5.1.1 第2课时 数列与函数的关系 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第2课时　 数列与函数的关系 第五章　5.1.1　数列的概念 1.理解数列与函数的关系. 2.会判断数列的单调性. 3.会求数列的最大(小)项. 学习目标 导语 若数列{an}的通项公式为an＝n＋3，函数f(x)的解析式为f(x)＝x＋3，观察两个式子的结构，数列和函数是不是有一定联系？如果把数列看作特殊的函数，那么数列的定义域、单调性、最值等性质，又应该怎么研究呢？是不是和函数类似呢？这节课我们就来学习数列与函数的关系. 一、数列与函数的关系 二、数列的单调性 课时对点练 三、数列的最大(小)项 随堂演练 内容索引 数列与函数的关系 一 问题1　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象. 提示　对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列.数列的图象如图所示. 事实上，数列{an}可以看成定义域为_________的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取_________时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的_______.这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的____来直观地表示. 正整数集 正整数值 解析式 点 知识梳理 7 注意点： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数表达式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示.数列的图象是一列孤立的点，点的横坐标都是正整数. 知识梳理 8 例1　(多选)下列说法正确的是 A.数列定义域一定为正整数集 B.数列的图象可以是连续的曲线 C.数列的图象只能是离散的点 D.数列在y轴左侧没有图象 √ 数列定义域为正整数集或其子集，可知答案为CD. √ 9 在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性. 反思感悟 10 跟踪训练1　对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1 >an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象可能是 √ 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足. 11 数列的单调性 二 问题2　函数单调性可以用单调性的定义来判断，若数列{an}满足an＋1－an>0，∀n∈N＋都成立，那么数列{an}是递增数列吗？ 提示　是. 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为_____数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为_____数列；各项都相等的数列称为_____数列(简称为_______). 递增 递减 常数 常数列 知识梳理 14 注意点： (1)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an＋1与an的大小来判断，即 ①若数列{an}满足an<an＋1，则是递增数列. ②若数列{an}满足an>an＋1，则是递减数列. ③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列. ④若数列{an}中，an＋1与an的大小关系不确定，则是摆动数列. (2)函数y＝f(x)为增函数，则其对应的数列为递增数列；函数y＝f(x)为减函数，则其对应的数列为递减数列，但是，数列an＝f(n)为递增数列其对应的函数不一定是增函数. 知识梳理 15 例2　已知数列{an}的通项an＝ ，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？ 16 ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an， ∴数列{an}为递增数列. 17 方法二　∵n∈N＋，∴an>0. ∴数列{an}为递增数列. 18 ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列{an}是递增数列. 19 (1)判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列. (2)用作差法判断数列增减性的步骤为①作差；②变形；③定号；④结论. 反思感悟 20 跟踪训练2　 (1)求证：an>－2； 21 (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 即an＋1<an，所以数列{an}是递减数列. 22 数列的最大(小)项 三 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)· ，数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 24 方法一　an＋1－an 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， ∴a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴该数列中有最大项，为第9项， 25 解得9≤n≤10. 又n∈N＋，∴n＝9或n＝10. ∴该数列中有最大项，为第9项，第10项， 26 (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件. 反思感悟 27 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ 由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数. 28 (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 29 又∵n∈N＋，∴当n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 解得2≤n≤3， 30 又∵n∈N＋，∴n＝2或3.∴a2＝a3且最小. ∴当n＝2或3时，an有最小值，且最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 31 1.知识清单： (1)数列与函数的关系. (2)数列的单调性. (3)数列的最大(小)项. 2.方法归纳：作差法、作商法、不等式组法. 3.常见误区：忽视数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 √ 由an＋1－an－3＝0，得an＋1－an＝3>0，所以数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 2.下列数列中，为递减数列的是 A.1,2,22,23，…，263 B.1,0.5,0.52,0.53，… C.0,10,20,30，…，1 000 D.－1,1，－1,1，－1，… √ A，C为递增数列，D为摆动数列，B为递减数列. 1 2 3 4 3.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项是 A.a10 B.a9 C.a7 D.a5 √ an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，当n＝5时，an有最大值. 1 2 3 4 4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，则该数列从第____项开始递增，该数列最小项的值为______. an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小项，最小项的值为－36. 4 －36 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 D.1,2,3,4，…，30 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A是无穷递减数列； B是无穷数列，但不是递增数列； D是有穷递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1 C.an＝ D.an＝(－1)n √ 可以通过画数列的图象一一判断.由图象(图略)可知，B中数列有增有减； D中数列是摆动数列； A和C中数列均为递减数列. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 023等于 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 023＝x1＝2. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}是递增数列，则k的值可取 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ∵an＝n2－kn，∴an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)， ∴an＋1－an＝2n＋1－k， ∵数列{an}是递增数列， ∴an＋1－an>0，即2n＋1－k>0对∀n∈N＋都成立， ∴k<2n＋1，n∈N＋，∴k<3，结合选项可知选A，B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是 A.该数列有无限多个正数项 B.该数列有无限多个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值 D.－70是该数列中的一项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝3时，数列{an}取得最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取得最大值，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项的值是____. 因为n∈N＋，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38， 则数列中的最小项的值是38. 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)＝x2，定义数列{an}如下：an＋1＝f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an＋1>an，则a1的取值范围是______________________. (－∞，－1)∪(1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(作差法) 因为an＋1－an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an＋1－an<0，即an＋1<an. 所以数列{an}是递减数列. 方法二　(作商法) 因为an>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an＋1<an. 所以数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}中的最大项. ∴数列{an}中的最大项为a7＝108. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合函数的单调性，要使数列{an}递增， 解得2<a<3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且 ＋(2－ an－1) (n≥2，n∈N＋)，当P，A，B三点共线时，数列{an}为______数列(填“递增”“递减”“常数”或“摆动”). 若P，A，B三点共线，则an＋2－an－1＝1， 即an－an－1＝－1<0(n≥2，n∈N＋)， 所以{an}是递减数列. 递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak<ak－1，ak<ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an ＝ ，则数列{an}的“谷值点”为 A.2 B.7 C.2,7 D.2,3,7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时数列{an}递增，不存在“谷值”.因为a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2,7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵n∈N＋，∴n＝2， ∵an＝，∴an＋1＝＝. 方法一　an＋1－an＝－ ＝＝， ∵＝＝＝＝1＋>1， ∴an＋1>an， 方法三　令f(x)＝(x≥1)，则 f(x)＝＝， 已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋). 由已知得，an＝(n∈N＋). ∴an＝－＝－2＋. ∵n≥1，n∈N＋，∴>0，∴an>－2. 由an＝－2＋，得an＋1＝－2＋， ∴an＋1－an＝－＝. ∵n≥1，且n∈N＋，∴<0， n ＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×，则 第10项，且a9＝a10＝10×9. 方法二　根据题意，令 即 即a9＝a10＝10×9. (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项. 方法一　∵{an}的相应函数为f(x)＝x2－5x＋4＝2－，可知对称轴方程为x＝＝2.5. 方法二　设第n项最小，由得 因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增. A.1，，，，… B.sin ，sin ，sin ，sin ，… C.－1，－，－，－，… 在数列{an}中，an＝＝1＋，故{an}是递减数列. 2.在数列{an}中，an＝，则{an} 令－2n2＋13n>0，解得0<n<，故数列{an}有6个正数项，无限多个负数项，故A错误，B正确； 令－2n2＋13n＝－70，得n＝10或n＝－(舍去)，即－70是该数列的第10项，故D正确. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50＝2＋， 由题意，知an＋1＝f(an)>0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数. ∵an＋1>an，∴a>an，当n＝2时，a>a2，解得a2>1，∴a2＝a>1，解得a1<－1或a1>1. 因为f(x)＝x－，f(an)＝－2n， 9.已知函数f(x)＝x－，数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0. 所以an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±，因为an>0， 所以an＝－n. ＝－(n＋1)－(－n) ＝－－1 ＝－1 ＝－1， 又>n＋1，>n， 所以<1. 所以＝ ＝<1. 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108 .由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108. 11.已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列是 ∵an＋1－an＝－ ＝ ＝， 12.若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是 an＝＝， 因为n＋≥2＝28，当且仅当n＝14时， n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 13.设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 A. B. C.(1,3) D.(2,3) 则应有 因为＝an＋(2－an－1)(n≥2，n∈N＋)， ＝an 因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，当n≥7，n∈N＋时，n＋－8>0，an＝＝n＋－8， ∵an＝＝＝＝＝1－， 16.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求证：该数列是递增数列； ∴an＋1－an＝－ ＝＝＞0，n∈N＋， 令<an＝<，∴ ∴∴<n<， 故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝. (2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由. $$