6.2.1～6.2.2 第1课时 排列与排列数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.1　排　列 6.2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 [学习目标]　1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.2.掌握排列数公式并会应用． 导语 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，我们需要准备6种不同的机票，如图所示． 一、排列概念的理解 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示　 如图所示，共有6种不同的选法． 知识梳理 1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同；(2)元素的排列顺序也相同． 注意点： (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同． 例1　(多选)下列问题是排列问题的是(　　) A．北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同) B．选2个小组分别去植树和种菜 C．选10人组成一个学习小组 D．选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员 答案　BD 解析　三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题；C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题；每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题． 反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 跟踪训练1　下列问题是排列问题的是(　　) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 答案　B 解析　对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C,5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误． 二、排列数公式 问题2　怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列数A？ 提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法； 第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法； … 第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示． 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法． 知识梳理 1. 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 A 排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 备注 n，m∈N*，m≤n 2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n！. 规定：0！＝1. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n－m＋1. 例2　计算： (1)； (2)解方程：A＝140A. 解　(1) ＝ ＝＝＝. (2)因为所以x≥3，x∈N*. 由A＝140A得 (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)． 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝(舍去)． 所以原方程的解为x＝3. 反思感悟　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 跟踪训练2　(1)不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 答案　D 解析　由A<6A，得<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又所以2<x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. (2)计算：＝________. 答案　－ 解析　＝＝＝－＝－. 三、排列数公式的简单应用 例3　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解　方法一　分两步完成： (1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有A种方法． (2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位，个位，有A种方法． 由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为AA＝9×9×8＝648. 方法二　符合条件的三位数可以分三类： (1)每一位数字都不是0的三位数有A个； (2)个位数字是0的三位数有A个； (3)十位数字是0的三位数有A个． 由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为A＋A＋A＝648. 方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数， 即A－A＝648. 反思感悟　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论再计算． 跟踪训练3　已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有(　　) A．A种 B．A种 C．AA种 D．2A种 答案　C 解析　司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法． 1．知识清单： (1)排列、排列数的定义． (2)排列的简单应用． (3)排列数公式的应用． 2．方法归纳：树状图法． 3．常见误区：忽视A中“m，n∈N*”这个条件． 1．(多选)下列问题中是排列问题的是(　　) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C．从a，b，c，d中选出3个字母 D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 答案　AD 解析　由排列的定义知AD是排列问题． 2．A－A的值是(　　) A．480 B．520 C．600 D．1 320 答案　C 解析　A＝12×11×10＝1 320， A＝10×9×8＝720， 故A－A＝1 320－720＝600. 3．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为(　　) A．3 B．24 C．34 D．43 答案　B 解析　3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 答案　36 解析　文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法. 1．下面问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 答案　A 解析　对于A，由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C,从100人中选2人抽样调查，与顺序无关，不是排列问题； 对于D,从1,2,3,4,5中选2个数组成集合，与顺序无关，不是排列问题． 2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于(　　) A．A B．A C．A D．A 答案　D 解析　A＝＝(27－a)(28－a)·…·(34－a)． 3．将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有(　　) A．2种 B．4种 C．6种 D．9种 答案　B 解析　《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有2×1＋2×1＝4(种)． 4．某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种数为(　　) A．12 B．18 C．24 D．144 答案　C 解析　由题意知，值班当天不同的排班种数为A＝24. 5．已知3A＝4A，则x等于(　　) A．6 B．13 C．6或13 D．12 答案　A 解析　由题意得0<x≤8且0<x－1≤9，所以1<x≤8，因为3A＝4A，所以＝，整理得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13(舍去). 6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 答案　C 解析　lg a－lg b＝lg ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故其可得到18种结果． 7．从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________________________________． 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　画出树状图如图． 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 8．若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有________种． 答案　23 解析　因为“p，e，a，r”四个字母组成的全排列共有A＝4×3×2×1＝24(种)，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24－1＝23(种)． 9．(1)解不等式：3A≤2A＋6A； (2)求证：A＝AA. (1)解　由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为A＝x(x－1)(x－2)，A＝(x＋1)x，A＝x(x－1)， 所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，整理得(3x－2)(x－5)≤0， 所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3,4,5}． (2)证明　左边＝A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！， 右边＝AA＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)×(n－m)×…×2×1＝n！， 所以A＝AA. 10．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B)． (1)该铁路的客运车票有多少种？ (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值． 解　(1)铁路的客运车票有A＝8×7＝56(种)． (2)在新增了n个车站后，共有(n＋8)个车站，因为客运车票增加了54种，则A－56＝54， 所以A＝(n＋8)(n＋7)＝110，解得n＝3. 11．(多选)下列等式正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A B．A＝ C.＝(n－2)! D.A＝A 答案　ACD 解析　对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝A，A正确； 对于B，A＝＝，B错误； 对于C，＝＝(n－2)！，C正确； 对于D，A＝·＝＝A，D正确． 12．将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 答案　B 解析　志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有A种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3A＝18(种)． 13．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 答案　C 解析　由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有A个； 第二类，十位数字取6，有A个； 第三类，十位数字取5，有A个； 第四类，十位数字取4，有A个． 所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40. 14．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则可以表示不同的信号共________有种． 答案　15 解析　分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种； 第2类，用2面旗表示的信号有A种； 第3类，用3面旗表示的信号有A种， 由分类加法计数原理，所求的信号种数为 A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 即一共可以表示15种不同的信号． 15．由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数． (1)若x＝9，则其中能被3整除的共有________个； (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝________. 答案　(1)12　(2)7 解析　(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成， 所以共有2×A＝12(个)． (2)显然x≠0，因为1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A·A次， 所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)·A·A， 即(1＋2＋4＋x)·A·A＝252， 所以7＋x＝14，解得x＝7. 16．用数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为多少？ 解　用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为5A＝600. 以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为A＝120， 由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个， 所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600－120－1＝479. 学科网（北京）股份有限公司 $$