6.3.1 二项式定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.1　二项式定理 第六章　§6.3　二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？ 导语 内容索引 一、二项式定理的正用与逆用 二、二项式系数与项的系数 课时对点练 三、二项展开式中的特定项 随堂演练 二项式定理的正用与逆用 一 问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2 ＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？ 提示　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项. 二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项. (3)二项式系数：各项的系数 (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数. (4)通项：(a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ . n＋1 k＋1 知识梳理 8 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. 知识梳理 10 11 (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 12 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 13 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 反思感悟 14 15 16 17 二 二项式系数与项的系数 例2　在二项式 的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； 19 (2)求展开式中x－1的系数. 20 正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 反思感悟 21 跟踪训练2　已知 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； 22 23 三 二项展开式中的特定项 例3　在二项式 的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项； (4)中间项. 因为n＝12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项. 令k＝6，得T7＝ ＝924x4. (1)求二项展开式的特定项的常见题型 (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； 反思感悟 29 ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 反思感悟 30 跟踪训练3　已知在 的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； 31 (2)求含x2项的系数； 32 (3)求展开式中所有的有理项. ∵k∈N，∴t应为偶数. 令t＝2,0，－2，则k＝2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236, 295 245x－2. 33 1.知识清单： (1)二项式定理的正用与逆用. (2)二项式系数与项的系数. (3)二项展开式中的特定项. 2.方法归纳：转化化归. 课堂小结 随堂演练 四 1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是 A.2n B.2n＋1 C.2n－1 D.2(n＋1) 1 2 3 4 √ 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 36 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 －4 令12－4k＝0，得k＝3， 1 2 3 4 4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为______. (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 x4 课时对点练 五 1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于 A.17 B.16 C.15 D.14 √ ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又展开式中x3的系数为－160， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 的展开式中的常数项为 A.60 B.－60 C.250 D.－250 √ 4.(x－ )10的展开式中x6y4的系数是 A.840 B.－840 C.210 D.－210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 A.－5 B.5 C.－10 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中， 含x3的项的系数为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝______. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 的展开式的中间项为________. 因为n＝6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项， 9.已知 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9. (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知 (其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)写出它展开式中的所有有理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当k是6的倍数时， 展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 11.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为 A.3 B.6 C.9 D.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.若(ax＋y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 10 14.已知在 的展开式中，第9项为常数项，则 (1)n的值为______； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 因为第9项为常数项， 解得n＝10. (2)含x的整数次幂的项有_____个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 由于k＝0，1,2,3，…，9,10， 故符合要求的项有6个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设二项式 (a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B＝4A，a>0，∴a＝2. 16.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*). (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4. (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12， 所以m＝12－2n. 所以当n＝3，m＝6时， 含x2的项的系数取得最小值. 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C×C＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0,1,2)的形式. 而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C. Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn C Can－kbk 例1　(1)求4的展开式. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. 方法一　4 ＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)22＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 延伸探究　若将例1(2)中的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2) nC”，求化简结果. 跟踪训练1　(1)求5的展开式. ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3·(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋ C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－. 方法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋ C(2x)23＋C(2x)4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　5＝ (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋… ＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 则展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120. 10 10的展开式的通项是 Tk＋1＝C(3)10－kk＝310－kk (k＝0,1,2，…，10). 令＝－1，解得k＝4. 所以展开式中x－1的系数为364C＝30 240. n 因为二项式n的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为C，C， 所以＝，即＝，解得n＝7. 所以展开式中含项的系数为C34＝2 835. (2)求展开式中含项的系数. 当＝－1时，k＝3， 因为展开式的通项为Tk＋1＝C(3)7－k·k＝ 令k＝3，则T4＝(－1)3C ＝－220x8. 12 12的展开式的通项为Tk＋1＝Cx12－k·k＝ 令12－k＝0，解得k＝9， 所以常数项为(－1)9C＝－220. 当k＝0,3,6,9,12时，Tk＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝ －220x8，T7＝Cx4＝924x4， T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. ∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10. n n的展开式的通项为Tk＋1＝ 令＝2，得k＝2， ∴所求项的系数为C(－3)2＝405. 由题意得 令＝t(t∈Z)，则10－2k＝3t， 即k＝5－t. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项. ∴第3项为T3＝Cx4y2. 2.(x－y)6的展开式的第3项是 A.Cx4y2 B.Cx2y4 C.Cx3y3 D.－Cx3y3 由题设，(x－y)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(－y)k， Tk＋1＝C(x3)4－kk＝(－1)kCx12－4k， 常数项为T4＝(－1)3C＝－4. 3.4的展开式中的常数项为_______. 4的展开式的通项为 ＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(－1)4 ＝[(x＋1)－1]4＝x4. (1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk， 则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6. 6 6的展开式中的常数项为 C()4·2＝60. y 在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中  x6y4的系数为C×(－)4＝840. 5.若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于 A.32 B.－32 C.1 024 D.512 a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10， 当a＝2－时，(a－2)10＝32. (1－x)5中x3项的系数为－C＝－10， －(1－x)6中x3项的系数为－C·(－1)3＝20， (1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8. 6 －x3 则展开式的中间项为T4＝C(x2)33 ＝C3x3＝－x3. n 因为T3＝C()n－22＝ ， T2＝C()n－1＝ 依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 二项式9的展开式的通项为 令＝3，解得k＝1， Tk＋1＝C()9－kk＝ 所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3. 二项式系数为C＝9. (＋)n (＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得，＋＝2·， k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. 二项式(＋)14的展开式的通项为 ∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2×2＋C(x－2)×22＋C×23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6. A.2 B.±2 C.2 D.±2 展开式的通项公式是Tk＋1＝C·(ax)5－k·yk，当k＝3时，x2y3项的系数为C·a2＝80，解得a＝±2. (x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k， 则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C(－1)1＋C＝3，a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0. 所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10. n 所以当k＝8时，2n－k＝0， 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k 要使20－k为整数，需k为偶数， 6 二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝ 令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4， ∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2. (1＋x)3的展开式的通项为Cxr， (1＋2x)4的展开式的通项为C(2x)k，  f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2. 所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，  x2的系数为C＋4C＝C＋4C ＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*， $$