6.2.3～6.2.4 第1课时 组合与组合数 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第1课时 组合与组合数 第六章　6.2.3　组　合　6.2.4　组合数 学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题. 小明五一到石城旅游，要从A，B，C，D 4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D 4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 导语 内容索引 一、组合概念的理解 二、利用组合数公式化简、求值与证明 课时对点练 三、组合数的简单应用 随堂演练 组合概念的理解 一 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意点： (1)组合中取出的元素没有顺序； (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 作为一组 知识梳理 6 例1　(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是 A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 √ A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题. √ 7 判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 反思感悟 8 跟踪训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题. 9 (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题. 10 (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生. 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. 11 二 利用组合数公式化简、求值与证明 (1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. (2)组合数公式： 所有不同组合的个数 知识梳理 13 注意点： (1)m≤n，m，n∈N*； 知识梳理 14 √ 15 √ (2)(多选)对于m∈N*，n∈N*，m≤n，下列关于排列组合数的结论正确的是 √ 16 17 (1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验. 反思感悟 18 跟踪训练2　(1)(多选)下列等式正确的是 √ √ √ 19 对于B，由组合数的性质知B正确； 20 490 21 三 组合数的简单应用 例3　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 反思感悟 27 跟踪训练3　一个口袋内装有7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内的8个球中取出3个球， 28 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 29 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 30 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)组合数的计算与证明. (3)组合数的简单应用. 2.方法归纳：公式法、间接法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”. 课堂小结 随堂演练 四 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 1 2 3 4 √ 33 1 2 3 4 √ 即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0. ∵n∈N*，∴n＝9. 3.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有 A.200种 B.400种 C.100种 D.300种 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为 A.28 B.49 C.56 D.85 √ 课时对点练 五 1.(多选)下列问题中是组合问题的是 A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B.平面上有2 022个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成 多少条直线 C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个 D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目， 有多少种选法 √ 选项A，B，C与顺序无关，是组合问题； 选项D与顺序有关，是排列问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有 A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形， 能构成三角形的数量为 A.220 B.200 C.190 D.170 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)下列式子成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据排列和组合数公式，可知A成立； 由组合数的性质，可知C成立； 6.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_______.(用数字作答) 210 从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.现有10名学生，其中男生6名. (1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有24＋6＝30(种). (2)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，则有多少种选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，则有多少种选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分类加法计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有112＋28＝140(种). 11.新课程改革后，某地区普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有 A.14种 B.15种 C.16种 D.17种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有12＋4＝16(种)选法. 12.甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有 A.15种 B.30种 C.45种 D.60种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.从5名男生和2名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有______种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 14.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有____条. 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使路线最短，只能向右或向上走，途中 不能向左或向下走. 因此，从A地到B地归结为走完5条横线段 和4条纵线段. 16.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可分三种情况处理： (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C (3)规定：C＝1. (4)性质1：C＝ ， 性质2：C＝C＋C. C＝＝ 或C＝ (n，m∈N*，且m≤n). C (2)C＝＝常用于计算； C＝常用于证明. 例2　(1)C＋C等于 A.25 B.30 C.35 D.40 C＋C＝＋＝10＋20＝30. A.C＝C＋C B.C＝C C.A＝CA D.A＝(m＋1)A 对于D，因为A＝(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)，A＝m！，所以A≠(m＋1)A，D错误. 对于A，C＋C＝＋＝＋ ＝＝C，A错误； 对于B，由组合数的性质知，C＝C成立，B正确； 对于C，因为C＝，因此A＝CA成立，C正确； (2)合理选用组合数的两个性质C＝C，C＝C－C能起到简化运算的作用，需熟练掌握. A.若C＝C，则n＝8 B.C＝C＋C C.C＋C＋C＝7 D.7C－4C＝0 对于A，由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，A不正确； 对于C，C＋C＋C＝1＋3＋3＝7，C正确； 对于D,7C－4C＝7×－4×＝140－140＝0，D 正确. ＝C－5＝－5＝490. (2)计算：C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝______. C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－5＝C－5 4人中男生和女生各选2人，共有C×C＝10×6＝60(种)选法. 除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有C＝21(种)选法. 方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有C＝21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有CC＝70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21＋70＝91(种)选法. 方法二　(间接法)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有C＝35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有C－C＝126－35＝91(种)选法. 方法一　(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女. 则4人中必须既有男生又有女生共有CC＋CC＋CC＝20＋60＋40＝120(种)选法. 方法二　(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有C－C－C＝120(种)选法. 取法种数是C＝＝＝56. 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21. 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35. 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C. A.A种 B.C种 C.CA种 D.30种 2.若C＝36，则n的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 ∵C＝36，∴＝36， 从6门选修课中任意选择3门有C种方法，从5种课外活动小组中选择2种有C种方法， 由分步乘法计数原理得CC＝20×10＝200(种)，所以不同的选法有200种. 依题意，满足条件的选法种数为CC＋CC＝49. 2.(多选)方程C＝C的解为 A.x＝4 B.x＝5 C.x＝6 D.x＝9 由题意，得x＝3x－8或x＋3x－8＝28， 且x满足不等式组解得x＝4或x＝9. 抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有CC＝8(种)，A正确； 抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有CC＝56(种)，B错误； 抽到的3件产品中没有次品的取法有C＝56(种)，C正确； 抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有CC＋CC＝64(种)，D错误. 任取三个点有C种，其中三点共线的有3C种，故能构成三角形的数量为C－3C＝190. A.C＝ B.A＝mA C.C＝C＋C D.C＝C A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， 所以A＝nA，故B不成立； C＝＝·＝C，故D成立. 从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C ＝1(种). 共有C＝210(种)分法. 8.计算：C＋C＋C＋C＝______. C＋C＋C＋C＝2(C＋C)＝2×＝2× ＝2×(8＋56)＝128. 从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45. 从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种， 根据分步乘法计数原理，因此共有C·C＝×＝90(种)不同的选法. 方法一　(直接法)必须有女生可分两类：第一类，只有1名女生，共有CC＝24(种)； 第二类，有2名女生，共有C＝6(种)， 方法二　(间接法)去除2名代表都是男生的选法，必须有女生的不同选法有C－C＝45－15＝30(种). 从其余8人中选2人，有C＝28(种)不同选法. 第一类：甲、乙只有1人被选，共有CC＝112(种)不同选法； 第二类，甲、乙两人均被选，有C＝28(种)不同选法. 物理或历史中选一门有CC＝12(种)选法； 物理和历史都选有C＝4(种)选法； 甲从周二至周六5天中选2天值班，有C种选法； 乙可从剩下的4天中任选2天值班，有C种选法； 丙选剩下的2天即可，有C种选法，故不同的排班方案共有CCC ＝60(种). 从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法总数为C＝35，从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为C＝10，所以从5名男生和2名女生中选出至少包含1名女生的方法数为35－10＝25. 把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36(种)保送方案. 设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成一个三角形，有C个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有CC个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有CC个. 所以共有C＋CC＋CC＝116(个). 其中含点C1的三角形有C＝36(个). ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点， D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点 构成一个四边形，有CC个. 所以共有C＋CC＋CC＝360(个). ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成一个四边形，有C个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有CC个； $$