6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时 二项式定理的综合应用 第六章　6.3.2　二项式系数的性质 学习目标 1.熟练掌握二项式定理. 2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题. 3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题. 4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 023天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 导语 内容索引 一、两个二项式积与三项展开式问题 二、整除和余数问题 课时对点练 三、二项展开式中的系数最值问题 随堂演练 两个二项式积与三项展开式问题 一 －640 6 令6－2k＝2，得k＝2. 令6－2k＝0，得k＝3. 7 8 ∴展开式的通项为 (k1＝0,1,2，…，5). 当0≤k1<5时， 的展开式的通项为 ＝ (k2＝0,1,2，…，5－k1). 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5. 9 ∵0≤k1<5且k1∈Z， 10 求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决. 反思感悟 11 跟踪训练1　(1)若 的展开式中各项系数的和为2，则a＝____，该展开式中的常数项为_____. 1 40 12 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1， 令5－2k＝1，得k＝2， 令5－2k＝－1，得k＝3， 13 14 (2)在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为______. 30 方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 15 二 整除和余数问题 例2　(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 A.一 B.二 C.三 D.四 √ 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数. 所以第810天相当于第1天，故为星期一. 17 (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除. 32n＋2－8n－9 ＝(8＋1)n＋1－8n－9 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 18 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. 反思感悟 19 跟踪训练2　(1)1.026的近似值(精确到0.01)为________. 1.13 20 (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，则a＝_____. 1 21 三 二项展开式中的系数最值问题 例3　(1)在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开 式中系数最小的项的系数为 A.－126 B.－70 C.－56 D.－28 √ 所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数， 而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为 ＝－56. 4 240x－8y2 所以展开式中系数最大的项为奇数项. 因为r∈Z,2≤r≤4，且r为偶数，所以r＝4， 求解二项展开式中系数的最值策略 (1)求二项式系数的最大值，依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解. (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式 组 即得结果. 反思感悟 28 跟踪训练3　(多选)已知 的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是 A.二项展开式中各项系数之和为36 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为90x3 √ √ 29 对于A，令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确； 对于B，第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝ ，所以选项B正确； 30 31 1.知识清单： (1)两个二项式积与三项展开式问题. (2)整除和余数问题. (3)二项展开式中的系数最值问题. 2.方法归纳：分类讨论、方程思想等. 3.常见误区：分类不当，重复或遗漏. 课堂小结 随堂演练 四 1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10 1 2 3 4 √ 34 2.9192被100除所得的余数为 A.1 B.81 C.－81 D.992 1 2 3 4 √ 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81. 故9192被100除所得的余数为81. 3.(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为 A.25 B.35 C.45 D.(x＋3)5 1 2 3 4 √ 当k＝0时，不含y的项， 令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45. 1 2 3 4 4.在 的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为______. 10 令5－2k＝3，得k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1， 展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数， 课时对点练 五 A.－3 B.－2 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令10－2k＝2或10－2k＝0， 解得k＝4或k＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为 A.－1 B.1 C.－20 D.20 √ (x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 5.已知(3x－1)(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为 A.25 B.3 C.5 D.33 令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －20 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为_____. (2x＋my)(x－y)5＝2x(x－y)5＋my(x－y)5， 解得m＝3. 9.用二项式定理证明1110－1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求n的值及展开式中的常数项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中系数最大的项是第几项. 因为k∈N*，所以k＝4， 所以展开式中系数最大的项是第5项. 11.若二项式(1＋ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a等于 A.3 B.2 C.1 D.－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n＝512，n＝9，即(2＋ax)9(a≠0)， 解得2≤a≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以展开式中的有理项有5项，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以(7－a)n除以9余8，故D正确. 14.若(2－x)(x＋a)6的展开式中x5的系数为－3，则实数a＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以5a2－4a－1＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知2|an－1|＝|an－2|＋|an|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n＝1(舍去)或n＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又r∈N*，则r＝5或6. 例1　(1)已知(2x－a)6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________. 令6－2k＝－1，得k＝(舍去)； 故(2x－4)6的展开式中的常数项为－4C×23＝－640. 6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝C2kx6－2k(k＝0,1,2,3,4, 5,6), 令6－2k＝1，得k＝(舍去)； 故(2x－a)6的展开式中x2的系数为－aC22＝－240，解得a＝4. (2)5的展开式中的常数项是_______. 方法一　原式＝5， 当k1＝5时，T6＝()5＝4， 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C()5. ∴所求的常数项为＝. ∴或 ∴常数项为4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 5 故5的展开式中的常数项即为5的展开式中与x的系数之和. 5的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k25－kCx5－2k， ∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80. ∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40， ∴5的展开式中的常数项为80－40＝40. 所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取  x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为CCC＝30. 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2， 而(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5， 因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)， ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C8＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋8(n＋1)＋1－8n－9 由二项式定理得，1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. 因为512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1. n 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，8的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC (k＝0,1,2，…，8)， (－1)3C (2)6的展开式中二项式系数最大的项为第_______项，系数最大的项为_________. 则T5＝C·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2， 因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项. 因为6的展开式的通项为Tk＋1＝Cy6－kk＝C(－2)kx－2ky6－k， 方法一　设第r＋1项的系数最大，则 方法二　展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2， C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项 为240x－8y2. n 因为n的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n＝64，得n＝6， 二项式6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－kk＝ ， 因为k∈N*，所以当k＝2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为T3＝C24x3＝240x3，所以选项D错误. 对于D，令第k＋1项的系数最大，则解得≤k ≤， 对于C，令6－k＝0，得k＝4，所以二项展开式中的常数项为 ＝60，所以选项C错误； 因为(1＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含  x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C. 由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk， T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5， 5的展开式的通项Tk＋1＝Cx5－kk＝(－a)kCx5－2k， 故各项的系数中最大值为C＝10. 5 1.(x2＋2)5的展开式的常数项是 5的展开式的通项为Tk＋1＝C5－k(－1)k＝ 故(x2＋2)5的展开式的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3. 2.设n∈N*，则C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n除以9的余数为 A.0 B.8 C.7 D.2 因为C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 由二项式定理知系数为C(－1)3＝－20. 4.当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余 数是 A.0 B.2 C.7 D.8 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数. 又(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5－k，则展开式中含x2的项的系数为3C－C＝5. 6.若(x2－a)10的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于 A. B. C.1 D.2 10的展开式的通项是Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k， 10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C. 因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10的展开式中含x6的项的乘积两部分构成， 因此由题意得C－aC＝120－45a＝30， 7.3的展开式中的常数项是_______. 3＝3＝，上述式子展开式中的常数项只有一项，为＝－20，所以3的展开式中的常数项为－20. 因为(x－y)5的展开式中xy4的系数为C，x2y3的系数为－C， 所以(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为2C－mC＝－20， 1110－1＝(10＋1)10－1＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1) 10.在二项式n的展开式中，第3项和第4项的二项式系数之比为. 因为第3项和第4项的二项式系数之比为， 所以＝，整理得10C＝3C，解得n＝12， 所以Tk＋1＝Ck ， 所以常数项为C9＝. 令12－k＝0，得k＝9， 二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－kk＝Ck ， 设展开式中系数最大的项是第k＋1项，则 即解得≤k≤， 由题意得x2的系数为1×C×(－1)2＋a×C×(－1)＋1×C＝21，解得a＝1. A.(2,3) B. C.[2,3] D. 展开式的通项为Tk＋1＝C·29－k·(ax)k＝ak·29－k·C·xk， 依题意可知 13.(多选)已知n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则 A.n＝9 B.n的展开式中的有理项有5项 C.n的展开式中偶数项的二项式系数和为512 D.(7－a)n除以9余8 因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C，由组合数的性质知n＝9，故A正确； 因为9的展开式的各项系数之和为0，令x＝1，得(1＋a)9＝0，所以a＝－1， 所以9的展开式的通项为 令18－k为整数，得k＝0,2,4,6,8， 展开式中偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝28＝256，故C错误； 由A知n＝9，由B知a＝－1，则(7－a)n＝(7＋1)9＝89＝(9－1)9＝C99－C98＋…＋C9－1＝9(C98－C97＋…＋C－1)＋8， －或1 因为(x＋a)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kak(0≤k≤6)且k∈Z， 所以(2－x)(x＋a)6的展开式中x5的系数为2Ca－Ca2＝12a－15a2＝－3， 所以a＝－或a＝1. 15.(多选)对于二项式nn(n∈N*)，以下判断正确的有 n的展开式的通项为Tk＋1＝C·x4k－n，k＝0,1,2，…，n. 则二项式nn(n∈N*)的展开式的通项为C·3r· ·C·x4k－n， 未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k， 令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，C·3r· ·C·x4k－n＝C×3×C＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误； n的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r· ，r＝0,1,2，…，n， 令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，C·3r· ·C·x4k－n＝C×30×x3×C×x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 16.已知二项式n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥3且n∈N*).若|an－2|，|an－1|，|an|成等差数列. (1)求n的展开式的中间项； an－1＝C(－1)n－1＝(－1)n－1， an－2＝C2(－1)n－2＝(－1)n－2， 即2×＝1＋，即n2－9n＋8＝0， 二项式n的通项为Tk＋1＝Cn－k(－x)k＝Cn－k(－1)kxk，k＝0,1,2，…，n， 则an＝C(－1)n＝(－1)n， 则8的展开式的中间项是T5＝C4(－1)4x4＝x4. 设|ar|最大，则有 即解得5≤r≤6， 所以|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值为|a5|＝|a6|＝＝7. $$