6.3.1二项式定理【5个题型归纳】-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.3.1二项式定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：二项式定理的正用与逆用】 知识讲解 二项式定理 对于任意正整数，有，其中，。 正用 题型特点：当题目给出的形式，要求展开并化简时，直接运用二项式定理进行展开。 解题步骤： 确定、和的值。 根据二项式定理，依次计算各项的系数，以及对应的和的幂次。 将各项相加，得到展开式。 示例：展开。 这里，，。 根据二项式定理展开可得： 逆用 题型特点：当题目给出形如的式子，要求化简或求值时，考虑逆用二项式定理。 解题步骤： 观察式子的形式，判断是否符合二项式展开式的形式。 确定、和的值，将式子转化为的形式。 对进行化简或求值。 示例：化简。 观察发现该式子符合二项式展开式的形式，其中，，。 逆用二项式定理可得：原式。 例题精选 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 2．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果. 【详解】设， 两边求导数，， 令，得， 取，得. 故选：D. 二、解答题 3．（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 4．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 相似练习 5．（23-24高二下阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果； （2）根据二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 6．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． 7．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）先利用立方差公式化简式子，再利用二项展开即可得解； （2）将看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解. 【详解】（1） . （2）原式 . 8．（21-22高二·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】根据式子结构，逆用二项式定理即可求解. 【详解】∵，，， ∴原式 ． 9．（20-21高二·江苏·课后作业）已知． (1)写出的展开式； (2)化简． 【答案】(1)答案见详解 (2)1. 【分析】(1) 二项式定理的正向运用，直接套公式即可. (2) 逆向使用二项式定理，将展开进行合并,即可得到答案. 【详解】（1）因为则所以 （2）二项式定理逆向使用，将展开进行合并， 原式= 故答案为：答案见详解；1. 【题型二：二项展开式的通项公式】 知识讲解 二项式展开式的通项公式为（）。 含义：表示二项式展开式的第项。通过通项公式，可以方便地求出展开式中任意一项的系数和该项的具体形式。 示例：在的展开式中，若求第项，此时，（因为是第项，所以，即）。 根据通项公式可得： 例题精选 1．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项可得结果. 【详解】∵展开式中的通项为， ∴第4项是. 故答案为：. 相似练习 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为的展开式的通项公式， 令，则， 所以展开式的第8项是 . 故答案为: . 4．（24-25高三上·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为 . 【答案】15 【分析】根据二项展开式通项公式代入计算即可. 【详解】展开式通项为， . 故答案为：15. 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 【答案】 【分析】根据通项公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为： 【题型三：求二项展开式的特定项】 知识讲解 求二项展开式的特定项，通常可以按照以下思路进行求解： 1. 确定二项式的形式：明确给定的二项式中、和的值。 2. 写出通项公式：根据二项式定理，其展开式的通项公式为（）。 3. 根据特定项的要求列方程求解： 求常数项：令通项公式中与的指数都为，即，解出的值，再代入通项公式求出常数项。 求有理项：若、中含有根式，要使展开式中的项为有理项，则与的指数都应为整数。根据这一条件确定的取值，进而求出有理项。 求指定幂次的项：例如求的项，令通项公式中与经过运算后的幂次等于，解出，再代入通项公式求出该项。 求中间项：当为偶数时，中间项为第项；当为奇数时，中间项为第项和第项。将对应的值代入通项公式求出中间项。 求系数最大或最小项： 当二项式的幂指数较小（如）时，可直接根据二项式系数的性质，通过观察或比较各项系数的大小来确定。 当较大时，设第项的系数最大（或最小），则可列出不等式组（求系数最大项）或（求系数最小项），解出的取值范围，进而确定系数最大或最小项。 4. 计算特定项：将求出的值代入通项公式，计算出特定项的系数和该项的具体形式。 例题精选 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 【答案】C 【分析】利用展开式的通项可得答案. 【详解】的通项为， 且。 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：C. 2．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）的展开式中常数项为第（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二项展开式的公式求解即可. 【详解】的通项为，令有. 故的展开式中常数项为第5项. 故选：B 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）对于二项式，四位同学作出了四种判断： ①在展开式中没有常数项；        ②在展开式中存在常数项； ③在展开式中没有x的一次项；    ④在展开式中存在的一次项 上述判断中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据展开式的通项公式即可作出判断. 【详解】根据二项式定理得 因为，所以为，故在展开式中没有常数项，①正确、②错误； 当时，展开式中的x为一次项，③错误，④正确. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在二项式的展开式中常数项是 ；的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理写出二项展开式的通项公式，令的次数为，即可求得常数项；令的次数为，即可得的系数. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ， 令，得， 所以二项式的展开式中常数项为： ， 令，得， 所以二项式的展开式中的系数为： ， 故答案为：①，②. 相似练习 5．（2023·陕西西安·模拟预测）二项式的展开式中含x的正整数指幂的项数是 . 【答案】5 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解. 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 当时，x次数是正整数指幂， 所以二项式的展开式中含x的正整数指幂的项数是5， 故答案为：5 6．（2023·广东广州·模拟预测）若，且，若的展开式中存在常数项，则该常数项为 . 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式及常数项的特点即可求解. 【详解】由题意可知，的展开式中的通项公式为. 令，解得， 又因为，且， 所以, 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 7．（2023·广东广州·二模）已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为 . 【答案】3（答案不唯一） 【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出与的关系,可得的值. 【详解】二项式的展开式的通项为 ， 因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解， 即，可得n的一个值为3. 故答案为：3（答案不唯一） 三、解答题 8．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出二项式的展开式的通项公式，代入可得结论； （2）结合通项公式确定含项的项数，再求结论. 【详解】（1）的通项公式为， 第六项系数即时对应项的系数，其值为； （2），，含的项为． 9．（22-23高二下·河南洛阳·期末）在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中的第7项． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意得到，再解方程即可； （2）根据二项式的通项求解即可. 【详解】（1）第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，即构成等差数列. 所以，即，且，. 整理，得，解得或（舍去）. （2）， 令，则， 故展开式中的第7项为. 10．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求的值； (2)求的展开式的中间两项. 【答案】(1)7 (2)， 【分析】（1）写出对应项的系数列方程求解即可； （2）利用二项式定理即可. 【详解】（1）展开式的通项为， 展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为， ，即，. （2）由（1）可知，， 的展开式的通项为. 二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项， ， . 的展开式的中间两项分别为，. 【题型四：多项式相乘的二项展开式】 知识讲解 多项式与二项式相乘时，除了运用乘法分配律展开式子和合并同类项外，还可以结合二项式的通项公式来求解一些特定项的系数等问题。以下是具体的解题思路： 1. 运用乘法分配律展开式子： 将多项式的每一项分别与二项式相乘。例如，对于，先将其展开为。 2. 利用二项式通项公式展开二项式部分： 二项式的通项公式为（）。 对于，将按照通项公式展开得到。同理，展开为，展开为。 所以。 3. 合并同类项并求解特定问题： 观察展开后的式子，将同类项进行合并。 如果要求展开式中某一项的系数，例如求（）这一项的系数，就需要分别在，，中找到使得，，然后将对应的，，相加，得到项的系数为。 例题精选 1．（2023·浙江·三模）的展开式中常数项为（    ） A．280 B． C．160 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，求出k，即可求得答案. 【详解】的展开式中通项为, 所以要使展开式中出现常数项，需或， 当时，；当时，（舍去）， 所以常数项为， 故选：A． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为， 故选：A. 3．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 二、填空题 4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）的展开式中含项的系数为 . 【答案】 【分析】分项求解，当第一个因式取时，第二个因式取含的项；第一个因式取时，第二个因式取含的项，进而得解. 【详解】的展开式通项， 令，得；令，得， 故的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 相似练习 5．（22-23高三上·云南德宏·期末）二项式的常数项为 ． 【答案】 【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 而， 令，得；令，得，舍去. 所以的展开式中的常数项为． 故答案为： 6．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）的展开式中的常数项为 .（请用数字作答） 【答案】10 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项， 为了得到常数项，与相乘的项需满足，即， 与1相乘的项需满足，即， 因此常数项为. 故答案为：10 7．（23-24高三下·北京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】 【分析】利用组合方法分别求出展开式中含项，合并同类项即可得解. 【详解】由组合知识知，展开式中含的项为， 的展开式中含的项为， 合并同类项可得，即含项的系数为. 故答案为： 8．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知展开式中常数项为280，则 . 【答案】7 【分析】根据二项式定理 展开式的通项公式，， 再对n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值. 【详解】展开式的通项公式为，，， ①当n为偶数时，则为偶数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，此时方程无解； ②当n为奇数时，则为奇数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，解得，； 所以. 故答案为：. 9．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项等于 . 【答案】280 【分析】对于一个多项式与一个二项式相乘的展开式的项的问题，一般先考虑二项式展开式的通项，根据通项的特征，搭配多项式中的各项按要求进行组合，找到所有符合题意的项即得. 【详解】因展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：280. 【题型五：三项展开式的系数问题】 知识讲解 转化为二项式法 解题思路：将三项式转化为的形式，然后利用二项式定理展开。先将按二项式定理展开为，再对使用二项式定理展开，得到，所以。通过确定、、的指数来确定和的值，进而计算出系数。 注意事项：一是注意展开顺序，先对展开，再对展开，明确每步展开的通项公式和指数变化规律。二是准确计算组合数，运用组合数公式时，注意阶乘计算，可通过约分简化，同时灵活运用组合数性质。 组合分析法 解题思路：从组合角度考虑，展开式中（）的系数就是从个中选个，个，个的组合数，即。 注意事项：一方面要正确确定指数，确保、、是、、的正确指数且满足，仔细分析给定项的次数以准确确定其值。另一方面要理解组合意义，从组合角度合理分析问题，遇到多个相同项系数计算时，可通过组合原理找规律。 例题精选 1．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解. 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 2．（24-25高三上·湖南常德·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 【答案】A 【分析】利用二项式定理将看作展开，然后找到含，，的项即可求解. 【详解】 根据二项式定理，则. 当时，的展开式中不含，，的项. 当时，， 这部分含，，的项系数分别为，，. 将含，，的项系数相加，即. 则的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 【答案】B 【分析】法一：，利用展开式的通项公式可求常数项. 法二：利用分步计数原理直接由的展开式计算常数项即可. 【详解】法一：由， 二项展开式的第项为， 令，可得，所以常数项为. 法二：由的展开式可知， 常数项为. 故选：B. 相似练习 4．（24-25高二下·全国·课后作业）（）的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】根据条件得二项展开式的通项公式为，利用通项公式，即可求解. 【详解】因为（），可化为， 其二项展开式的通项公式为， 令，得，故展开式中的常数项为， 故答案为：. 5．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】30 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 6．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】将视为一个整体，利用二项式定理求的展开式，再结合二项式定理确定展开式中各项的展开式中的常数项，由此可得结论. 【详解】 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 【题型六：用二项式定理证明恒等式】 知识讲解 分析恒等式两边的形式 观察等式两边的式子，判断哪一边可以直接用二项式定理展开，或者通过适当变形后可以用二项式定理展开。例如，对于形如的式子，可直接根据二项式定理展开为。 对于一些复杂的式子，可能需要先进行变形，使其符合二项式的形式。比如，，可以分别将和按二项式定理展开，再进行后续的分析和计算。 利用二项式定理展开 根据二项式定理，将选定的式子展开。在展开过程中，要注意各项的系数的计算以及指数的变化规律。 展开后，对各项进行整理和化简，可能会涉及到合并同类项、提取公因式等操作，以便更好地观察式子的特点和规律。 比较等式两边 将展开并化简后的式子与等式另一边进行比较。可以从项数、各项的系数、字母的次数等方面进行逐一对比。 若等式两边的形式不完全相同，可能需要进一步对展开式进行变形或推导。例如，通过对展开式中的某些项进行重新组合、利用组合数的性质进行化简等，使展开式逐渐向等式另一边的形式靠拢。 例题精选 1．（2024高三·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合二项式的展开式，结合和，即可得证. 【详解】由二项式， 令，可得， 因为，可得， 所以，即. 2．（2024高三·全国·专题练习）求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】因为，分别求出左右边展开式中的系数，即可证明. 【详解】证明：∵ ． 比较项的系数，右边展开式中的的系数显然是 ， 左边 ， 由多项式的乘法知的系数是： ， 由两边的系数相等，可得： ． 3．（24-25高三·上海·随堂练习）求证：（且）能被31整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用等比数列求和公式和二项式定理化简得到，证明出结论. 【详解】因为 ， 显然为整数，所以原式能被31整除． 相似练习 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【分析】（1）将转化为，然后根据二项式展开式求得正确答案. （2）将转化为然后利用二项式展开式求得正确答案. 【详解】（1） ， 除以15的余数为4. （2）证明： ， 原式能被96整除. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）利用二项式定理证明：是8的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】根据结合二项式定理计算即可. 【详解】 ， 因为都是8的倍数， 所以是8的倍数， 所以是8的倍数． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）利用二项式定理，求被8除所得的余数. 【答案】7 【分析】，利用二项式定理展开即可求得余数. 【详解】 ， 所以被8除所得的余数是7. 7．（2023高三·全国·专题练习）已知，解关于的不等式：. 【答案】 【分析】运用二项式定理，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以 因此原不等式化为， 而函数在上单调递增，又，则， 所以原不等式的解为. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·模拟预测）设虚数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南信阳·二模）展开式中第3项的系数是（   ） A．90 B． C． D．270 5．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 6．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 二、填空题 7．（2025·贵州毕节·二模）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 8．（2025·北京延庆·一模）的展开式中，的系数为 . 9．（2024·上海虹口·一模）在的二项展开式中，项的系数为 . 10．（2024·浙江杭州·三模）若展开式中的常数项为，则实数 . 11．（24-25高三上·江西宜春·期中）的展开式中的系数为 ． 12．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．（2024·贵州遵义·模拟预测）在多项式的展开式中，的系数为32，则 . 14．（2024·山西太原·一模）化简 . 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B A C B 1．A 【分析】根据二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值． 【详解】展开式的通项公式为， 令，求得，可得它的常数项为，. 故选：A. 2．D 【分析】由展开式的通项公式结合乘法法则即可求解的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，当时，， 所以展开式中含的项为， 故展开式中的系数. 故选：D 3．B 【分析】根据复数运算法则可得，再结合二项式定理化简，再根据共轭复数概念求，由此可求的虚部. 【详解】， 所以， 所以 所以， 所以的虚部为， 故选：B. 4．A 【分析】由二项展开式的通项求解可得. 【详解】展开式的通项为. 则，所以第3项的系数是. 故选：A. 5．C 【分析】利用二项式系数的意义求解即可. 【详解】第3项的二项式系数为. 故选：C. 6．B 【分析】化简得出，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数. 【详解】 其中是9的整数倍. 故被9除的余数为4. 故选：B. 7．-30 【分析】先求出的展开式的通项公式，再结合两个二项式相乘，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 8．60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式：， 令，解得， 所以可得第三项中的系数是. 故答案为：60 9． 【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 10．1 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得， 代入通项公式可得，解得. 故答案为：1. 11． 【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可. 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 12． 【分析】根据二项展开式，结合二项相乘列式求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以在的展开式中， 含的项为，所以的系数为. 故答案为：. 13． 【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解. 【详解】， 中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为， 所以，得 故答案为： 14． 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.3.1二项式定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：二项式定理的正用与逆用】 知识讲解 二项式定理 对于任意正整数，有，其中，。 正用 题型特点：当题目给出的形式，要求展开并化简时，直接运用二项式定理进行展开。 解题步骤： 确定、和的值。 根据二项式定理，依次计算各项的系数，以及对应的和的幂次。 将各项相加，得到展开式。 示例：展开。 这里，，。 根据二项式定理展开可得： 逆用 题型特点：当题目给出形如的式子，要求化简或求值时，考虑逆用二项式定理。 解题步骤： 观察式子的形式，判断是否符合二项式展开式的形式。 确定、和的值，将式子转化为的形式。 对进行化简或求值。 示例：化简。 观察发现该式子符合二项式展开式的形式，其中，，。 逆用二项式定理可得：原式。 例题精选 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式； 4．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 相似练习 5．（23-24高二下·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 6．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． 7．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 8．（21-22高二·全国·课后作业）化简：． 9．（20-21高二·江苏·课后作业）已知． (1)写出的展开式； (2)化简． 【题型二：二项展开式的通项公式】 知识讲解 二项式展开式的通项公式为（）。 含义：表示二项式展开式的第项。通过通项公式，可以方便地求出展开式中任意一项的系数和该项的具体形式。 示例：在的展开式中，若求第项，此时，（因为是第项，所以，即）。 根据通项公式可得： 例题精选 1．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 二、填空题 2．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 相似练习 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 4．（24-25高三上·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为 . 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 【题型三：求二项展开式的特定项】 知识讲解 求二项展开式的特定项，通常可以按照以下思路进行求解： 1. 确定二项式的形式：明确给定的二项式中、和的值。 2. 写出通项公式：根据二项式定理，其展开式的通项公式为（）。 3. 根据特定项的要求列方程求解： 求常数项：令通项公式中与的指数都为，即，解出的值，再代入通项公式求出常数项。 求有理项：若、中含有根式，要使展开式中的项为有理项，则与的指数都应为整数。根据这一条件确定的取值，进而求出有理项。 求指定幂次的项：例如求的项，令通项公式中与经过运算后的幂次等于，解出，再代入通项公式求出该项。 求中间项：当为偶数时，中间项为第项；当为奇数时，中间项为第项和第项。将对应的值代入通项公式求出中间项。 求系数最大或最小项： 当二项式的幂指数较小（如）时，可直接根据二项式系数的性质，通过观察或比较各项系数的大小来确定。 当较大时，设第项的系数最大（或最小），则可列出不等式组（求系数最大项）或（求系数最小项），解出的取值范围，进而确定系数最大或最小项。 4. 计算特定项：将求出的值代入通项公式，计算出特定项的系数和该项的具体形式。 例题精选 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 2．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）的展开式中常数项为第（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）对于二项式，四位同学作出了四种判断： ①在展开式中没有常数项；        ②在展开式中存在常数项； ③在展开式中没有x的一次项；    ④在展开式中存在的一次项 上述判断中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在二项式的展开式中常数项是 ；的系数是 ． 相似练习 5．（2023·陕西西安·模拟预测）二项式的展开式中含x的正整数指幂的项数是 . 6．（2023·广东广州·模拟预测）若，且，若的展开式中存在常数项，则该常数项为 . 7．（2023·广东广州·二模）已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为 . 三、解答题 8．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 9．（22-23高二下·河南洛阳·期末）在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中的第7项． 10．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求的值； (2)求的展开式的中间两项. 【题型四：多项式相乘的二项展开式】 知识讲解 多项式与二项式相乘时，除了运用乘法分配律展开式子和合并同类项外，还可以结合二项式的通项公式来求解一些特定项的系数等问题。以下是具体的解题思路： 1. 运用乘法分配律展开式子： 将多项式的每一项分别与二项式相乘。例如，对于，先将其展开为。 2. 利用二项式通项公式展开二项式部分： 二项式的通项公式为（）。 对于，将按照通项公式展开得到。同理，展开为，展开为。 所以。 3. 合并同类项并求解特定问题： 观察展开后的式子，将同类项进行合并。 如果要求展开式中某一项的系数，例如求（）这一项的系数，就需要分别在，，中找到使得，，然后将对应的，，相加，得到项的系数为。 例题精选 1．（2023·浙江·三模）的展开式中常数项为（    ） A．280 B． C．160 D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 二、填空题 4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）的展开式中含项的系数为 . 相似练习 5．（22-23高三上·云南德宏·期末）二项式的常数项为 ． 6．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）的展开式中的常数项为 .（请用数字作答） 7．（23-24高三下·北京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 8．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知展开式中常数项为280，则 . 9．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项等于 . 【题型五：三项展开式的系数问题】 知识讲解 转化为二项式法 解题思路：将三项式转化为的形式，然后利用二项式定理展开。先将按二项式定理展开为，再对使用二项式定理展开，得到，所以。通过确定、、的指数来确定和的值，进而计算出系数。 注意事项：一是注意展开顺序，先对展开，再对展开，明确每步展开的通项公式和指数变化规律。二是准确计算组合数，运用组合数公式时，注意阶乘计算，可通过约分简化，同时灵活运用组合数性质。 组合分析法 解题思路：从组合角度考虑，展开式中（）的系数就是从个中选个，个，个的组合数，即。 注意事项：一方面要正确确定指数，确保、、是、、的正确指数且满足，仔细分析给定项的次数以准确确定其值。另一方面要理解组合意义，从组合角度合理分析问题，遇到多个相同项系数计算时，可通过组合原理找规律。 例题精选 1．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 2．（24-25高三上·湖南常德·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 3．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 相似练习 4．（24-25高二下·全国·课后作业）（）的展开式中的常数项为 ． 5．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 6．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【题型六：用二项式定理证明恒等式】 知识讲解 分析恒等式两边的形式 观察等式两边的式子，判断哪一边可以直接用二项式定理展开，或者通过适当变形后可以用二项式定理展开。例如，对于形如的式子，可直接根据二项式定理展开为。 对于一些复杂的式子，可能需要先进行变形，使其符合二项式的形式。比如，，可以分别将和按二项式定理展开，再进行后续的分析和计算。 利用二项式定理展开 根据二项式定理，将选定的式子展开。在展开过程中，要注意各项的系数的计算以及指数的变化规律。 展开后，对各项进行整理和化简，可能会涉及到合并同类项、提取公因式等操作，以便更好地观察式子的特点和规律。 比较等式两边 将展开并化简后的式子与等式另一边进行比较。可以从项数、各项的系数、字母的次数等方面进行逐一对比。 若等式两边的形式不完全相同，可能需要进一步对展开式进行变形或推导。例如，通过对展开式中的某些项进行重新组合、利用组合数的性质进行化简等，使展开式逐渐向等式另一边的形式靠拢。 例题精选 1．（2024高三·全国·专题练习）求证： 2．（2024高三·全国·专题练习）求证： ． 3．（24-25高三·上海·随堂练习）求证：（且）能被31整除． 相似练习 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）利用二项式定理证明：是8的倍数． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）利用二项式定理，求被8除所得的余数. 7．（2023高三·全国·专题练习）已知，解关于的不等式：. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·模拟预测）设虚数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南信阳·二模）展开式中第3项的系数是（   ） A．90 B． C． D．270 5．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 6．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 二、填空题 7．（2025·贵州毕节·二模）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 8．（2025·北京延庆·一模）的展开式中，的系数为 . 9．（2024·上海虹口·一模）在的二项展开式中，项的系数为 . 10．（2024·浙江杭州·三模）若展开式中的常数项为，则实数 . 11．（24-25高三上·江西宜春·期中）的展开式中的系数为 ． 12．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．（2024·贵州遵义·模拟预测）在多项式的展开式中，的系数为32，则 . 14．（2024·山西太原·一模）化简 . 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$