5.2.1 第2课时 等差数列的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第2课时　 等差数列的性质 第五章　5.2.1　等差数列 1.能理解等差中项的概念. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 3.能运用等差数列的性质简化计算. 4.能运用等差数列解决实际问题. 学习目标 导语 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质. 一、等差中项 二、等差数列的性质 课时对点练 三、等差数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等差中项 一 问题1　如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？ 提示　因为x，A，y是等差数列， 所以A－x＝y－A， 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝_____. 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列. 知识梳理 7 例1 由题意知，a，b的等差中项为 √ 8 (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 9 因为－1，a，b，c,7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 又a是－1与3的等差中项， 又c是3与7的等差中项， 所以该数列为－1,1,3,5,7. 10 在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝ ，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 反思感悟 11 跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 12 等差数列的性质 二 问题2　设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小. 提示　a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25， a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25， 所以a2＋a7＝a3＋a6. 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝______，特别地，如果2s＝p＋q，则有_____＝ap＋aq. 注意点： (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. (4)在等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，则这些项组成的数列仍为等差数列. ap＋aq 2as 知识梳理 15 (5)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 知识梳理 16 例2　 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8. 方法一　根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 方法二　根据等差数列性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1， 17 (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. {an}是公差为正数的等差数列，设公差为d， ∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5， 又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 18 延伸探究　在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10. 方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10. 19 等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 反思感悟 20 跟踪训练2　(1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n－1) √ 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 21 (2)若数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是 √ 22 由3＋an＝an＋1， 得an＋1－an＝3， 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2＋a4＋a6＝9， 且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9， 则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2. 23 等差数列的实际应用 三 例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将开始亏损？ 25 设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将开始亏损. 26 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 反思感悟 27 跟踪训练3　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温. 28 设an表示n km高度的气温，则数列{an}为等差数列，设公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋). ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 29 1.知识清单： (1)等差中项. (2)等差数列的性质. (3)等差数列的实际应用. 2.方法归纳：解方程组法、构造法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 因为A，B，C成等差数列， 所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B， 又因为A＋B＋C＝180°， 所以3B＝180°，从而B＝60°. 1 2 3 4 2.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于 由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3. √ 1 2 3 4 3.在等差数列{an}中，a2，a6是方程x2－3x＋1＝0的根，则a4＝____. 1 2 3 4 4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费______元. 根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元). 23.2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为 A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a2＋a7等于 A.22 B.14 C.20 D.11 √ 因为a2＋a6＝2a4＝6，所以a4＝3.又a5＝8，所以a2＋a7＝a4＋a5＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b是x,2x的等差中项， √ 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ ∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a2＋a2 022＝10， 由等差数列的性质得2a1 012＝10，即a1 012＝5， ∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一道“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为 A.3.4升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9， 由题意知{an}为等差数列，公差为d， 所以a4＋a5＝2a1＋7d＝3.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝____. 由题意得数列{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5，即a8＝21. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝____. 因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列， 所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 所以2×21＝7＋a5＋b5， 所以a5＋b5＝35. 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　直接化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12. 方法二　根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48， ∴a13＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　直接化成a1和d的方程如下： ∴d＝3或－3. 方法二　由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位：元)，求an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1＝265为首项，－15为公差的等差数列. 又单价不能低于160元，则265＋(n－1)·(－15)≥160.解得n≤8. 所以当n>8时，bn＝160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝0 √ 根据等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0， 所以a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－ a11的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 设公差为d， ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是 A.{|an|} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列－1,1,3是等差数列， 取绝对值后为1,1,3，不是等差数列，A不成立； 若{an}是等差数列，由等差数列的定义， 知{an＋1－an}为常数列， 故{an＋1－an}是等差数列，B成立； 若{an}的公差为d， 则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd，为常数， 故{pan＋q}是等差数列，C成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1， 故{2an＋n}是等差数列，D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n＝___. 设公差为d， 0 从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个 根组成首项为 的等差数列，则|m－n|＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4.则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0,1－4n＞0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质知，数列的第4项为x2，由题意知x1＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 经检验，符合题意， 16.已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bk}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知an＝3n＋2(n∈N＋)， bk＝4k－1(k∈N＋)， 两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得， 所以设k＝3r(r∈N＋)，得n＝4r－1. 且r∈N＋，可得1≤r≤25. 所以共有25个相同数值的项. 即A＝. ＝(－＋＋)＝. A. B. C. D. (1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为 则b＝＝3， 所以a＝＝1. 所以c＝＝5. 所以m和n的等差中项为＝3. 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. 解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝. A.－2 B.－ C.2 D. A.3 B.－3 C. D.－ 由等差数列的性质及根与系数的关系，得a4＝(a2＋a6)＝. 解得a＝2，所以a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋d＝2n－1. 2＝＋， ∴b＝＝， 3.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于 A. B. C. D. ∴a＝，∴＝. 首项仍为－5，公差d＝＝，故an＝－5＋(n－1)＝n－. 5.在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为 A.an＝n－ B.an＝－5－(n－1) C.an＝－5－(n－1) D.an＝n2－3n 因为 解得 解得或 由 解得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 综上所述，得bn＝n∈N＋. 从而an＝n∈N＋. ∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16. 则d＝＝＝－1， ∴x2＝，数列的公差d＝＝， ∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝. ∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝. ∴|m－n|＝＝. 所以n＝k－1，而n∈N＋，k∈N＋， 由已知 $$