6.2.2排列教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学第六章《计数原理》 6.2.2排列数教学设计 1、 教学目标 1. 知识与技能 能在排列基础上给出排列数的定义与表示，并能区别排列与排列数。 2. 过程与方法 能通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。 3. 情感态度与价值观 通过合作探究，增强数学交流与问题分析能力。 2、 教学重难点 重点：排列的定义与排列数公式的推导及应用。 难点：有条件排列问题的分析与解决（如捆绑法、插空法）。 3、 教学过程 1. 复习旧知 排列的定义： “从n 个不同元素中取出  m 个元素（ m ＞ n ），按照一定顺序排成一列，叫做n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 **关键词强调**： ① 元素互异； ② 顺序不同则为不同排列。 2：问题导入 问题1：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 答:3×2=6 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 答：4×3×2=24 在问题1，问题2中，我们是根据计数原理和列举数的方式得到排列的个数，但随着元素个数的增加，这样方法就越来越繁琐了，是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？ 3：新课讲授 在上述问题中，我们把几个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数，叫做“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”记作“” - 排列数与排列的区分： - 排列：具体的排列方式（如ABC、ACB等） - 排列数：所有不同排列的个数 - 符号规范：或 P(n,m) 4.公式探究（15分钟） 特殊到一般推导： 问题1：是从求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为A 答：A=3×2=6 问题2：是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，求出为A 答：A=4×3×2=24 探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数A（m≤n)是多少？ ①A→从n个不同元素中取2个去排列 A=n(n-1) ②A=n(n-1)(n-2) ③A=n(n-1)(n-2)..............(n-m+1) 从而归纳出排列数公式A=n(n-1)(n-2)..............(n-m+1) 推出排列数公式： 这里，m,n∈N_+，并且m≤n，这个公式叫做排列数公式 A=n(n-1)(n-2)..............(n-m+1) 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。 这时，排列数公式中m=n，即有 A=n×(n-1)×(n-2)..............×3×2×1 也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成 A=n! 另外，我们规定，0！=1 5.应用与辨析（20分钟） - **例题精讲**： **例1**： 计算 （1）A （2）A （3） （4）A×A （学生板演，教师点评步骤）。 **阶乘形式推导**： A=n(n-1)(n-2)..............(n-m+1) = = = （解释分母消除多余乘积） 因此，排列数公式还可以写成 A= 例2：某城市8个景点中选4个排列成一日游路线，有多少种排法？答案：A = 8×7×6=1680 。 例3 在0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 答案：A×A=9×9×8=648 - **有条件排列问题**： - 类型1：固定位置 例题3：7人排队，甲必须站在第3位，共有多少种排法？ - 解法：固定甲 → 剩余6人全排列 → 1 × 6! = 720 - 类型2：相邻问题（捆绑法） 例题4：3对兄妹站成一排，每对兄妹必须相邻，共有多少种排法？ - 解法：每对视为1个整体 → 3个整体排列 → 每对内部排列 → 3! ×2 = 48 - 类型3：不相邻问题（插空法） 例题5：4名男生和3名女生站成一排，女生互不相邻，求排法数。 - 解法：先排男生 → 在男生之间及两端的5个空位中插入女生 → 4! ×A = 1440 3. 课堂小结 知识框架： 排列概念 → 排列数公式 → 应用 核心：顺序性 → 推导：分步乘法 → 形式：连乘/阶乘 思想方法：数学建模（实际问题→排列模型）、分步计数原理。 4、 作业设计 基础题： 1. 计算 A 和 A。 2. 从7种不同颜色的彩灯中选3种排列装饰窗户，有多少种方法？ - **应用题**： 从6名学生中选4人参加4×100米接力，其中甲不能跑第一棒，共有多少种安排方式？ 5、 教学反思 亮点：通过生活实例自然生成概念，降低抽象性；分步推导公式，强化逻辑链条。 改进点：增加动态课件展示阶乘消除过程，辅助公式理解；下节课需提前铺垫限制条件排列（如“不在首位”“相邻问题”）。 板书设计 6.2 排列数 1. 定义：选元素，排顺序 → 不同顺序为不同排列 2. 公式推导： A=n(n-1)(n-2)..............(n-m+1) 3. 应用： - 固定位置：直接定元，剩余全排 - 相邻问题：捆绑法（整体+内部排列） - 不相邻问题：插空法（先排后插） 例：A(5,3)=5×4×3=60 练习：A(7,2)=42 通过具体→抽象→应用的螺旋式教学，帮助学生牢固掌握排列的核心概念与公式，为后续组合与复杂计数问题奠定基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$