5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第1课时　 等差数列的前n项和公式 第五章　5.2.2　等差数列的前n项和 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中三个求另外两个. 3.了解等差数列前n项和的函数特征. 学习目标 导语 泰姬陵是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡程度可见一斑.你知道这个图案一共用了多少宝石吗？本节课我们就来学习一下. 一、等差数列前n项和公式的推导 二、等差数列前n项和的基本运算 课时对点练 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和公式的推导 一 问题1　如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层. (1)在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？ 提示　图中的这些钢管，从上到下每一层的数量构成一个等差数列{an}，这个数列的首项为a1＝4，公差d＝1，而且该数列共有8项，第8项为a8＝4＋(8－1)×1＝11. 设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管， 但是倒过来放置，如图所示. 这时，每一层钢管数是相同的，都是4＋11根，因此图中钢管的总数为 ＝60. (2)你能得出一般等差数列前n项和的公式吗？ 提示　设等差数列{an}的前n项和为Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an， ① 显然，Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1， ② 又因为根据等差数列的性质有 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…， 若{an}是等差数列，其首项为a1，公差为d，前n项和记作Sn，则Sn＝________. 因为an＝a1＋(n－1)d，所以等差数列前n项求和公式也可以表示为Sn＝ _____________. 知识梳理 8 知识梳理 9 等差数列前n项和的基本运算 二 例1　在等差数列{an}中. (1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d； 解方程组得a1＝－8，d＝4. 11 (2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8； 解方程组得a1＝－5，d＝3， ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， 12 (3)已知a16＝3，求S31. 13 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量：a1，d，n，an、Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝ 结合使用. 反思感悟 14 跟踪训练1　在等差数列{an}中. (1)若a1＝1，a4＝7，求S9； 设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. 15 (2)若a3＋a15＝40，求S17. 16 解得n＝15. 17 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 三 问题2　等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示　不一定.当C＝0时，数列{an}为等差数列. 问题3　如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝An2＋Bn＋C，其中A，B，C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？ 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列. Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.又a1＝5适合an＝4n＋1， ∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋). 当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列. 20 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错. (2)在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形. ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列. ②若a1不适合an，则an＝ 则{an}不是等差数列. 反思感悟 21 跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋n，则a8等于 A.72 B.36 C.18 D.16 √ 由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)， 得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16. 22 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. 求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列. 23 当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5. 又当n＝1时，a1＝2不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ 当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4， 但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列. 24 1.知识清单： (1)等差数列的前n项和公式的推导. (2)等差数列的前n项和的计算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. 2.方法归纳：方程和函数思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论；等差数列的前n项和Sn函数特征忽视常数项为0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， √ 1 2 3 4 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7 √ 方法二　由于S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 1 2 3 4 3.等差数列{an}中，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n＝_____. ∴n＝51. 51 1 2 3 4 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式an＝___________ _____. 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； －2n＋2(n∈ N＋) 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于 A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 √ 由am＝a1＋(m－1)d， 得99＝1＋(m－1)×2， 解得m＝50， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156， ∴4(a1＋an)＝280， ∴n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于 A.－1 B.3 C.5 D.7 √ 由题意知a1＋(n－1)×2＝11， ① Sn＝na1＋ ×2＝35， ② √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an<0，∴a3＋a8＝－3， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是_____. 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn， 而Sn＝(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ，∴λ＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝____. 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， ∴n＝12，an＝a12＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和Sn＝p＋1＋(1－p2)n－pn2，则下列结论正确的是 A.p＝0 B.p＝－1 C.an＝2n＋1 D.S6＝36 √ 由等差数列前n项和的函数特征可知p＝－1，则Sn＝n2，得a1＝1，当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1 时，a1＝1也成立，故an＝2n－1，利用前n项和公式计算得S6＝36. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(2m－1)×2＝38，解得m＝10. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设数列{an}的前n项和为Sn，点 (n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝______________. 依题意得 ＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，所以公差d＝6， 所以an＝6n－5(n∈N＋). 6n－5(n∈N＋) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N＋)，则an＝_______，a4＋ a7＋a10＋…＋a3n＋4＝_____________. 由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. 因此，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝10＋19＋28＋…＋[3×(3n＋4)－2] 3n－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx(n∈N＋).当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C； 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S4＝28， ∴a2＋a3＝14， 又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2＝5，a3＝9， ∴an＝4n－3，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知Sn＝2n2－n， 又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2， 所以把①②两边分别相加，可得2Sn＝n(a1＋an)，因此Sn＝. na1＋ 注意点： (1)推导公式Sn＝的方法称为倒序相加法求和. (2)公式Sn＝反映了等差数列中Sn与a1，an，n的关系. (3)公式Sn＝na1＋反映了等差数列中Sn与a1，d，n的关系. ∵Sn＝na1＋n(n－1)d，∴ ∵a6＝10，S5＝5，∴ S8＝＝44. S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. S17＝＝＝＝340. 所以n＝15，d＝－. (3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 由题意得，Sn＝＝＝－＝－5， 又a15＝＋(15－1)d＝－， 解得d＝－， 提示　当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数Sn＝n2＋n. ∴Sn＝＝－n2＋. A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 方法一　由解得d＝3. Sn＝na1＋d，即50n－n(n－1)＝0， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[－2＋]＝－2n＋2，经检验，a1＝0也满足该式.故an＝－2n＋2. 由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24. 所以S50＝50×1＋×2＝2 500. ∴a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210， 由①②解得或 ∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝. 5.在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于 A. B.2 C. D.4 由题意得10a1＋×10×9d＝4， ∴S10＝＝＝＝－15. 6.在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于 A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9， ∵Sn＝n×＋×＝－15， 9.已知等差数列{an}中： (1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； a12＝＋(12－1)×＝－4. 由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4. ∴数列{an}的通项公式是an＝ 即＝(2m－1)am＝38， 12.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于 A.38 B.20 C.10 D.9 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0， 得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38， ＝＝. ∴＝28，a1＋a4＝14， ∴解得 (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值. ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝. 即2×＝＋， 解得c＝－或c＝0(舍去). 经检验，c＝－符合题意. $$