7.3.1 离散型随机变量的均值 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.1　离散型随机变量 的均值 第七章　§7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质. 2.掌握两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题. 在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件. (1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？ (2)如何比较两个选手的射击情况？ (3)如何选择优秀的射击运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决都需要离散型随机变量的知识. 导语 内容索引 一、离散型随机变量的均值 二、均值的性质 课时对点练 三、均值的应用 随堂演练 离散型随机变量的均值 一 问题1　某人射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得的平均环数是多少？ 则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 . (2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝ . (1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 期望 0×(1－p)＋1×p＝p 知识梳理 7 注意点： 分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 知识梳理 8 例1　(1)已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于 A.0.3 B.0.7 C.0.21 D.1 √ 根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3. 9 (2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止. 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率. 10 ξ的所有可能取值为1,2,3,4. ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(ξ＝1)＝0.6. ξ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. ξ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 11 则ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6. 12 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 反思感悟 13 跟踪训练1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 14 由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球， 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， 15 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球， ∴X的分布列为 16 二 均值的性质 问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 提示　X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ . aE(X)＋b 知识梳理 20 例2　已知随机变量X的分布列为 若Y＝－2X，则E(Y)＝______. 21 由分布列的性质，得 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 22 延伸探究 1.本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y). 23 所以a＝15. 24 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 反思感悟 25 跟踪训练2　(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为 A. B.5 C.1 D.31 因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1. √ 26 (2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为 √ 27 因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34， 则E(η)＝12E(ξ)＋7， 三 均值的应用 例3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 (1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)； 用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10× ＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3. 则ξ的分布列为 (2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价(元/kg) 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？ 方案一的单价为20元/kg， 设方案二的单价为η，则η的均值为 因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二. 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值. 反思感悟 35 跟踪训练3　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 36 由题可知，X的所有可能取值为0,20,100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2； P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32； P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4； P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12； P(X＝100)＝0.6×0.8＝0.48. 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题. 38 1.知识清单： (1)离散型随机变量的均值. (2)均值的性质. (3)均值的应用. 2.方法归纳：函数与方程、转化化归. 3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知随机变量X的分布列如表所示： 1 2 3 4 X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E(X)的值为 A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定 √ 依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6. 41 2.已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于 A.67 B.11 C.2 D.1 1 2 3 4 √ E(Y)＝4E(X)＋7＝15，则E(X)＝2. 1 2 3 4 1 2 3 4 记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0,1,2. 1 2 3 4 所以X的分布列为 1 2 3 4 4.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______. 自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 －20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 －10 A3 1 2 3 4 A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7； A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6， 因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若离散型随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为 A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 √ 由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2， P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015； P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85 ＝0.22； P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765. 所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 4.(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a＝7 B.b＝0.4 C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 由题意和分布列的性质得，0.5＋0.1＋b＝1， ∴b＝0.4， 又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记抽到自己准备的书的学生数为X， 则X的所有可能取值为0,1,2,4， 6.某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下： 第一班车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为 第二班车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为 假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车 站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为 A.30 B.35 C.40 D.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该旅客候车的分钟数为ξ， 则ξ的所有可能取值为10,30,50,70,90， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ξ的分布列为 即该旅客候车的分钟数的均值为30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，设ξ＝2X－3，那么E(ξ)＝______. E(X)＝1×0.4＋0×(1－0.4)＝0.4， E(ξ)＝2E(X)－3＝－2.2. －2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值 是______. 3.5 9.袋子中装有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. (1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片”为事件A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得，随机变量X的所有可能取值为0,5,10， 所以X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由. 记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益， 所以愿意再次参加该项抽奖活动. 10.足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲、乙、丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲、乙、丙三人点球成功的概率分别为 ，且三人每次点球的结果互不影响. (1)求甲、乙、丙三人共点球4次的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设甲、乙、丙三人第i次点球成功分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2， 甲、乙、丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败， (2)设X表示甲、乙、丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 11.已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 X 0 1 2 P a b c 当a增大时，则下列说法中正确的是 A.E(X)增大 B.E(X)减小 C.E(X)先增大后减小 D.E(X)先减小后增大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b. 所以当a增大时，E(X)减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 13.已知随机变量X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为______. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Y＝aX＋3， 解得a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则如下：选手根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲给某选手，已知该选手能否猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对歌曲的歌名的概率以及获得相应的奖金金额如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000 下列猜歌名的顺序中，该选手获得的奖金总额的均值超过2 200元的是 A.B→C→A B.C→B→A C.C→A→B D.A→B→C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据规则，记该选手获得的奖金总额为X元，若按B→C→A的顺序进行， 由题意知，X的所有可能取值为0,2 000,5 000,6 000，则P(X＝0)＝1－0.6＝0.4， P(X＝2 000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36， P(X＝5 000)＝0.6×0.4×(1－0.8)＝0.048， P(X＝6 000)＝0.6×0.4×0.8＝0.192， 所以E(X)＝0×0.4＋2 000×0.36＋5 000×0.048＋6 000×0.192 ＝2 112，故A错误； 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理，按C→B→A的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 872元，故B错误； 按C→A→B的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 904元，故C错误； 按A→B→C的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为2 336元，故D正确. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000 16.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 若将频率视为概率，回答下列两个问题： (1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设乙公司送餐员送餐单数为a， 故X的所有可能取值为228,234,240,247,254， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由. 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元， 238.8<241.8， 所以推荐小王去乙公司应聘. 提示　＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8. ipi ∴P(X＝2)＝＝； ∴P(X＝3)＝＝； ∴P(X＝4)＝＝； ∴P(X＝5)＝＝. X 2 3 4 5 P ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. X －2 －1 0 1 2 P m ＋＋＋m＋＝1， 解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 即E(Y)＝－2×＝. 由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 2.本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值. 由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 由①②，解得m＝. 即E(η)＝12×＋7＝34. 所以2m＋3n＝， ① 又＋m＋n＋＝1， 所以m＋n＝， ② 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，  P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ξ 0 1 2 3 P  E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.  E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×＝17.5， 3.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为， 乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为 X，则E(X)＝______. ＝×＋×＝，  P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，  P(X＝0)＝P()＝P()P()＝×＝，  P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. X 0 1 P A.2 B.2或 C. D.1 由分布列的性质知，＋＝1，解得a＝1或a＝－2(舍去). 所以E(X)＝0×＋1×＝. A.0 B. C.1 D.－1 因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1× ＋(－1)×＝0. A. B.1 C. D.2  P(X＝0)＝＝＝，  P(X＝1)＝＝＝，  P(X＝2)＝＝＝，  P(X＝4)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1. ，，； ，，.  P(ξ＝10)＝，P(ξ＝30)＝，  P(ξ＝50)＝×＝，  P(ξ＝70)＝×＝，  P(ξ＝90)＝×＝， ξ 10 30 50 70 90 P 故E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝30， 由题意得，X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6，且P(X＝i)＝， i＝1,2,3,4,5,6， 所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5. 则P(A)＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率为 . 则P(X＝0)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝10)＝＝， X 0 5 10 P 所以E(X)＝10×＋5×＋0×＝. 则Y＝X－2，所以E(Y)＝E(X－2)＝E(X)－2＝－2＝＞0， ，， 则P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝. 则甲、乙、丙三人共点球4次的概率P＝P(A1B11＋A11C1＋1B1C1) ＝P(A1B11)＋P(A11C1)＋P(1B1C1) ＝P(A1)P(B1)P(1)＋P(A1)P(1)P(C1)＋P(1)P(B1)P(C1) ＝××＋××＋××＝. 甲测试合格的概率P1＝P(A1＋1A2)＝＋×＝， 乙测试合格的概率P2＝P(B1＋1B2)＝＋×＝， 丙测试合格的概率P3＝P(C1＋1C2)＝＋×＝.  P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝，  P(X＝3)＝××＝， X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝，b＝， 所以0≤a≤， 所以E(X)＝0·a＋1×＋2c＝＋2×＝－2a＋， 12.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为 A. B. C. D. 依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝. 从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝. X 1 2 3 P  E(X)＝1×＋2×＋3×＝. ∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2. X 1 2 3 P 14.甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<3)，且三人是否应聘成功是相互独立的.若甲、 乙、丙三人都应聘成功的概率是，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的 人数，则ξ的均值是_______. 依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2(负值舍去)， 所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2， 可得P(ξ＝2)＝×＝，  P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝0)＝×＝， 所以E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝. 当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝＝； 当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝＝； 当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝＝； 当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝； 当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝， X 228 234 240 247 254 P 故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8. $$