7.5 正态分布 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

§7.5　正态分布 第七章　随机变量及其分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 导语 内容索引 一、正态曲线及其特征 二、利用正态分布的性质求概率 课时对点练 三、正态分布的应用 随堂演练 正态曲线及其特征 一 问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示　(1)是，(2)不是. 问题2　教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 提示　存在. 1.我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为_______ ，称它的图象为正态密度曲线，简称 . 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 .特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从 . 3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 正态密 度函数 正态曲线 X～N(μ，σ2) 标准正态分布 知识梳理 8 4.正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 . (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为 . (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称. (4)最大值：曲线在 处达到峰值 (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴. 1 上方 x＝μ x＝μ x 知识梳理 9 (6)当 一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线随着 的变化而沿 x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. μ σ 知识梳理 10 5.正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 知识梳理 11 例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正 态曲线如图所示，则总体的均值μ＝_____， 方差σ2＝_____. 20 2 12 A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品 的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品 的稳定性 C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 √ 13 由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性. 14 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ. 反思感悟 15 跟踪训练1　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 √ 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. √ √ 16 A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ √ 17 由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 18 二 利用正态分布的性质求概率 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . 0.682 7 0.954 5 0.997 3 知识梳理 20 注意点： 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 知识梳理 21 例2　设ξ～N(1,22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； ∵ξ～N(1,22)， ∴μ＝1，σ＝2， P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2) ＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. 22 (2)P(3≤ξ≤5). ∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)， 23 延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ>5). 24 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 反思感悟 25 跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 √ 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6， 所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2. 26 (2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ ∵P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6， ∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2， 27 三 正态分布的应用 例3　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量， 最后结果的误差Xn ～ ，则为使|Xn|> 的概率控制在0.045 5及以下， 至少要测量的次数为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋ σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.32 B.64 C.128 D.256 √ 而μ＝0，则P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5， (2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 由于外直径X～N(4,0.52)， 则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002 7， 而5.7∉[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 反思感悟 32 跟踪训练3　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 √ 33 ∵小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10 000)， ∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75 ×800＝18.2≈18. 1.知识清单： (1)正态曲线及其特征. (2)利用正态分布的性质求概率. (3)正态分布的应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 课堂小结 随堂演练 四 1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝ ，则这个正态总体的均值与标准差分别是 A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 1 2 3 4 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. √ 37 2.某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为 A.25 B.50 C.75 D.100 1 2 3 4 √ 由已知可得，μ＝100，所以P(ξ≥100)＝0.5. 又P(80≤ξ≤100)＝0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120)＝0.45， 所以P(ξ>120)＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)＝0.5－0.45＝0.05. 所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05＝50. 3.已知随机变量X服从正态分布N(10,22)，则D(3X－1)等于 A.6 B.11 C.12 D.36 1 2 3 4 √ 因为随机变量X服从正态分布N(10,22)， 所以D(X)＝22＝4， 所以D(3X－1)＝32D(X)＝9×4＝36. 1 2 3 4 4.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝_____. 2 因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，从而μ＝ ＝2，即μ的值为2. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7<X≤8)为 A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 √ 由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7， P(4≤X≤8)≈0.954 5， 2.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是 A.σ越小，该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量在一次测量中测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概 率相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)， 所以测量结果的分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，分布越集中. 对于A，σ越小，测量结果的分布越集中在10左右，则该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确； 对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确； 对于C，由于测量结果的分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由于测量结果的分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为随机变量X～B(6，p)， 所以E(X)＝6p， 即E(Y)＝2， 4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的 ，则样本中不高于165 cm的人数约为 A.80 B.160 C.240 D.320 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝ (x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.σ1＝σ2 B.μ1>μ3 C.μ2＝μ3 D.σ2<σ3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确； 又σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，故A，D正确. 6.(多选)已知若ξ～N(μ，σ2)，则 ～N(0,1).某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1 000人参加考试，其中甲校成绩X～N(90，302)，乙校成绩Y～N(95，202)，则 A.甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校 B.乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校 C.甲、乙两校成绩在90～95分的人数占比相同 D.甲校成绩在85～95分与乙校成绩在90～100分的人数占比相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以P(X≥110)>P(Y≥110)，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校对应概率小于乙校对应概率，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数a＝______. 由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，又P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为______. 因为随机变量ξ的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4， 所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8. 0.8 9.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 还有7分钟时： 若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7) 若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率 P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7) 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 10.某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其 中的50名，统计其考核成绩(单位：分)， 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名职工考核成绩的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表)及中位数t(精确到0.01)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，这50名职工考核成绩的平均数 ＝74×0.04＋78×0.12＋82×0.28＋86×0.36＋90×0.10＋94×0.06＋98×0.04＝84.80(分)， 由频率分布直方图得t∈[84,88]， ∴0.01×4＋0.03×4＋0.07×4＋ 0.09×(t－84)＝0.5， ∴中位数t≈84.67分. (2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50名职工考核成绩的平均数 ，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 参考数据： ≈5.26，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得X～N(84.80,27.68)， ∴200×0.158 7≈32(名)， ∴估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有32名. 11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60， 所以P(X<62)＝0.8＝P(X≤60)＋P(60<X<62)，又P(X≤60)＝0.5， 所以P(60<X<62)＝0.3，由正态曲线的对称性可得P(58<X<60)＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为 ，则μ＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 14.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2).质量指标大于等于99且小于等于101的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%， 则需调整生产工艺，使得σ至多为_____.(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ) ≈0.954 5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题可知，μ＝100，再根据题意以及正态曲线的特征可知， |X－100|≤2σ的解集A⊆[99,101]， 由|X－100|≤2σ可得，100－2σ≤X≤100＋2σ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p(0<p<1)，当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且X～N(550，σ2)，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当p∈(0,0.8)时，f′(p)>0，所以f(p)在(0,0.8)上单调递增； 当p∈(0.8,1)时，f′(p)<0，所以f(p)在(0.8,1)上单调递减. 所以f(p)在p＝0.8处取得最大值. 所以P(X≥600)＝P(X≤500)＝1－P(X≥500)＝1－0.8＝0.2. 16.已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2 ×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9,8.8]的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9,8.8]的概率约为0.135 9. . 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是 (2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，  N(μ2，σ)，其正态密度函数f(x)＝ ，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是 即＝1.99，σ2≠1.99，故D错误. ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. ∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.  P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] 即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，∴μ＝＝4.  N 根据题意，P≤0.045 5⇒P＝P≥1－0.045 5＝0.954 5， 所以2σ≤⇒σ＝≤⇒n≥128. ∴P＝≈＝0.022 75， 则P(7<X≤8)＝[P(4≤X≤8)－P(5≤X≤7)]≈＝0.135 9. 3.已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p等于 A. B. C. D. 因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝，所以μ＝2， 又E(X)＝E(Y)，所以6p＝2，即p＝.  P(X≤165)＝×＝， 则样本中不高于165 cm的人数约为1 600×＝160. 当X≤80时，≤－，当Y≤80时，≤－，由标准正态分布可知P(X≤80)>P(Y≤80)，故A正确； 当X≥110时，≥，当Y≥110时，≥， 由于甲、乙学校成绩在90～95分转化为标准正态分布对应的概率分别为P，P，由正态分布的对称性知，P> P，甲、乙两校成绩在90～95分的人数占比不同，故C错误； ＝＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ). ＝＋P(μ－2.5σ≤X≤μ＋2.5σ).  μ＋σ＝84.80＋≈90.06， ∴P(X>μ＋σ)≈－≈0.158 7， 12.已知某节假日期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数Xi(i＝1,2,3,4)(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)，若P(500<Xi<700)＝(i＝1,2,3,4)，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为 A. B. C. D. 根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率P(Xi≥700)＝×[1－P(500<Xi<700)]＝×＝(i＝1,2,3,4)， 所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率 P＝1－4＝. 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4. 所以解得σ≤，故σ至多为. 设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)， 则f(p)＝Cp80(1－p)20(0<p<1)，则f′(p)＝Cp79(1－p)19(80－100p). 参考数据：≈0.9. 由(1)知X～N(7,0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9， 所以P(7.9<X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， $$