6.1 第1课时 计数原理及其简单应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第1课时　 计数原理及其简单应用 第六章　§6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 从我们班推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？如果把我们班的同学排成一排，又有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合的知识.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们来学习这两个原理. 导语 内容索引 一、分类加法计数原理 二、分步乘法计数原理 课时对点练 三、两个原理的简单应用 随堂演练 分类加法计数原理 一 问题1　某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘.那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选. 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 注意点： (1)完成这件事的若干种方法可以分成n类. (2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交. (3)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法. N＝m＋n 知识梳理 7 A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 √ 因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 8 (2)某校高三共有三个班，各班人数如表.   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 ①从三个班中选1名学生担任学生会主席，不同的选法有______种； 165 9 从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法. 10 ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同的选法有______种.   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 80 11 从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法. 12 √ 因为双曲线的焦点在x轴上，所以m＞0，n＞0，当m＝1时，n＝1,2,3,4； 当m＝2时，n＝1,2,3,4； 当m＝3时，n＝1,2,3,4； 当m＝4时，n＝1,2,3,4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个). 13 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程. 反思感悟 14 跟踪训练1　(1)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作 数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨 动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不 同整数的个数为 A.8 B.10 C.15 D.16 √ 15 拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类 方法， 由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之 分，则只在一个档拨动两枚算珠共 有4种 方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法， 由分类加法计数原理得共有8种方法， 所以表示不同整数的个数为8. 16 (2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对有 A.4个 B.5个 C.12个 D.15个 √ 当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，共有6种可能；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，共有5种可能； 当x＝3时，y＝0,1,2,3，共有4种可能，利用分类加法计数原理，得共有6＋5＋4＝15(种)可能，故满足条件的不同的有序自然数对有15个. 17 二 分步乘法计数原理 问题2　用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 提示　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码. 19 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 注意点： (1)完成一件事有多个步骤，缺一不可. (2)每一步都有若干种方法. (3)如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. N＝m×n 知识梳理 20 例2　某大学食堂备有6种素菜、5种荤菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为 A.30 B.14 C.33 D.90 √ 因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤， 第1步，素菜有6种选法； 第2步，荤菜有5种选法； 第3步，汤有3种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配成不同套餐的种数为6×5×3＝90. 21 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 反思感悟 22 跟踪训练2　(1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法有 A.43种 B.34种 C.7种 D.12种 √ 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法. 23 (2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成的不同的二次函数共_____个，其中不同的偶函数共_____个. (用数字作答) 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个). 若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个). 18 6 24 三 两个原理的简单应用 例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法. (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 分为三步：第1步，从国画中选1幅，有5种选法；第2步，从油画中选1幅，有2种选法；第3步，从水彩画中选1幅，有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法. (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画， 有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画， 有2×7＝14(种)不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法. (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 反思感悟 29 跟踪训练3　集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标. (1)可以得到多少个不同的点？ 可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点. 30 (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点. 31 1.知识清单： (1)分类加法计数原理. (2)分步乘法计数原理. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为 A.3 B.9 C.24 D.以上都不对 1 2 3 4 √ 根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9. 34 2.现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为 A.30 B.18 C.12 D.13 1 2 3 4 √ 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×10＝30. 3.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 1 2 3 4 √ 分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种). 1 2 3 4 4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是 A.56 B.65 C.30 D.11 √ 第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法， 综上，根据分步乘法计数原理，6名同学共有56种不同的选法. 课时对点练 五 1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有 A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 √ 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有 A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有 A.9种 B.11种 C.13种 D.15种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按照可能脱落的个数分类讨论. 若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况； 若脱落2个，则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况； 若脱落3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种情况； 若脱落4个，则有(1,2,3,4)，共1种情况； 综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)情况. 4.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有 A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入 都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种 行车路线； 同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别 有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.某同学有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半裙，另有2套不同样式的连衣裙.参加学校活动需选择一套服装参加歌舞演出，则该同学不同的穿衣服的方式有 A.24种 B.14种 C.10种 D.9种 其穿衣方式分两类， 第一类，不选连衣裙有4×3＝12(种)方式， 第二类，选连衣裙有2种方式， 由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14(种)不同的穿衣服的方式. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可分三步完成： 第一步，甲、乙选相同的1门共有4种选法； 第二步，甲再选1门有3种选法； 第三步，乙再选1门有2种选法， 由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2＝24(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有_____种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有____种不同的方法. 5 6 对于图1，按要求接通电路， 只要在A中的两个开关或B中 的三个开关中合上一个即可， 故有2＋3＝5(种)不同的方法. 对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关； 第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.用1,2,3这3个数字组成的没有重复数字的整数有_____个. 分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； 第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321， 共6个. ∴组成的没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个). 9.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ 选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5＝120(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432,5 431，5 430，5 421, 5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210，共10个. 由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”. 11.小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 A.27种 B.36种 C.54种 D.81种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法. 12.从标号分别为1,2,3,4的四个红球和标号分别为1,2,3的三个黑球及标号分别为1,2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法共有 A.24种 B.9种 C.10种 D.26种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 从三种不同颜色的球中取出不同颜色的两个小球，共有三类情况： 第一类，红球＋黑球，共有4×3＝12(种)； 第二类，红球＋白球，共有4×2＝8(种)； 第三类，黑球＋白球，共有3×2＝6(种)，故取出不同颜色的两个小球共有12＋8＋6＝26(种)不同的取法. 13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有 A.24种 B.36种 C.42种 D.60种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种). 14.用数字3,6,9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为 A.81 B.48 C.36 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16(个)； ②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32(个)，故共有16＋32＝48(个)四位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径的条数为 A.24 B.18 C.12 D.9 √ 由题意知，E→F有6条最短路径，F→G有3条最短路径， 由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径. 16.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. (1)写出这个数列的前11项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列共有多少项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项). (3)若an＝341，求n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44(项). 所以n＝44＋1＝45. 例1　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于  x轴上的椭圆有 延伸探究　本例(1)条件不变，结论变为“则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线”有 A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 $$