7.1.2 全概率公式-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.1.2　全概率公式 [学习目标]　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班路上拥堵的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式 问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 提示　因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1,2.如图所示． 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2， 利用概率的加法公式和乘法公式， 得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2) ＝P(R1R2)＋P(B1R2) ＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1) ＝×＋×＝. 知识梳理 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解　记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式， 得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝×＋×＝. (2)P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋ P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 跟踪训练1　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 解　如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 二、多个事件的全概率问题 例2　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率． 解　设B＝“飞盘被击落”，Ai＝“飞盘被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B∪A2B∪A3B， 依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1. 设Hi＝“飞盘被第i人击中”，i＝1,2,3， 则P(A1)＝P(H123∪1H23∪12H3)， P(A2)＝P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)， P(A3)＝P(H1H2H3)， 又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞盘被击落的概率为0.458. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 解　用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. *三、贝叶斯公式 知识梳理 *贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 例3　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件． (1)求取到次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01) 解　(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取到的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”． 易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式， 可得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 故取到次品的概率为0.034 5. (2)P(B1|A)＝＝＝≈0.36. 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36. 反思感悟　贝叶斯公式的内涵 (1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重． 跟踪训练3　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 解　设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 P(A1|B)＝ ＝＝0.8. 1.知识清单： (1)全概率公式． (2)贝叶斯公式． 2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面． 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 答案　C 解析　因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　) A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 答案　C 解析　设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1,2， 由题意可得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 所以该产品合格的概率为0.868. 3．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为________． 答案　 解析　设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝. 4．甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________． 答案　 解析　设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2. 则Ω＝B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥． 由全概率公式，得 P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＋×＝. 1．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为(　　) A．0.068 9 B．0.049 C．0.024 8 D．0.02 答案　C 解析　设“验血结果为阳性”为事件B，“是患者”为事件A1，“非患者”为事件A2，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8. 2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．播种一、二、三、四等种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 答案　C 解析　设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”分别为事件A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5. 3．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.028 65 D．0.037 45 答案　D 解析　用事件A，B分别表示“随机选1人为男性或女性”，用事件C表示“此人是色盲”， 则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 故P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝×7%＋×0.49%＝0.037 45. 4．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报名表”，i＝1,2,3， 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， ∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi) ＝×＋×＋×＝. 5．(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设A＝“第1次摸球，摸到红球”，B＝“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝ 答案　AD 解析　P(A)＝＝，A正确； P(B|A)＝＝＝， P(B|)＝＝＝. 由全概率公式可知， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝. 所以B，C错误，D正确． 6.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的占比分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为(　　) A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77 答案　D 解析　由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%， 记事件A1，A2，A3分别表示“选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1， 又三种产品中绑带式口罩的占比分别为90%,50%,40%， 记事件B表示“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4， 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77. 7．学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是________． 答案　 解析　设A1＝“早餐在a餐厅用餐”，B1＝“早餐在b餐厅用餐”，A2＝“午餐在a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1， 根据题意得P(A1)＝，P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝. 8．已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为________． 答案　 解析　设A＝“小明步行上学”，B＝“小明骑自行车上学”，C＝“小明迟到”， 由已知得P(A)＝0.6，P(B)＝0.4， P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.02， 由全概率公式可知P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.6×0.05＋0.4×0.02＝0.038， 利用条件概率可得P(B|C)＝＝＝＝， 即小明今天骑自行车上学的概率为. 9．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔． (1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率； (2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率； (3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率． 解　(1)设事件A＝“2个盲盒中都是钢笔”，事件B＝“2个盲盒中都是圆珠笔”，则A与B为互斥事件， 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝， 所以2个盲盒为同一种笔的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)设事件Ai＝“第i次取到的是钢笔盲盒”，i＝1,2. 因为P(A1)＝＝，P(A2|A1)＝＝， 所以P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝， 即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为. (3)设事件Bi＝“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i＝1,2. 因为P(B1)＝＝，P(B2|B1)＝＝， P(B2|A1)＝＝， 所以由全概率公式可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)＝P(B1)P(B2|B1)＋P(A1)·P(B2|A1) ＝×＋×＝. 10．玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回．求顾客买下该箱玻璃杯的概率． 解　设Ai＝“该箱玻璃杯有i个次品”(i＝0,1,2)，B＝“顾客买下该箱玻璃杯”， 则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥， 由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1， P(A2)＝0.1， P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝. ∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝. 11．(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的有(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 答案　BCD 解析　由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确； D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 所以P(A|B)＝＝ ＝， 故D正确． 12．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，那么称试验成功，则试验成功的概率为(　　) A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64 答案　A 解析　设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的是红球”， 则P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝， P(R|B)＝， 故P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝×＋×＝0.59. 13．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件B， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，则x的最大值为6. 14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为________． 答案　 解析　设“学生选1道A类试题”为事件A，“学生选1道B类试题”为事件B，“学生选1道C类试题”为事件C，“学生答对试题”为事件D， 则P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝，P(D|A)＝， P(D|B)＝，P(D|C)＝， 所以P(D)＝×＋×＋×＝， 所以P(B|D)＝＝＝. 15．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝AB∪B，由全概率公式知P(B)＝P(A)(B|A)＋P()P(B|)， 由题意P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 所以P(B)＝＋ ＝. 16．如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 解　 设事件Bi＝“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A＝“取得红球”． 显然有P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝1， 由全概率公式，可得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝， 再由贝叶斯公式知， P(B1|A)＝＝， P(B2|A)＝＝， P(B3|A)＝＝， 因此，该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$