7.1.1 第1课时 条件概率-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.1.1　条件概率 第1课时　条件概率 [学习目标]　1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 导语 集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是： 袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案： (1)若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱； (2)在第一次取到黑球的条件下，若第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱． 你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？ 一、条件概率的理解 问题　抛掷一枚质地均匀的硬币两次． (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)如果已知有一次出现正面向上，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示　(1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝{正正}，故P(B)＝. (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反，反正}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝{正正，正反}，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为.在事件C发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化． 知识梳理 1．条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．计算公式：(1)事件个数法：P(B|A)＝. (2)定义法：P(B|A)＝. 注意点： A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝ P(B)． 例1　判断下列几种概率哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率． (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率． (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 解　由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是． 反思感悟　判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 跟踪训练1　下面几种概率是条件概率的是(　　) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案　B 解析　由条件概率的定义知B为条件概率． 二、利用定义求条件概率 例2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝. 延伸探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. P(A)＝，P(AC)＝＝， ∴P(C|A)＝＝. 反思感悟　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 跟踪训练2　(1)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为________． 答案　0.08 解析　设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.02，P(B|A)＝＝＝0.08. (2)在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________． 答案　 解析　设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”， 则P(A)＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 三、缩小样本空间求条件概率 例3　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 延伸探究　1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率． 解　在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 2．若甲先取(放回)，乙后取，设事件A＝“甲抽到的数大于4”，事件B＝“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)． 解　甲抽到的数大于4的样本点有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5,2)，(6,1)，共2个，所以P(B|A)＝＝. 反思感悟　利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 跟踪训练3　(1)在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的条件下，第二次取到“r”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在第一次取到“a”的条件下，还剩余9个字母，其中“r”有4个，故所求概率为. (2)袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设1个红色球为a，2个蓝色球为b，c，2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个， 其中“另一个是红色球或黑色球”有6个， 所以所求概率为. 1．知识清单： (1)条件概率的理解． (2)利用定义求条件概率． (3)缩小样本空间求条件概率． 2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法． 3．常见误区：分不清在“谁的条件”下，求“谁的概率”． 1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，故n(M)＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)，故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝. 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 答案　A 解析　设某天的空气质量为优良为事件A，随后一天的空气质量为优良为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所以P(B|A)＝＝＝0.8. 3．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 由条件概率公式可得P(B|A)＝＝. 4．一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为________． 答案　 解析　取出2个球，记事件A＝“其中一个球是白球”， 则P(A)＝＝， 取出2个球，记事件B＝“另一个球也是白球”， 则P(AB)＝＝＝， 由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝， 所以已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为. 1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由条件概率的计算公式，可得 P(A|B)＝＝＝. 2．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周一至周五还剩余4天，张老师周三也参加课后延时服务的概率P＝. 3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　C 解析　P(A|B)＝＝＝， P(B|A)＝＝＝. 4．在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1,2,3,4,5,6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设事件A为第一次抽到卡片中奖，事件B为第二次抽到卡片中奖，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝. 5．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在2个路口是否遇到红灯的统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第1个路口遇到红灯的概率是，连续2个路口遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为P(B|A)＝＝＝. 6．从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共含10个样本点， 若这三个数之积为偶数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9个样本点， 它们之和大于8有(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共5个样本点， 所以从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P＝. 7．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________． 答案　 解析　设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”． 依题意有P(A)＝0.9，P(B)＝P(AB)＝0.6， 则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为P(B|A)＝＝＝＝. 8．在10张百元纸币中混有3张假币，从中任意抽取2张，将其中1张在验钞机上检验发现是假币，则这2张都是假币的概率是________． 答案　 解析　设事件A表示“抽到的2张中至少有1张是假币”，事件B表示“抽到的2张都是假币”， 故所求概率为P(B|A)，又P(AB)＝P(B)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. 9．某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄(岁)在[20,70]内的顾客中随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段(岁) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 单次购物金额满188元的人数 8 15 23 15 9 单次购物金额不满188元的人数 2 3 5 9 11 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动．若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？ (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，在第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元的条件下，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率． 解　(1)由表可知，单次购物金额满188元的有8＋15＋23＋15＋9＝70(人)， 所以单次购物金额满188元的频率为＝， 所以5 000人中，单次购物金额满188元的大约有5 000×＝3 500(人)， 故预计需准备3 500个环保购物袋． (2)记事件A表示“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”， 事件B表示“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝， 故所求概率为. 10．某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下，求女生乙被选中的概率． 解　(1)从7名成员中挑选2名成员，共有C＝21(种)情况， 记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为C＝6， 故P(A)＝＝. (2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B， 则P(AB)＝， 由(1)知P(A)＝， 故P(B|A)＝＝＝. (3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C，事件C所包含的样本点数为C×C＝12， 则P(C)＝＝， “女生乙被选中”为事件B，则P(BC)＝＝， 故P(B|C)＝＝＝. 11．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，事件A表示“至少抽到1本数学书”，事件B表示“抽到语文书和数学书”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得n(A)＝C－C＝20－1＝19， n(AB)＝CC＋CC＝18， 由条件概率的公式得P(B|A)＝＝. 12．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得P(A)＝， 事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”， 若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况； 若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况， 故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点， 则P(AB)＝＝， 由条件概率的定义，得P(B|A)＝＝. 13．甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同”，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有33＝27(种)，三人报考的大学均不相同的报考方法有A＝6(种)，故P(AB)＝＝， 甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有CCC＝12(种)，故P(B)＝＝， 所以P(A|B)＝＝＝. 14.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和A1正常工作的概率是________． 答案　 解析　设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1或A2能正常工作的概率为1－×＝，所以P(A)＝×＝， 又因为P(AB)＝P(B)＝××＝， 所以P(B|A)＝＝. 15．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设“此人在春季里患鼻炎”为事件A，“此人在春季里患感冒”为事件B， 则P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝1－＝， 由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)， 可得P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝＋－＝，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为P(B|A)＝＝＝. 16．盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？ 考察下面的解法： 从三张卡片中任意抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是. 好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是.所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是.这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是. 肯定什么地方出错了． 请问：上述解法中，哪里出现错误呢？ 解　没有考虑到已经抽出并展示出抽出的这张的一面为红色或黑色，即题目属于条件概率，我们以抽出的这张展示的一面是红色为例，正确的方法是：设抽出的这张展示的一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB，因为P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率可得P(B|A)＝＝，当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此，概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$