6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 [学习目标]　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用． 导语 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右． 一、二项式系数的性质 知识梳理 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. 2．增减性与最大值： (1)若n为奇数，当k≤时，C<C，此时递增，当k≥时，C>C，此时递减；若n为偶数，当k≤时，C<C，此时递增；当k≥时，C>C，此时递减． (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 例1　已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解　(1)依题意得，C＝C，解得n＝8. (2)因为n＝8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为Cx4(－2)4＝1 120x4. 反思感悟　通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a＋b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题． 跟踪训练1　(1)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为(　　) A．80 B．40 C．－40 D．－80 答案　A 解析　由题意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCx5－k， 由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为(－1)2×C×23＝80. (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 答案　C 解析　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22. 二、各二项式系数的和 问题　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 提示　C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 知识梳理 1．C＋C＋…＋C＝2n. 2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 例2　(1)8的展开式中所有二项式系数的和是________；展开式中所有偶数项的二项式系数和是________．(用数字作答) 答案　256　128 解析　8的展开式中所有二项式系数的和是28＝256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27＝128. (2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m＝________. 答案　2 解析　由题意得，2n＝64，解得n＝6，而(x－my)6的通项公式为Cx6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为C(－m)3＝－160，解得m＝2. 反思感悟　(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 跟踪训练2　已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．512 B．210 C．211 D．212 答案　A 解析　∵(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∴C＝C，解得n＝10，各二项式系数之和为210， ∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等， ∴(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512. 三、二项展开式的各项系数的和 例3　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解　(1)令x＝0，得a0＝－1. 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384. 反思感悟　求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 跟踪训练3　设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)． (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值． 解　(1)在(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1. (2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2. (3)分别令x＝－1，x＝1， 得 ②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)． ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝. 1．知识清单： (1)二项式系数的性质． (2)各二项式系数的和． (3)二项展开式的各项系数的和． 2．方法归纳：赋值法． 3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数． 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 答案　B 解析　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件． 2.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6,7项 D．第5,7项 答案　C 解析　11的展开式中第＋1项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大． 3．若n的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是(　　) A．240 B．－240 C．160 D．－160 答案　A 解析　由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n＝64，所以n＝6，6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－kk＝(－1)kC26－kx6－3k，令6－3k＝0，则k＝2，则常数项为T3＝(－1)2C24＝240. 4．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________． 答案　129 解析　令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128， 又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7， 则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7， 解得a7＝－1. 故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129. 1．已知n的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A．212 B．312 C．310 D．210 答案　C 解析　因为n的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，令x＝1，得所有项的系数之和为310. 2．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案　A 解析　(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n＝210，解得n＝5. 3．(多选)已知n展开式中各项的系数之和为－512，则该展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 答案　BC 解析　令x＝1，得各项的系数之和为n＝(－2)n＝－512，解得n＝9，即n＝9，所以该展开式中二项式系数最大为C和C，故二项式系数最大的项是第5项和第6项． 4．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 答案　C 解析　由题意知2n＝32，即n＝5，在二项展开式的通项Tk＋1＝C()5－kk＝中，令15－5k＝0，得k＝3. 所以Ca3＝80，解得a＝2. 5．已知n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案　B 解析　n的展开式的通项为Tk＋1＝C()n－k·k＝C·2k·， 第3项为T3＝C·22·，其系数为C·22， 倒数第3项为Tn－1＝C·2n－2·，其系数为C·2n－2， 由题意得，＝24－n＝＝2－2，所以n＝6， 所以展开式中二项式系数最大的项为第4项． 6．(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋a5＝588 B．a1＋a2＋…＋a7＝1 C．a1＋a3＋a5＋a7＝ D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1 答案　ACD 解析　因为(2x－1)7展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x)7－k(－1)k＝C(－1)k27－kx7－k， 又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7， 所以a2＝C(－1)527－5＝－84， a5＝C(－1)227－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确； 令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1， 令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1； 令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37， 故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错误； a1＋a3＋a5＋a7＝－＝，故C正确； |a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正确． 7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 答案　10 解析　令x＝1，得2n＝32，故n＝5. Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k， 令10－5k＝0，得k＝2. 故展开式中的常数项为T3＝C＝10. 8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________. 答案　－ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1；令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 9．在二项式n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为－1∶14，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和； (2)二项展开式中的各项的系数之和． 解　二项式n的展开式的通项为 Tk＋1＝C()n－kk＝ ∵C(－2)3∶C(－2)6＝－1∶14，∴n＝10. (1)C＋C＋…＋C＝210＝1 024. (2)令x＝1，得各项系数之和为(－1)10＝1. 10．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|. 解　(1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1， 令x＝0，得(0－3)4＝a0＝81， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝1－81＝－80. (2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. (3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a0 ＝625－81＝544. 11．若(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 答案　D 解析　(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023， 令x＝0，得a0＝1， 令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0， 所以＋＋…＋＝－1. 12．(多选)若n的二项展开式共有8项，则该二项展开式中(　　) A．各项二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为－64 C．有理项共有4项 D．第4项与第5项的系数相等且最大 答案　AC 解析　因为n的二项展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128，故A正确；7的展开式的通项为Tk＋1＝，故项数为奇数的各项系数和为C＋C＋C＋C＝64，故B错误；根据Tk＋1＝，当k取0,2,4,6时，Tk＋1＝为有理项，共有4项，故C正确；T4＝，T5＝Cx，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误． 13．已知(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3)．若a1＋a2＋a3＋…＋an＝134，则a3＝________. 答案　36 解析　对于(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3)， 令x＝0，得a0＝2； 令x＝1，得(1＋1)3＋(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋134， 即2n＝128，n＝7，故a3＝C×10＋C×14＝36. 14．已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________. 答案　255 解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知，B－A＝38. 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…) ＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n. ∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数的性质，可得 C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255. 15．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个递增数列，则k的最大值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．5 答案　A 解析　由二项式定理，知ak＝C(k＝1,2,3，…，11)，因为(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6. 16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角． (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数． 试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明． 解　(1)C＝1 140. (2)C＋C＋…＋C＝C. 证明如下： 左边＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝…＝C＋C＝C＝右边． 学科网（北京）股份有限公司 $$