n－1)辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋·≥20×25. n2＋n 所以8×25＋d＝18×25＋d， 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n 由得 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以二次函数图象的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下， 由题意得 解得 Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). ∴ 解得 ∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. ∴S110＝110a1＋d ＝110×＋×＝－110. ∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 方法三　由也是等差数列，设公差为d，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 方法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴＝＋. ∴数列的公差为1， ∴＝1＋(10－1)×1＝10. 又－＝2， － ∵{an}是等差数列，a1＝1，∴也是等差数列，首项为＝1， ∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n ＝－2＋. ∴Sn＝29n＋×(－2) ∴S15最大，且S15＝＝225， 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺. A. B. C. D. S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确； S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确； B.，，成等差数列 由＝＝a1＋d， ＝＝a1＋d， ＝＝a1＋4d，易知，，成等差数列，B正确； 由解得 S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块). ∴即 ∴－＜d＜－3. 即d的取值范围为. ∴∴ 11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则的值为 A. B.－ C.3 D. 方法一　由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝. 方法二　由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3，则S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3，则S12＝10S3，所以＝. 得＝－. 因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6. 所以解得 ＝－52＋， Sn＝＝(3n－5)n， 所以＝＝－＋ 因为n∈N＋，所以当n＝3时，max＝. ∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×(－7)＋×2＝2 100. ∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50×3＋×2＝2 600. 因为数列{an}的前n项和为＝， 数列{bn}的前n项和为＝， 所以＋＝840，整理得14n2＋364n－1 680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢. 则 解得 则 解得 令2n－12＝2 023，解得n＝∉N＋， 令an＝3n－20>0，解得n>， $$