6.1 第2课时 计数原理的综合应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时 计数原理的综合应用 第六章　§6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数. 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求， 再加上许多车主还希望车牌号“个 性化”，因此，汽车号码需要进行 扩容，这样就需要“数出”某种方 案下的所有号码数，号码的个数是 如何进行计算的呢？ 导语 内容索引 一、组数问题 二、抽取与分配问题 课时对点练 三、涂色与种植问题 随堂演练 组数问题 一 例1　用0,1,2,3,4五个数字. (1)可以排出多少个不同的三位数字的密码？ 三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复， 每个位置都有5种排法， 故共可排成5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码. (2)可以排成多少个不同的三位数？ 三位数的百位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法， 因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数. (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法， 则有2×3×3＝18(种)排法. 故共有12＋18＝30(种)排法， 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 延伸探究　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种取法； 第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个数，在剩下的3个数中任取一个，有3种取法； 第三步、第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位，有3种排法，再排十位，有2种排法. 由分步乘法计数原理知，共能组成2×3×3×2＝36(个)无重复数字的四位奇数. 常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等. (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数. 反思感悟 10 跟踪训练1　(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A.24 B.18 C.12 D.6 √ 11 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇. 如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种； 如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12＋6＝18(个)奇数. 12 (2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C.261 D.279 √ 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个). 13 二 抽取与分配问题 例2　(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 A.360种 B.420种 C.369种 D.396种 √ 15 方法一　(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种). 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种). 16 方法二　(间接法) 先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案. 17 (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为______. 2 不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种). 18 抽取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 反思感悟 19 跟踪训练2　(1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是 A.11 B.10 C.9 D.8 √ 20 方法一　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法； 同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法. 这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法. 方法二　让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法. 若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1 ＝9(种)不同的安排方法. 21 (2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 A.280种 B.240种 C.180种 D.96种 由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法. 后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案. √ 22 三 涂色与种植问题 例3　(1)如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个 区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色， 则不同的涂色方法有 A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 按A→B→C→D的涂色顺序分四步：涂A部分时，有4种涂法； 涂B部分时，有3种涂法； 涂C部分时，有2种涂法； 涂D部分时，有2种涂法. 由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48(种). √ (2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有_____种不同的种植方法. 方法一　(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法. 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法. 故不同的种植方法共有6×3＝18(种). 方法二　(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，共有4×3×2＝24(种)不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)不同的种植方法，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法. 18 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算. (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准. 反思感悟 26 跟踪训练3　(1)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为______. 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法； 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法. 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法. 420 27 (2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种(以数字作答). 72 28 ①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方 法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜 色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12(种)，由 分步乘法计数原理得，有4×12＝48(种)不同的着色方法. ②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法.由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)不同的着色方法. 综上，共有48＋24＝72(种)不同的着色方法. 1.知识清单： (1)两个计数原理的区别与联系. (2)两个计数原理的应用：组数问题、抽取与分配问题、涂色与种植问题. 2.方法归纳：分类讨论、正难则反. 3.常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题. 课堂小结 随堂演练 四 1.某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为 A.11 B.30 C.56 D.65 1 2 3 4 √ 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30(种)不同的组队方法. 32 2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为 A.15 B.12 C.10 D.5 1 2 3 4 √ 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有2个. 由分类加法计数原理知共有偶数5个. 3.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有 A.4种 B.5种 C.6种 D.12种 1 2 3 4 √ 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法； 同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法. 1 2 3 4 4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B， C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的 涂法有_____种. 先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种). 72 课时对点练 五 1.某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是 A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97 C.9×107 D.8.1×107 √ 当电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复).若某车主左数第1个号码只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有 A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 按照车主的要求，左数第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24 √ 先将3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和两边共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择； 乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择； 丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择. 根据分步乘法计数原理，得任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24. 4.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 A.6种 B.8种 C.36种 D.48种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 选择参观路线分步完成：第一步选择三个“环形” 路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针 方向参观有2种方法； 第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法； 最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法. 由分步乘法计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)参观路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有 A.4 320种 B.2 880种 C.1 440种 D.720种 第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A.360种 B.50种 C.60种 D.90种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，②甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求相邻两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有______种. 180 依次给区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ涂色分别有5,4,3,3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×3＝180(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有______个. 由四位数是偶数知，最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有 1 222,2 122,2 212，共3个； 当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个； 当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数. 故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个). 7 9.将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中. 求：(1)1号盒中无球的不同放法种数； 1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2,3,4号盒子中，有33＝27(种)放法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)1号盒中有球的不同放法种数. 1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法，第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法，第三类是1号盒中有三个球，有1种放法. 共有27＋9＋1＝37(种)放法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在如图所示的4块试验田中，有4种不同的作物可供选择种植，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　第一步，种植A试验田，有4种方法； 第二步，种植B试验田，有3种方法； 第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同， 则D试验田有3种方法， 此时有1×3＝3(种)种植方法. 若C试验田种植的作物与B试验田不同， 则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，此时有2×2＝4(种)种植方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分类加法计数原理知，有3＋4＝7(种)种植方法. 第四步，由分步乘法计数原理得， 共有N＝4×3×7＝84(种)不同的种植方法. 方法二　(1)若A，D种植同种作物， 则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理得， 共有4×3×3＝36(种)种植方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有 3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法， 由分步乘法计数原理得，共有4×3×2×2＝48(种)种 植方法. 综上所述，由分类加法计数原理得，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有 重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法.故不同的填写方法共有6×2＝12(种). 12.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 A.18 B.24 C.36 D.72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法； 再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案. ②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法； 再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案. 由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种). 13.(多选)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的三位自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是 A.组成的三位数的个数为60 B.在组成的三位数中，偶数的个数为30 C.在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D.在组成的三位数中，“凹数”的个数为30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误； 对于B，将组成的三位数的偶数分为两类，①个位为0，则有4×3＝12(个)，②个位为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确； 对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误. 14.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形 中，与正八边形有公共边的三角形有______个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 满足条件的有两类： 第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个； 第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有 8×4＝32(个). 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则不同的选取种数为______，m，n都取到奇数的概率为______. 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为 63 16.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花. (1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分. 因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理得， 不同的种植方法有3×2×1＝6(种). (2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a1，a3不同色时， 有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时， 有3×2×1×2＝12(种)种植方法， 由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法. . $$