6.3.2 第1课时 二项式系数的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第1课时 二项式系数的性质 第六章　6.3.2　二项式系数的性质 学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.掌握“赋值法”并会灵活应用. 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学 上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式 在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称 为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的， 比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右. 导语 内容索引 一、二项式系数的性质 二、各二项式系数的和 课时对点练 三、二项展开式的各项系数的和 随堂演练 二项式系数的性质 一 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即 2.增减性与最大值： 相等 < > < > 知识梳理 6 (2)当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值. 知识梳理 7 例1　已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求n的值； 8 (2)求展开式中二项式系数最大的项. 9 通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a＋b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题. 反思感悟 10 跟踪训练1　(1)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为 A.80 B.40 C.－40 D.－80 √ 11 (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于 A.20 B.21 C.22 D.23 √ 由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22. 12 二 各二项式系数的和 14 2n 2n－1 知识梳理 15 例2　(1) 的展开式中所有二项式系数的和是______；展开式中所有偶数项的二项式系数和是______.(用数字作答) 256 128 的展开式中所有二项式系数的和是28＝256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27＝128. 16 (2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m＝______. 2 17 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 反思感悟 18 跟踪训练2　已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A.512 B.210 C.211 D.212 √ 19 ∵(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等， 三 二项展开式的各项系数的和 例3　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； 令x＝0，得a0＝－1. 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128， ① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)a1＋a3＋a5＋a7； 令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7， ② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384. 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 反思感悟 25 跟踪训练3　设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； 在(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1. 26 (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值； 令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2. 27 (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值. 分别令x＝－1，x＝1， ②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023). 28 1.知识清单： (1)二项式系数的性质. (2)各二项式系数的和. (3)二项展开式的各项系数的和. 2.方法归纳：赋值法. 3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数. 课堂小结 随堂演练 四 1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 1 2 3 4 √ 31 2. 的展开式中二项式系数最大的项是 A.第3项 B.第6项 C.第6,7项 D.第5,7项 1 2 3 4 √ 3.若 的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是 A.240 B.－240 C.160 D.－160 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为______. 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128， 又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7， 129 解得a7＝－1. 故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129. 课时对点练 五 1.已知 的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则 所有项的系数之和为 A.212 B.312 C.310 D.210 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 令x＝1，得所有项的系数之和为310. 2.若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为 A.5 B.8 C.10 D.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210， 令x＝1，y＝1，得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n， 则由题意知，4n＝210，解得n＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)已知 展开式中各项的系数之和为－512，则该展开式中二 项式系数最大的项是 A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 √ √ 故二项式系数最大的项是第5项和第6项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知关于x的二项式 展开式的二项式系数之和为32，常数项为 80，则a的值为 A.1 B.±1 C.2 D.±2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知 的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项为 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是 A.a2＋a5＝588 B.a1＋a2＋…＋a7＝1 C.a1＋a3＋a5＋a7＝ D.|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7， 令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1， 令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1； 令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37， 故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是____. 10 令x＝1，得2n＝32，故n＝5. 令10－5k＝0，得k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则 ＝______. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1； 令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65， 9.在二项式 的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为 －1∶14，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)二项展开式中的各项的系数之和. 令x＝1，得各项系数之和为(－1)10＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a1＋a2＋a3＋a4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1， 令x＝0，得(0－3)4＝a0＝81， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝1－81＝－80. (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a0 ＝625－81＝544. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 (1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023， 令x＝0，得a0＝1， √ 12.(多选)若 的二项展开式共有8项，则该二项展开式中 A.各项二项式系数和为128 B.项数为奇数的各项系数和为－64 C.有理项共有4项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据Tk＋1＝ ，当k取0,2,4,6时，Tk＋1＝ 为有理项，共有4项，故C正确； 13.已知(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3).若a1＋a2＋a3＋…＋an＝134，则a3＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3)， 令x＝0，得a0＝2； 令x＝1，得(1＋1)3＋(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋134， 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 255 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知，B－A＝38. 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n. ∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个递增数列，则k的最大值是 A.6 B.7 C.8 D.5 √ 16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了 许多优美的规律，如图是 一个11阶杨辉三角. (1)求第20行中从左到右的 第4个数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数. 试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明如下： C＝C. (1)若n为奇数，当k≤时，C C，此时递增，当k≥时， C C，此时递减；若n为偶数，当k≤时，C C，此时递增；当k≥时，C C，此时递减． 依题意得，C＝C，解得n＝8. 因为n＝8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为Cx4(－2)4＝1 120x4. 由题意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCx5－k， 由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为(－1)2×C×23＝80. 问题　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 提示　C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1.C＋C＋…＋C＝ . 2.C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 8 8 由题意得，2n＝64，解得n＝6，而(x－my)6的通项公式为Cx6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为C(－m)3＝－160，解得m＝2. ∴C＝C，解得n＝10，各二项式系数之和为210， ∴(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512. ∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k， . 得 ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝. 第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件. 11 11的展开式中第＋1项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大. n 由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n＝64， 所以n＝6，6的展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x)6－kk＝(－1)kC26－kx6－3k， 令6－3k＝0，则k＝2，则常数项为T3＝(－1)2C24＝240. 则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7， n 因为n的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 所以C＝C，解得n＝10， n 令x＝1，得各项的系数之和为n＝(－2)n＝－512，解得n＝9， 即n＝9，所以该展开式中二项式系数最大为C和C， n 所以Ca3＝80，解得a＝2. 由题意知2n＝32，即n＝5，在二项展开式的通项Tk＋1＝C()5－kk＝ 中，令15－5k＝0，得k＝3. n 倒数第3项为Tn－1＝C·2n－2· ，其系数为C·2n－2， n的展开式的通项为Tk＋1＝C()n－k·k＝C·2k· ， 第3项为T3＝C·22· ，其系数为C·22， 由题意得，＝24－n＝＝2－2，所以n＝6， 因为(2x－1)7展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)7－k(－1)k＝C(－1)k27－kx7－k， 所以a2＝C(－1)527－5＝－84， a5＝C(－1)227－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确； a1＋a3＋a5＋a7＝－ ＝，故C正确； n Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k， 故展开式中的常数项为T3＝C＝10. － 故＝－. n 二项式n的展开式的通项为 Tk＋1＝C()n－kk＝ ∵C(－2)3∶C(－2)6＝－1∶14，∴n＝10. C＋C＋…＋C＝210＝1 024. 11.若(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023(x∈R)，则＋＋…＋的值为 A.2 B.0 C.－2 D.－1 令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0， 所以＋＋…＋＝－1. n 因为n的二项展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128，故A正确； 7的展开式的通项为Tk＋1＝ ，故项数为奇数的各项系数和为C＋C＋C＋C＝64，故B错误； T4＝ ，T5＝Cx，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误. 即2n＝128，n＝7，故a3＝C×10＋C×14＝36. 14.已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________. 由二项式系数的性质，可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255. 由二项式定理，知ak＝C(k＝1,2,3，…，11)，因为(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6. C＝1 140. C＋C＋…＋C＝C. 左边＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝…＝C＋C＝C＝右边. $$