7.4.1 二项分布 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.4.1　二项分布 第七章　§7.4　二项分布与超几何分布 学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式. 2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差，能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为 ，20× 不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？ 导语 内容索引 一、n重伯努利试验 二、二项分布的推导 课时对点练 三、二项分布的均值与方差 随堂演练 n重伯努利试验 一 问题1　下列试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚质地均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次. 提示　(1)相同条件下的试验：5次、10次、6次； (2)每次试验相互独立； (3)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； (4)每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1－p. 1.n重伯努利试验：将一个伯努利试验 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验 做n次； (2)各次试验的结果 . 注意点： 在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验. 独立地重复 重复 相互独立 知识梳理 7 例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； 由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验. 某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； 8 (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 依次抽取不是独立重复试验，所以不是n重伯努利试验. 9 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行. (2)每次试验相互独立，互不影响. (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生. 反思感悟 10 跟踪训练1　(多选)下列事件是n重伯努利试验的是 A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件 D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 √ A符合互斥事件的概念，是互斥事件； B是相互独立事件； C，D是n重伯努利试验. √ 11 二 二项分布的推导 问题2　连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 问题3　类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 提示　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”， 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 注意点： (1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. 知识梳理 16 例2　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； 17 玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个. 18 (2)若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列. 19 由题意知，X＝0,1,2,3. 所以X的分布列为 20 求n重伯努利试验概率的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验. (2)分析：判断所求事件是否需要拆分. (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算. 反思感悟 21 跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率； 22 设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4). 23 (2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率. 设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4. 24 三 二项分布的均值与方差 问题4　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ 提示　当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 二项分布的分布列为(q＝1－p) ＝np(p＋q)n－1＝np， 同理可得D(X)＝np(1－p). 1.若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ . 2.若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ . p(1－p) np(1－p) 知识梳理 29 例3　(1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于 A.6 B.2 C.4 D.3 由题意，随机变量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5， 因为Y＝2X－8，所以E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2. √ (2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次， 最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向 左、右两边下落的概率分别是 ①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； 设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， ②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差. 则ξ的分布列为 故ξ的分布列为 解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解. 反思感悟 35 跟踪训练3　某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2. (1)求a和b的值； 36 (2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值. 38 故Y的分布列为 1.知识清单： (1)n重伯努利试验的概念及特征. (2)二项分布的概念及表示. (3)二项分布的均值与方差. 2.方法归纳：公式法、数学建模. 3.常见误区：二项分布的判断错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 43 1 2 3 4 √ 3.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的均值和方差分别为 A.16,7.2 B.12,7.2 C.12,4.8 D.16,4.8 1 2 3 4 √ 设该同学答对题目的数量为ξ，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题， 所以ξ～B(20,0.6)，所以E(ξ)＝20×0.6＝12，D(ξ)＝20×0.6×(1－0.6)＝4.8. 1 2 3 4 4.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格 的概率为______. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.(多选)已知随机变量X＋ξ＝7，若X～B(10,0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为 A.E(ξ)＝1 B.E(ξ)＝2 C.D(ξ)＝2.4 D.D(ξ)＝5.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性质可得，E(ξ)＝ E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1, 2, 3, 4, 5的五个相同的小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天出现大潮和三天出现大潮， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是 A.P1＝P2＝P3＝P4 B.P3＝2P1 C.P1＋P2＋P3＋P4＝1 D.P4＝3P2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P1＝P2<P3＝P4，故A错误； P3＝3P1，故B错误； P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确； P4＝3P2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道题得2分，答错一道题减1分，已知该生每道题目答对的概率是 ，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E(X)＝____，D(X)＝____. 6 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为X＝2Y－(6－Y)＝3Y－6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝ ，则D(Y)＝_____. 由随机变量X～B(2，p)， 9.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)， [40,50)，…，[90,100]，整理得到频率 分布直方图如图所示. (1)若规定小于60分为“不及格”，从 该学校高三年级学生中随机抽取一人， 估计该学生不及格的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故该学生不及格的概率为0.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级学生中随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B，则P(B)＝0.2＋0.1＝0.3， 依题意可知X～B(3,0.3)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 E(X)＝3×0.3＝0.9. (1)求甲、乙两人都没有获得任何门票的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设甲获得的门票数为X，则X的可能取值为0,1,2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故Y的分布列为 (2)求乙获得的门票数比甲多的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知随机变量X服从二项分布B(12，p)，若E(2X－3)＝5，则D(3X)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 由随机变量X服从二项分布B(12，p)，可得E(X)＝12p， 所以D(3X)＝9D(X)＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若走L1路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量X，则X的取值可能为0,1,2,3， 若走L2路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变 量Y，则Y的取值可能为0,1,2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.随着现代科技的不断发展，手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差D(X)＝2.4，且 P(X＝4)>P(X＝6)，则均值E(X)＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 依题意，知X～B(10，p)，且D(X)＝10p(1－p)＝2.4，即p2－p＋0.24＝0，解得p＝0.6或p＝0.4. 所以p＝0.4，所以E(X)＝10p＝10×0.4＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少2次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀；“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟试验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 101 111 011 101 010 100 100 011 111 001 √ 模拟试验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有 6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为 16.为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α 与新型粮食β，并收集统计了β的 亩产量，所得数据如图所示.已知 传统粮食α的产量约为760公斤/亩. (1)通过计算比较传统粮食α与新型 粮食β的平均亩产量的大小关系； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，所求新型粮食β的平均亩产量为750×0.05＋760×0.1＋770×0.2＋780×0.25＋790×0.2＋800×0.1＋810×0.05＋820×0.05＝782(公斤)， 因为782>760，故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β，记亩产量不低于785公斤的土地块数为X，求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故X的分布列为 提示　连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1 23)∪(1A23)∪(12A3).由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. 规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.  P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3，  P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝3q2p＝Cp1q2，  P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1，  P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， Cpk(1－p)n－k 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝. 因为P(X＝0)＝C×3＝，  P(X＝1)＝C×1×2＝，  P(X＝2)＝C×2×1＝，P(X＝3)＝C×3＝. X 0 1 2 3 P 依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为. 则P(Ak)＝Ck4－k. 故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为P(A2)＝C×2×2＝. 由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝， 所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为. X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 则E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋… ＋nCpnq0， 由kC＝nC， 可得E(X)＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0 ＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0) ，. 则P(M)＝××＋××＝， 所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.  P(ξ＝2)＝＝， 易知ξ～B，  P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)， 故P(ξ＝0)＝，  P(ξ＝1)＝，  P(ξ＝3)＝，  P(ξ＝4)＝. ξ 0 1 2 3 4 P  E(ξ)＝4×＝，D(ξ)＝4××＝. X 0 3 6 P a b 因为E(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2. ① 又＋a＋b＝1，得a＋b＝， ② 联立①②，解得a＝，b＝. X 0 3 6 P a b  P(Y＝3)＝3＝.  P(X>0)＝，依题意知Y～B， 故P(Y＝0)＝3＝，  P(Y＝1)＝C××2＝，  P(Y＝2)＝C×2×＝， Y 0 1 2 3 P  E(Y)＝3×＝. 则P(X＝2)＝C×2×4＝. 1.随机变量X～B，则P(X＝2)等于 A. B. C. D. 随机变量X～B， 得D(X)＝5××＝， 所以D(3X)＝32D(X)＝9×＝10. 2.设随机变量X～B，则D(3X)等于 A.10 B.30 C.15 D.5 由随机变量X～B， 所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C×4＋C×4＝. 4道题目中，答对的题目数X～B， 1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是 A. B. C. D.  P＝C×2×3＝.  A. B. C. D. 每次抽奖中，样本点总数为C＝10，获奖的共有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(3,4,5)这4种，所以p＝，设5人中获奖人数为X，则X～B， 所以P(X＝3)＝C×3×2＝. 4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为 A. B. C. D. 有两天出现大潮的概率为C×2×＝， 有三天出现大潮的概率为C×3＝， 所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝. 5.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为 A. B. C. D. 设两家店铺不能都正常营业为事件A，由题意可知有4人休假的概率为4＝，有3人休假的概率为C×3×1＝， 所以两家店铺不能都正常营业的概率P(A)＝＋＝， 所以两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为1－P(A)＝. 由题意知，P1＝3＝，P2＝3＝，  P3＝C×2×＝，P4＝C××2＝， 依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y～B， 所以E(Y)＝6×＝4，D(Y)＝6××＝， 所以E(X)＝3E(Y)－6＝3×4－6＝6，D(X)＝32D(Y)＝9×＝12. 且P(X≥1)＝， 得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×(1－p)2＝，解得p＝. 由Y～B，得随机变量Y的方差D(Y)＝4××＝. 设“不及格”为事件A，则“及格” 为事件， ∴P(A)＝1－P()＝1－(0.2＋0.4＋ 0.2＋0.1)＝0.1，  P(X＝0)＝0.73＝0.343，P(X＝1)＝C×0.31×0.72＝0.441，  P(X＝2)＝C×0.32×0.71＝0.189，P(X＝3)＝0.33＝0.027， 10.2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A，B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响.甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票. 由题意可得，预定一张开幕式门票不成功的概率P1＝×＝， 成功的概率P2＝＋×＝， 故P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，  P(X＝2)＝×＝， X 0 1 2 P 设乙获得的门票数为Y，则Y～B， 故P(Y＝0)＝C×2＝，P(Y＝1)＝C××＝，P(Y＝2)＝C×2＝， Y 0 1 2 P 甲、乙两人都没有获得任何门票的概率P＝P(X＝0)P(Y＝0)＝×＝. 乙获得的门票数比甲多的概率P＝P(X＝0)P(Y＝1)＋P(X＝0)P(Y＝2)＋P(X＝1)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝. 故乙获得的门票数比甲多的概率为. A. B.8 C.12 D.24 因为E(2X－3)＝2E(X)－3＝24p－3＝5，所以p＝. 因为D(X)＝12××＝， 12.王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯的次数的均值分别为 A.， B.， C.， D.， 且X～B，所以E(X)＝3×＝. 则由题意知P(Y＝0)＝×＝，  P(Y＝1)＝×＋×＝，  P(Y＝2)＝×＝， 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. 13.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为_____. 乙队以3∶0获胜，即乙队三场全胜，概率为C×3＝； 乙队以3∶1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为C×2××＝； 乙队以3∶2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为C×2×2×＝. 所以在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为＋＋＝. 又P(X＝4)>P(X＝6)，所以Cp4·(1－p)10－4>Cp6(1－p)10－6，所以(1－p)2 >p2，解得0<p<0.5， A. B. C. D.  P＝＝， 因此，该选手投掷飞镖两轮，这是一个2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C×0×2＝. 任取1块土地，新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为，故  X～B， 故P(X＝0)＝4＝，  P(X＝1)＝C×1×3＝，  P(X＝2)＝C×2×2＝，  P(X＝4)＝4＝， X 0 1 2 3 4 P  P(X＝3)＝C×3×1＝， $$