5.1.1 第1课时 数列的概念与通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第1课时　 数列的概念与通项公式 第五章　5.1.1　数列的概念 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类. 2.理解数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，并会用通项公式 写出数列的任一项. 学习目标 导语 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成不同的几何图形来研究数学问题，他们发现，当小石子的数目是1,3,6,10等时，小石子都能摆成正三角形，如图1；当小石子的数目是1,4,9,16等时，小石子都能摆成正方形，如图2，等等.其实这些数遵循着某种数学规律，你能看出这些数的规律吗？ 一、数列的概念与分类 二、数列的通项公式 课时对点练 三、通项公式的应用 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 问题1　观察以下几列数： ①古埃及阿默斯画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401, 16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.这 句话中隐藏着一列数： ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023, 2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的. 不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化. 1.数列的定义 按照_________排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的___，各项依次称为这个数列的第1项(或_____)，第2项……组成数列的数的个数称为数列的_____. 2.数列的分类 一般地，项数_____的数列称为有穷数列，项数_____的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的_____. 一定次序 项 首项 项数 有限 无限 末项 知识梳理 8 注意点： (1)理解数列的概念应注意：数列是一列“数”，而且是按照“一定次序排列”的数； 同一数列要求数相同而且顺序相同. (2)数列中的项与集合中的元素的对比 ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性. ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性). 知识梳理 9 ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有次序(即无序性). 知识梳理 10 例1　 (1)(多选)下列说法正确的是 A.数列4,7,3,4的首项是4 B.在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1,2,3,4与数列2,1,3,4为同一数列 D.数列中的项不能是三角形 √ 由数列的相关概念可知，数列4,7,3,4的首项是4，故A正确； 同一个数在数列中可以重复出现，故B错误； 两者次序不同，所以不是同一数列，故C错误； 数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确. √ 11 (2)下列说法正确的是________(填序号). ①1,1,1,1是有穷数列； ②从小到大的自然数构成一个无穷数列； ③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列. 因为1,1,1,1只有4项，所以①正确；②正确； 数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误. ①② 12 (1)数列定义的理解 从数列的定义可以看出，组成数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同但排列次序不同，那么它们就不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. 反思感悟 13 跟踪训练1　 (1)下列说法正确的是 A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列 B.数列1,2,3与数列1,2,3，…是同一数列 C.1,4,2， 不是数列 D.2,1,2,1是数列 √ A中，排列次序不同，不是同一数列； B中，数列的项数不同，不是同一数列； C，D都是数列. 14 (2)给出下列数列： ①2015～2022年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119, 129,130,132,135； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16， －32，…. 其中有穷数列是_____，无穷数列是_______.(填序号) ① ②③ 15 数列的通项公式 二 问题2　观察问题1中的①②③⑤，你能发现每一项和它的项数n之间的联系吗？它们之间能否用一个式子表示呢？ 提示　可以.设用{an}表示数列，则对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈ ； 1.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第__项(也称__为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的_____.此时，一般将整个数列简记为_____. 2.一般地，如果数列的_______an与n之间的关系可以用_________来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个_________. n n 通项 {an} 第n项 an＝f(n) 通项公式 知识梳理 18 注意点： (1){an}表示数列，an表示数列{an}的第n项. (2)数列不一定有通项公式，有也不一定唯一，比如数列1，－1，1，－1， …，通项公式可以为an＝ 或an＝(－1)n－1，n∈N＋. (3)数列的通项公式an＝f(n)揭示了数列{an}的第n项an与n之间的关系，体 现了数列的本质，即数列项与序号之间的对应关系. 知识梳理 19 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 将数列统一为 ，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的 2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1， 20 (2)－1,7，－13,19，…； 符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝ (－1)n(6n－5). 21 22 (4)9,99,999,9 999，…. 各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. 23 延伸探究 1.若将例2(4)中的9改为8，试写出前四项为8,88,888,8 888，…的一个通项公式. 24 2.若将例2(4)中的数列改为0.9,0.99,0.999，0.9 999，…，试求该数列的一个通项公式. 25 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的规律. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和或差的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 反思感悟 26 跟踪训练2　(1)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成： 通过观察可以发现：在第n个图形中，火柴棒有________根. 3n＋1 27 第1个图形中，火柴棒有4根； 第2个图形中，火柴棒有(4＋3)根； 第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝(4＋3×2)根； 第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝(4＋3×3)根； … 第n个图形中，火柴棒有4＋3(n－1)＝(3n＋1)根. 28 29 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 30 ③2,0,2,0. 这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋. 31 通项公式的应用 三 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； 根据an＝3n2－28n，得a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. 33 (2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0， ∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 34 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 反思感悟 35 跟踪训练3　 (1)写出数列的第4项和第6项； 36 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋， 37 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式及应用. 2.方法归纳：观察、归纳、猜想. 3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n或(－1)n＋1进行调节项的符号；不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法正确的是 A.数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示为1,3,5,7，… B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n} √ 1 2 3 4 数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误； 数的次序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误； 在D中，an＝2n－2，故D中说法错误. 1 2 3 4 A.70 B.28 C.20 D.8 √ 得a2＝2，a3＝10， 所以a2a3＝20. 1 2 3 4 得4n－1＝75， 19 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的是 A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列的通项公式不一定唯一 C.同一个数在数列中可以重复出现 D.数列按项数是有限个和无限个，可分为有穷数列和无穷数列 √ 选项A中{1,3,5,7}表示的是集合. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则12是该数列的第________项. A.2 B.3 C.4 D.5 √ 令an＝n2＋n＝12，解得n＝3(n＝－4舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是 A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ √ 数列各项正、负交替，且奇数项为负，偶数项为正，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式可以为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式可以为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N＋，则a2n＝______， ＝____. 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n， 3－4n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)： (1)1,3,7,15,31，…； an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)7,77,777,7 777，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式； ∴an＝4n－2，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求a2 023； a2 023＝4×2 023－2＝8 090. (3)2 023是否为数列{an}中的项？ ∴2 023不是数列{an}中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18, 24,32,40,50，…，则该数列的第18项为 A.162 B.289 C.256 D.128 √ 由题意得，偶数项分别为2,8,18,32,50，…，可发现规律为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知an＝ ，则数列{an}中相等的连续两项是 A.第9项，第10项 B.第10项，第11项 C.第11项，第12项 D.第12项，第13项 √ 假设an＝an＋1， 所以相等的连续两项是第10项和第11项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝ 则an＝______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____. 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则 此数列的通项公式为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1，，，，，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，， －，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ ， ②无穷多个构成数列，，，，…； 对于②，an＝n－1，n∈N＋； 对于③，an＝2 023，n∈； 对于⑤，an＝n，n∈N＋. (1)，1，，，…； ，，， ∴可得原数列的一个通项公式为an＝. (3)，，－，，…； 各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子都比分母小3.因此把第1项变为－，至此原数列已化为－，，－，，…， ∴an＝(－1)n. 将8,88,888,8 888改写为×9，×99，×999，×9 999，∴an＝(10n －1). 将数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001，…，∴an＝1－. (2)写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①，2，，8； 数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. ②1，－，，－； 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. ∴n＝7或n＝(舍). ∴n＝－2或n＝. ∵－2∉N＋，∉N＋，∴68不是该数列的项. 已知数列{an}的通项公式为an＝. 因为an＝， 所以a4＝＝，a6＝＝. (2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项. 令＝，则n2＋3n－40＝0， C.数列的第k项为1＋ 在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确； 由an＝ 2.数列的通项公式为an＝则a2a3等于 an＝(n∈N＋) 由给出的前几项可归纳出an＝(n∈N＋). 故由＝5＝， 所以n＝19，即5是该数列的第19项. 3.已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式是____________________，5是该数列的第____项. 4.数列，，，，…的第10项是________. 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝(n∈N＋)， 当n＝10时，a10＝＝. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.，0，，0 D.2,0,2,0 ∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)， 5.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于 A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ ∴a2＝＋＋. A.an＝(10n－1)，n∈N＋ B.an＝(10n－1)，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝(10n－1)，n∈N＋ 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以an＝，n∈N＋. 由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3. 7.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，____，，…. ＝＝. an＝. (2)，，，，…； 把数列改写成，，－，，，，－，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin 表示，故an＝. (3)1,0，－，0，，0，－，0，…； 将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项公式为an＝10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1). 设an＝kn＋b(k≠0)，则有 解得 令2 023＝4n－2，解得n＝506 ∉N＋， 50＝2×25＝2×52＝2×2， 则该数列的第18项为2×2＝2×92＝2×81＝162. 2＝2×1＝2×12＝2×2， 8＝2×4＝2×22＝2×2， 18＝2×9＝2×32＝2×2， 32＝2×16＝2×42＝2×2， 则有＝，解得n＝10， －，a2＝－， n－1(n∈N＋) 因为an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－， 所以解得 因此{an}的通项公式是an＝n－1(n∈N＋). A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， 因为an＝＝1－，n∈N＋， 16.在数列{an}中，an＝，n∈N＋. (1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； 令<<，则<n2<2，n∈N＋， (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 解得n＝1，即在区间内有且只有1项a1. $$