7.3.2 离散型随机变量的方差 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量 的方差 第七章　§7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.掌握离散型随机变量的方差的性质. 3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题. 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究. 导语 内容索引 一、离散型随机变量的方差 二、方差的性质 课时对点练 三、方差的实际应用 随堂演练 离散型随机变量的方差 一 问题1　要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示　通过计算可得，E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平. 设离散型随机变量X的分布列为 (1)方差：D(X)＝ ＝ (xi－E(X))2pi. (2)标准差： ，记为σ(X). X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn 知识梳理 7 注意点： (1)一般地，随机变量的方差是非负常数. (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小. (3)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2计算. (4)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p) .(其中p为成功概率) 知识梳理 8 例1　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 9 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)， 故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好. ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的取值. ②求出X取每个值的概率. ③写出X的分布列. ④计算E(X). ⑤计算D(X). (2)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论.均值体现了随机变量取值的平均水平，方差体现了随机变量取值的离散程度. 反思感悟 12 由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4. 跟踪训练1　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列如表所示. (1)求a，b的值； ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 13 (2)分别计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况. ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 14 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81； E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲得分的均值比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣. 15 二 方差的性质 问题2　你能推导出D(X)与D(aX＋b)的关系吗？ 提示　D(aX＋b)＝a2D(X). 离散性随机变量的方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX＋b)＝ . a2D(X) 知识梳理 18 例2　已知X的分布列如表所示： (1)求X2的分布列； 19 所以X2的分布列为 20 (2)计算X的方差； 21 22 (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2， D(Y)＝42D(X)＝11. 23 方差性质应用的关注点 (1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X). (2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程. 反思感悟 24 √ 25 三 方差的实际应用 例3　某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)： 工种类别 A B C 赔付频率 已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. (1)求保险公司在该业务中所获利润的均值； 设A，B，C三类工种的职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为 保险公司所获利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，所以保险公司在该业务中所获利润的均值为9万元. (2)现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋ 6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104(元). 因为46×104>37.1×104， 所以建议企业选择方案2. 均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 反思感悟 34 跟踪训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ，a.项目B：新能源汽车. 根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等. (1)求a，b，c的值； 35 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X2 0.3x －0.1x P b c E(X2)＝0.3bx－0.1cx， 因为E(X1)＝E(X2)， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2. ① 又b＋c＝1， ② (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 38 选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x＝100， 所以E(X1)＝E(X2)＝20， 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 1.知识清单 (1)离散型随机变量的方差、标准差. (2)方差的性质. (3)方差的应用. 2.方法归纳：公式法、转化化归. 3.常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 4 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)等于 A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 √ 42 1 2 3 4 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 由离散型随机变量的分布列的性质 得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3， 所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， 所以D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 43 2.已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)等于 A.6 B.8 C.18 D.20 1 2 3 4 √ ∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18. 3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量 X＝ 则X的方差D(X)等于 A.m B.2m(1－m) C.m(m－1) D.m(1－m) 1 2 3 4 √ 由题意得X服从两点分布，P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以D(X)＝m(1－m). 1 2 3 4 4.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝______. 1 2 3 4 X的所有可能取值为0,1,2， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是 A.E(X)是反映随机变量的平均取值 B.D(X)越小，说明X越集中于E(X) C.E(aX＋b)＝aE(X)＋b D.D(aX＋b)＝a2D(X)＋b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确； 由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误. 2.设X，Y为随机变量，且E(X)＝2，E(X2)＝6，Y＝2X－1，则D(Y)等于 A.9 B.8 C.5 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，故D(Y)＝D(2X－1)＝22D(X)＝8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设a>0，已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是 A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1) √ ξ －1 0 2 P a 2a 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ －1 0 2 P a 2a 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以D(2ξ－1)>D(2|ξ|＋1)>D(ξ)>D(|ξ|). 4.已知口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得X可能取值为2,3， X＝2表示取出的两个球为1,2， X＝3表示取出的两个球为1,3或2,3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断 X 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表一 表二 Y 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)＝0×0.7＋1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E(Y)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7， D(X)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21， D(Y)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01， E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲质量好. 6.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的所有可能取值为0,1,3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若p为非负实数，随机变量X的分布列如表所示，则D(X)的最大值为_____. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当p＝0时，D(X)max＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量X，则随机变量X的方差D(X)＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得X的可能取值为1,2,3,4,5,6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果分别如表一、表二所示： 表一 表二 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由表中的数据得，E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2 ×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1， D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2 ×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)＝1.1<D(X乙)＝1.38，即甲品种棉花的纤维长度比乙品种棉花的纤维长度更均匀一些，从这个意义上说，甲品种棉花的质量好于乙品种棉花的质量. 10.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示(用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B，   男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 (2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 依题意可得Y＝2－X，所以D(Y)＝D(2－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)，即D(Y)＝D(X). A.E(ξ)有最大值 B.E(ξ)无最小值 C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)无最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知A＝B＝{1,2,3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A＝B＝{1,2,3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6. 对于A，P4＝3P2，故A不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又x1<x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0,1,2,3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 15.(多选)已知随机变量ξ的分布列(如表所示)，则下列说法错误的是 ξ x y P y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可得，E(ξ)＝2xy， 因为x＋y＝1， D(ξ)＝(x2y＋y2x)－(2xy)2＝xy(x＋y－4xy)＝xy(1－4xy)， D(ξ)－E(ξ)＝xy(1－4xy－2)＝－xy(1＋4xy)， 由于xy>0，所以D(ξ)－E(ξ)<0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能的)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的小时数. (1)求ξ的分布列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ的所有可能取值为1,3,4,6， 当ξ＝3时，先走2号通道，再走1号通道， 当ξ＝4时，先走3号通道，再走1号通道， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ξ的分布列为 (2)求ξ的均值和方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X －1 0 1 P a 由分布列的性质知＋＋a＝1， 解得a＝， X2 0 1 P 所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. E(X2)＝0×＋1×＝， 所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. 方法一　由(1)知a＝， 所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 方法二　由(1)知a＝， 跟踪训练2　已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则D(2X－1)等于 A. B. C.4 D.5 ∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4， ∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝， D(X)＝×＝， ∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5. X 25 25－100×104 P 1－ Y 25 25－100×104 P 1－ Z 40 40－50×104 P 1－ 所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15， E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5， E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10， 方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年赔偿金支出与固定开支共为12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104× ＋12×104＝46×104(元)； ， 依题意得，＋＋a＝1，解得a＝. X1 0.4x －0.2x 0 P 所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x， 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600， D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.  P(X＝1)＝＝，  P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，  D(X)＝2×＋2×＋2×＝.  P(X＝0)＝＝， 所以D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝，  D(|ξ|)＝×2＋×2＋×2＝. 所以D(2ξ－1)＝4×＝， 由题意得，a＋2a＋3a＝1，解得a＝， 则E(ξ)＝－1×＋0×＋2×＝，  E(|ξ|)＝1×＋0×＋2×＝，  D(2|ξ|＋1)＝4×＝.  A. B. C. D. 所以P(X＝2)＝＝， 所以P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝2×＋3×＝， D(X)＝22×＋32×－2＝. A. B. C. D.1  P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝3)＝＝， E(X)＝0×＋1×＋3×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1. X 0 1 2 P －p p ∵∴p∈， ∴E(X)＝p＋1≤，E(X2)＝p＋2， ∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－p2－p＋1＝－2＋， 且P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝， 则D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝. 则P(A)＝＝，P(B)＝＝，则X的可能取值为0,1,2， 所以P(X＝0)＝×＝，  P(X＝1)＝×＋×＝，  P(X＝2)＝×＝， X 0 1 2 P  E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 11.(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x， 若0<x<，则 由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×＝－x， 因为f(x)＝－x在上单调递减， 所以当0<x<时，E(ξ)无最大值和最小值，故A错误，B正确； D(ξ)＝2·＋2·x＋2·＝－x2－x＋， 因为f(x)＝－x2－x＋＝－2＋在上单调递减， 所以当0<x<时，D(ξ)无最大值和最小值，故C错误，D正确. A.P4＝2P2 B.P(3≤X≤5)＝ C.E(X)＝4 D.D(X)＝ 从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，P(X＝3) ＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝. 对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，故B正确； 对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确； 对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋ (6－4)2×＝，故D正确. 13.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为______. 由已知得 即 解得或 所以所以x1＋x2＝3. 14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的. 设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X＝0)＝，则D(X) ＝______. 由P(X＝0)＝知，×(1－p)2＝，  P(X＝1)＝×2＋××＋××＝， 得p＝，  P(X＝2)＝××＋××＋××＝，  P(X＝3)＝×2＝， 所以D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， A.存在x，y∈(0,1)，E(ξ)> B.对任意x，y∈(0,1)，E(ξ)≤ C.对任意x，y∈(0,1)，D(ξ)<E(ξ) D.存在x，y∈(0,1)，D(ξ)> 所以2xy≤＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误； 令t＝xy，t∈，则D(ξ)＝t(1－4t)＝－42＋，则D(ξ)≤，故D错误. 当ξ＝1时，直接从1号通道走出，则P(ξ＝1)＝； 则P(ξ＝3)＝×＝； 则P(ξ＝4)＝×＝； 当ξ＝6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ＝6)＝2××1＝. ξ 1 3 4 6 P  E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝，  D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. $$