5.2.1 第1课时 等差数列的定义 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第1课时　 等差数列的定义 第五章　5.2.1　等差数列 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 学习目标 导语 我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024,2036,2048,2060,2072.观察这个数列，你能算出第六个龙年是哪一年吗？ 一、等差数列的定义及应用 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差数列与函数的关系 随堂演练 内容索引 等差数列的定义及应用 一 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682,1758, 1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生 1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的年份吗？ 提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的年份应该是1 986＋76＝2 062. 对于②，有270－275＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律. 一般地，如果数列{an}从第__项起，每一项与它的前一项之差都等于____ _________，即_____________恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的_____. 个常数d 同一 an＋1－an＝d 2 公差 知识梳理 8 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d. (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 知识梳理 9 例1　判断下列数列是否为等差数列，请说明理由. (1)1,3,5,7,9，…； (2)2，－2,2，－2,2，－2，…； ∵－2－2＝－4,2－(－2)＝4，不是同一个常数，∴该数列不是等差数列. ∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，∴该数列是等差数列. 10 (3)1,1,1,1，…； (4)6,5,3,1，－1，－3，…； ∵5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列. ∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，∴该数列是等差数列. 11 (5)m，m＋n，m＋2n,2m＋n； (6)a－d，a，a＋d. ∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d，∴该数列是等差数列. ∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n,2m＋n－(m＋2n)＝m－n，∴当m＝2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列. 12 判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是 A.公差为1的等差数列 √ 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1， 14 (2)若数列1,3，a＋3，b是等差数列，则a＝___，b＝___. 2 7 由题意得a＋3－3＝3－1， ∴a＝2，公差d＝3－1＝2， ∴b＝5＋2＝7. 15 等差数列的通项公式 二 问题2　等差数列的定义给出了相邻两项的递推关系，你能根据定义推导等差数列的通项公式吗？ 提示　方法一　由等差数列的定义可得 an－an－1＝d， an－1－an－2＝d， …… a3－a2＝d， a2－a1＝d， 将这n－1个式子两边分别相加，则有 an－a1＝(n－1)d， 可得到等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 方法二　一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义有 an＋1－an＝d， 即an＋1＝an＋d，从而 a2＝a1＋d， a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …… 由此可归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________. 注意点： (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. (3)等差数列通项公式的推广和变形：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，d＝ (m，n∈N＋，且m≠n). a1＋(n－1)d 知识梳理 19 例2　 (1)求等差数列10,8,6，…的第20项； 由题意得a1＝10，d＝－2， ∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋. ∴a20＝－2×20＋12＝－28. 20 (2)100是不是等差数列2,9,16，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由； 由于a1＝2，d＝7， ∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋. 由7n－5＝100，解得n＝15. ∴100是这个数列的第15项. 21 (3)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. 22 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 反思感悟 23 跟踪训练2　在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 24 设数列{an}的公差为d， 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. 25 (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 26 等差数列与函数的关系 三 如果记f(x)＝dx＋a1－d，则等差数列的通项公式an＝f(n)，而且 (1)当公差d＝0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是_______(因此，公差为0的等差数列是常数列)； (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当_____时，{an}是递增数列；当_____时，{an}是递减数列. 常数列 d>0 d<0 知识梳理 28 注意点： (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d. (2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d(d>0时)或减少－d(d<0时). 知识梳理 29 例3　 (1)(多选)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 √ √ 30 对于A，an＝a1＋(n－1)d，d>0， ∴an－an－1＝d>0，则A正确； 对于B，nan＝na1＋n(n－1)d， ∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d，这个值与0的大小关系和a1的取值情况有关. 故数列{nan}不一定递增，则B不正确； 但d>a1不一定成立，则C不正确； 31 对于D，设bn＝an＋3nd， 则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0. ∴数列{an＋3nd}是递增数列，则D正确. 32 (2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b. 33 数列{an}是等差数列的充要条件是an＝kn＋b，其中k，b是常数. 反思感悟 34 跟踪训练3　(1)已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝___. 0 ∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0. 35 方法一　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2. 方法二　an＝3－2n＝－2n＋3，由等差数列的函数特征知，d＝－2. (2)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为 A.2 B.3 C.－2 D.－3 √ 36 1.知识清单： (1)等差数列的有关概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列与函数的关系. 2.方法归纳：迭代法、定义法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于 √ 1 2 3 4 2.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为 A.52 B.62 C.－62 D.－52 √ 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝a1＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52. 1 2 3 4 3.在等差数列{an}中，如果a4＝3，a7＝9，an＝17，那么n＝_____. ∴an＝a4＋(n－4)d， ∴17＝3＋2(n－4)， ∴n＝11. 11 1 2 3 4 4.在－3和6之间插入两个数a，b，使－3，a，b,6成等差数列，则这个等差数列的公差为___. 3 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 √ ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2， ∴a1＋a3＝2a2， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 √ a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为 A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 √ 又因为d∈Z，所以d＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， √ 6.《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝______. 设数列{an}的公差为d， －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是 ________. 设an＝－24＋(n－1)d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项； 由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 则－401是这个数列的第100项. 10.若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 故数列{an}的通项公式为an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知数列{an}满足a1＝1，n∈N＋，若点 在直线x－y＋1＝0上，则an等于 A.n2 B.n C.n＋2 D.n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an＝n2(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则下列说法正确的是 A.a3a6>a4a5 B.a3a6<a4a5 C.a3＋a6>a4＋a5 D.a3a6＝a4a5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)设等差数列{an}的公差为d，若bn＝ ，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是 A.d<0 B.a1d<0 √ √ ∵{bn}为递减数列，∴bn＋1<bn， 即 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别 为d1和d2，则 的值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则数列{an}的通项公式为 __________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得an＋1＋an＝4n－3， ① an＋2＋an＋1＝4n＋1， ② ②－①得an＋2－an＝4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1， 16.若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是 公差为d的准等差数列.例如cn＝ 则数列{cn}是公差为8的 准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)， ① 所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)， ② ②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)， 所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， B.公差为的等差数列 C.公差为－的等差数列 D.不是等差数列 即an＋1－an＝. 所以数列{an}是公差为的等差数列. 解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 由题意得 由题意得 解得 由题意得 解得 C.数列是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 对于C，＝＋d，∴－＝， 当d－a1>0，即d>a1时，数列是递增数列， 由a15＝8，a60＝20得解得 ∴a75＝×75＋4＝24. ∵a3＝5，a6＝8，∴d＝＝1. A. B.－ C.1 D.－1 由题意知d＝＝2， 由等差数列的定义可知 解得所以d＝3. ∴2a2＝a，解得a2＝2(a2＝0舍去). 2.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1＋a3＝a，则a2等于 A.－2 B.1 C.2 D.4 设公差为d，d∈Z，由a6＝23＋5d>0，且a7＝23＋6d<0，得－<d<－. 所以d＝＝. A.13 B.3－ C.3－ D.5－ 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝. 则 解得 则解得<d≤3. 解得或(舍去)， 由题意知， ∴ 由题设可得－＋1＝0， 即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝1＋(n－1)×1＝n， 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理，a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3＋a6＝a4＋a5，a3a6－a4a5＝－2d2<0，故a3a6＜a4a5. C.为常数列 D.数列{bn}为等差数列 ∴a1an＋1－a1an<0，即a1d<0，又＝ ＝ 为常数，∴B，C正确. 因为n－m＝3d1，所以d1＝(n－m). 又n－m＝4d2，所以d2＝(n－m). 故＝＝. an＝2n－(n∈N＋) ∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－. ∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N＋). 所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a， 当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1. 所以an＝ $$