6.2.1～6.2.2 第1课时 排列与排列数 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第1课时 排列与排列数 第六章　6.2.1　排　列　6.2.2　排列数 学习目标 1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列. 2.掌握排列数公式并会应用. 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，我们需要准备6种不同的机票，如图所示. 导语 内容索引 一、排列概念的理解 二、排列数公式 课时对点练 三、排列数公式的简单应用 随堂演练 排列概念的理解 一 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示　 如图所示，共有6种不同的选法. 1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照_______ 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_____ ；(2)元素的排列 也相同. 注意点： (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 一定的 顺序 完全 相同 顺序 知识梳理 7 例1　(多选)下列问题是排列问题的是 A.北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设 来回的票价相同) B.选2个小组分别去植树和种菜 C.选10人组成一个学习小组 D.选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员 √ √ 8 三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题； 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题； C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题； 每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题. 9 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 反思感悟 10 跟踪训练1　下列问题是排列问题的是 A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B.10个人互相通信一次，共写了多少封信 C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 √ 11 对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C,5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误. 12 二 排列数公式 问题2　怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列数 14 提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法； 第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法； … 第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有 [n－(m－1)]种方法，如表所示. 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法. 1. 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________ 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 排列数公式 乘积式 ＝________________________ 阶乘式 _________ 备注 n，m∈N*，m≤n 不同排列 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 知识梳理 17 2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成 . 规定：0！＝1. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n－m＋1. n！ 知识梳理 18 例2　计算： 19 (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2). 化简得4x2－35x＋69＝0， 所以原方程的解为x＝3. 20 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 反思感悟 21 跟踪训练2　(1)不等式 的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8} √ 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12， ① 由①②及x∈N*，得x＝8. 22 23 三 排列数公式的简单应用 例3　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 方法一　分两步完成： 方法二　符合条件的三位数可以分三类： 方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数， 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论再计算. 反思感悟 28 跟踪训练3　已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 √ 29 1.知识清单： (1)排列、排列数的定义. (2)排列的简单应用. (3)排列数公式的应用. 2.方法归纳：树状图法. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下列问题中是排列问题的是 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 1 2 3 4 √ 由排列的定义知AD是排列问题. √ 32 A.480 B.520 C.600 D.1 320 1 2 3 4 √ 3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 A.3 B.24 C.34 D.43 1 2 3 4 √ 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 1 2 3 4 4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种. (用数字作答) 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法. 36 课时对点练 五 1.下面问题中，是排列问题的是 A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C,从100人中选2人抽样调查，与顺序无关，不是排列问题； 对于D,从1,2,3,4,5中选2个数组成集合，与顺序无关，不是排列问题. 2.若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图 所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最 下面的不同放法共有 A.2种 B.4种 C.6种 D.9种 √ 《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有2×1＋2×1＝4(种). 4.某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种数为 A.12 B.18 C.24 D.144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.6 B.13 C.6或13 D.12 由题意得0<x≤8且0<x－1≤9，所以1<x≤8， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝6或x＝13(舍去). 6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是 A.9 B.10 C.18 D.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成_____个以b为首的不同的排列，它们分别是_______________________________________ ___________________. 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc， bde，bea，bec，bed 画出树状图如图. 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca， bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 8.若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有_______种. 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为“p，e，a，r”四个字母组成的全排列共有 ＝4×3×2×1＝24(种)，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24－1＝23(种). 由题意可知，x∈N*且x≥3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，整理得 (3x－2)(x－5)≤0， 所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3,4,5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B). (1)该铁路的客运车票有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列等式正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.30种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 14.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则可以表示不同的信号共______有种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即一共可以表示15种不同的信号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数. (1)若x＝9，则其中能被3整除的共有_____个； 因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成， 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝______. 7 所以7＋x＝14，解得x＝7. 16.用数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个， 所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600－120－1＝479. A？ A A A＝ A＝n！ (1)； ＝ ＝＝＝. (2)解方程：A＝140A. 因为所以x≥3，x∈N*. 由A＝140A得 解得x1＝3，x2＝(舍去). A<6A 由A<6A，得<6×， 又所以2<x≤8， ② (2)计算：＝________. － ＝＝＝－＝－. (2)个位数字是0的三位数有A个； (3)十位数字是0的三位数有A个. 由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为A＋A＋A＝648. (1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有A种方法. (2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位，个位，有A种方法. 由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为AA＝9×9×8＝648. (1)每一位数字都不是0的三位数有A个； 即A－A＝648. A.A种 B.A种 C.AA种 D.2A种 司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法. 3.常见误区：忽视A中“m，n∈N*”这个条件. 2.A－A的值是 A＝12×11×10＝1 320， A＝10×9×8＝720， 故A－A＝1 320－720＝600.  A A.A B.A C.A D.A  A＝＝(27－a)(28－a)·…·(34－a). 由题意知，值班当天不同的排班种数为A＝24. 5.已知3A＝4A，则x等于 因为3A＝4A，所以＝，整理得x2－19x＋78＝0， lg a－lg b＝lg ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故其可得到18种结果. A 9.(1)解不等式：3A≤2A＋6A； 因为A＝x(x－1)(x－2)，A＝(x＋1)x，A＝x(x－1)， (2)求证：A＝AA. 左边＝A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！， 右边＝AA＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)×(n－m)×…×2 ×1＝n！， 所以A＝AA. 铁路的客运车票有A＝8×7＝56(种). 在新增了n个车站后，共有(n＋8)个车站，因为客运车票增加了54种，则A－56＝54， 所以A＝(n＋8)(n＋7)＝110，解得n＝3. A.(n＋1)A＝A B.A＝ C.＝(n－2)! D.A＝A 对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝A，A 正确； 对于B，A＝＝，B错误； 对于C，＝＝(n－2)！，C正确； 对于D，A＝·＝＝A，D正确. 志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有A种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3A＝18(种). 第一类，十位数字取9，有A个； 第二类，十位数字取6，有A个； 第三类，十位数字取5，有A个； 第四类，十位数字取4，有A个. 所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40. 分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种； 第2类，用2面旗表示的信号有A种； 第3类，用3面旗表示的信号有A种， 由分类加法计数原理，所求的信号种数为 A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 所以共有2×A＝12(个). 显然x≠0，因为1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A·A次， 所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)·A·A， 即(1＋2＋4＋x)·A·A＝252， 用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为5A＝600. 以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为A＝120， $$