培优专题 一次函数的图像(知识盘点+15题型+2易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

培优专题 一次函数的图像 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质． 当时，求出y的值，即可． 【详解】解：当时，， 则直线在y轴上的截距为， 故答案为：． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【答案】 平行 【分析】根据一次函数的平移方法“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解∶将函数的图象向上平移3个单位长度后， ∴得到的新图象对应的函数解析式为． 由平移的性质知∶ 两图象的位置关系是平行． 故答案为∶ ，平行． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移方式是解题关键． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同，反之亦可． 【详解】解：∵一次函数与中，k的值相同，都为-6，而b的值不同， ∴两条直线互相平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了两直线平行问题，明确两直线平行，则自变量系数相同，即k值相同是关键． 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 【即学即练1】如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【即学即练2】一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴的交点横坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故选：D． 判断一次函数的图象 例1已知，为常数，且，则下列四个选项中，可以表示一次函数与正比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关性质．根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐一判断即可． 【详解】解：①当时，正比例函数的图象过第一、三象限； ，时，一次函数的图象过第一、二、三象限， ，时，一次函数的图象过第二、三、四象限， 故A、D错误； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限； ，时一次函数的图象过第一、三、四象限，故C错误； ，时一次函数的图象过第一、二、四象限，故B正确； 故选：B． 【变式1-1】著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据题意画出函数的图像，即两条过点关于直线的两条射线，再判断直线经过定点，然后确定k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据题意作出函数图像，如图所示．    ∵直线， ∴直线过定点， ∴函数的图像与直线有两个交点，则， 所以k的可能是1． 故选：C． 【变式1-2】下列图形是以方程的解为坐标的点组成的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象与坐标轴交点，函数图象上点坐标为二元一次方程的解． 根据坐标轴上点的坐标特征求出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据所求的坐标对各选项进行判断． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，则直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，则直线与，轴的交点坐标为． 故选：C． 【变式1-3】函数的图象与函数的图象有两个交点，则m的取值范围（或取值）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线相交的问题，作出函数图象，利用数形结合的思想求解更形象直观，要注意经过第一个函数图象拐点时只有一个交点． 作出函数图象，求出恰好经过拐点和两个函数图象有两个交点时的的值，再写出的取值范围即可． 【详解】解：如图，当经过点时，， 解得， 当经过点时，， 解得， 所以，两个函数图象有两个交点时，的取值范围是． 故选：B． 根据-次函数解析式判断其经过的象限 例2一次函数的图象不经过下列哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象是解题的关键． 直接利用的正负即可判断出一次函数经过的象限，从而得出答案． 【详解】， ∴图象经过第二，四象限． 又 ， ∴一次函数的图象与y轴的交点在y轴负半轴，即函数图象经过第三象限， ∴函数图象不经过第一象限， 故选：A． 【变式2-1】直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，根据直线经过二、三、四象限，可以得到和的正负情况，从而可以得到直线的图象经过哪几个象限，本题得以解决，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：直线经过二、三、四象限， ，， 直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【变式2-2】已知一次函数 ，随 的增大而减小，则该函数图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：一次函数 ，随 的增大而减小， ， 故该图像经过二、三、四象限， 故不经过一象限， 故选A． 【变式2-3】一次函数 （b为常数，且）的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质可得出，再利用一次函数图象与系数的关系即可解答． 【详解】解：一次函数 （b为常数，且）， ∴， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故选：C． 已知函数经过的象限求参数范围 例3在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式3-2】一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象和性质，根据一次函数图象所过象限，与坐标轴交点情况，一次函数与一元一次不等式，以及一次函数与一元一次方程关系，对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图知，过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知，，， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当时，， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知，与的交点横坐标为， 的解为， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 例4如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标． 【详解】解：直线与轴交于点， 时，得， ． 以为边在轴右侧作等边三角形， 在线段的垂直平分线上， 点纵坐标为． 将代入，得， 解得． ∴的坐标是． 故答案为：． 【变式4-1】如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用；分两种情况讨论：当点落在轴正半轴上处时，在中，，当点落在轴负半轴上处时，连结，在中， ，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 【变式4-2】已知直线与直线相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点D落在内部（不含边界），则： （1）点A的坐标是 ； （2）a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是考查一次函数图象的性质，一次函数图象交点，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键． 联立两函数解析式，求出方程组的解，即可得到两函数图象交点坐标；利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到的位置，若点落在内，则点在两条直线的下方同时在轴上方，可列出不等式组求解． 【详解】解：联立得， 解得：， ∴． 一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图． 对于直线，令，则，解得， ∴ 对于直线，令，则，解得， ∴， 点落在内部（不含边界） 列不等式组 解得： 故答案为：；． 【变式4-3】．已知一次函数与正比例函数． (1)在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象； (2)设一次函数与轴交于点，两函数的图象交于点，求A、B两点坐标，并求的面积； (3)根据图象回答：当取何值时，正比例函数的函数值大于一次函数的函数值． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)． 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，利用一次函数的图象求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先列表，再描点并连线即可； （2）先求得，，再结合三角形的面积公式计算即可； （3）利用正比例函数在一次函数的函数的上方即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 1 3 4 0 描点并连线如下： （2）解：如图， 中，当时，，解得， ∴， 联立与得 ， 解得， ∴， ∴； （3）解：由图象可得：当时，正比例函数在一次函数的函数的上方， ∴当时，正比例函数的函数值大于一次函数的函数值． 画一次函数图象 例5一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，解题关键是找到两函数的交点坐标．在同一平面直角坐标系画图，根据一次函数与不等式即可判断． 【详解】解：在同一坐标系画图： 当时，x的取值范围是． 故选：D． 【变式5-1】学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； 【变式5-2】多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 【变式5-3】已知，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． (1)请直接写出A，B两点坐标：A：________，B：________； (2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (3)利用图象直接写出：当时，x的取值范围：________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与不等式． （1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）根据一次函数与x轴的交点坐标，由函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，， 当时，， ∴A、B两点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由（1）得：A、B两点的坐标为， ∴函数图象如图所示： （3）解：根据函数图象得：当时，x的取值范围为． 【变式5-4】．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 一次函数图象平移问题 例6如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 【变式6-1】如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的坐标特点，以及坐标与图形的变化-平移，掌握相关性质是解题的关键． 根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即可得的长度，进而可得的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵点的坐标为点，沿轴向右平移后得到， ∴点的纵坐标是； 又∵点的对应点在直线上， ∴， 解得：， ∴的坐标为，可知向右平移了个单位长度， 故选：B． 【变式6-2】将函数的图像向下平移个单位长度，所得的函数图像对应的函数表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位长度，所得的函数图像对应的函数表达式为，即． 故答案为：． 【变式6-3】将直线向左平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移规律得到，整理后即可得到答案． 【详解】解：∵将直线向左平移3个单位长度， ∴平移后得到的直线解析式是：，即． 故答案为：． 正比例函数的图象 例7在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，掌握“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解：A由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由图象得，由图象得，故符合题意； 故选：B D． 【变式7-1】如图所示，一次函数（k，b是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断正确的是（   ） ①关于x的方程的解是； ②关于x，y的方程组的解是； ③关于x的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④． 【详解】解：两直线相交于点， 方程的解是，故①正确； 方程组的解是：，故②正确； 当时，直线在直线的下方， 当时，，故③错误； 当时，直线在直线的上方， 当时，函数的值比函数的值大，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故正确． 故选：C． 【变式7-2】正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图像，可先根据一次函数的图像判断的符号，再判断正比例图象与实际是否相符，判断正误．解题的关键是掌握一次函数图像与系数的关系：，的图像经过一、二、三象限；，的图像经过一、三、四象限；，的图像经过一、二、四象限；，的图像经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数为， ∴随的增大而增大， 故选项C不合题意； A．由一次函数的图像可得，正比例函数图像可得，故此选项符合题意； B．由一次函数的图像可得，而正比例函数图像可得，故此选项不符合题意； D．该选项中的两个函数图像都是一次函数的图像，与条件不符，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式7-3】关于x，y的方程组的解为，若点总在直线上方，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，一次函数与不等式，先求出方程组的解，根据点总在直线上方，得到，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∴， ∵点总在直线上方，即点在点上方， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 已知直线与坐标轴交点求方程的解 例8如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握数形结合是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：如图：由函数图象可知直线（k和b是常数且）交x轴，y轴分别于点，． ∴方程的解是，即A选项错误，不符合题意； 由函数与的图象关于y轴对称，则函数的图象与x轴交点的横坐标为，所以方程的解是，即B选项错误，不符合题意； 由函数图象可知：当时，函数的图象在x轴的上方，不等式的解集是，即C选项正确，符合题意； 由函数图象可知：不等式的解集是，即D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式8-1】一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③正确，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：C． 【变式8-2】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例9若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质可得出，进而可得出的长，再利用面积法，即可求出的长． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． 在中，， ∴ 由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ 故选B． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】利用一次函数的增减性即可判断①；由即可判断②；分两组情况讨论求得的值即可判断③；根据A的横坐标即可判断④． 【详解】解：①∵直线中， ∴随x的增大而增大， 当时，；当时，， ∴，故①错误； ②∵当时，；当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与x轴所夹锐角总等于，故②正确； ③∵时，， ∴， 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； ∴的长为2或4，故③正确； ④由③可知，直线与直线的交点A横坐标为2， ∴关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质等，求得A点的坐标是解题的关键． 【变式9-3】直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 利用图象法解一元一次方程 例10如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 【变式10-1】一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式，由一次函数与的图象的交点的横坐标为即可判断甲，结合图象即可判断乙，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故甲正确； 由图象可得，当时，，故乙错误； 故选：A． 【变式10-2】如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 【变式10-3】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 【变式10-4】在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； (3)①2；② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）①解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， （2）函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； （3）解：①观察图形可知， 方程有1个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例11如图，直线经过点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键．所求方程的解，即为函数图像与x轴交点横坐标，据此即可求解． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标， ∵直线过， ∴方程的解是． 故选：D． 【变式11-1】一次函数和的图像如图所示，则关于x的不等式组的解集是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数图像得出交点坐标，根据交点的坐标和图像得出的解集为，再观察图像可知时，，由此可得不等式组的解集． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键． 【详解】解：观察图像可知：函数和的交点坐标为， 当时，的图像在的图像上方， ∴的解集为． 当时，， ∴不等式组的解集是． 故选：D． 【变式11-2】已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 当时，， 所以，关于的不等式的解集为， 故选：D． 【变式11-3】一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用一次函数图象求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点问题，利用的图象与轴的交点坐标为的结果，代入到不等式结合的取值范围即可求解． 【详解】解：的图象与轴的交点坐标为， 可得：，即， ， ，， ，即， 故选：D． 根据两条直线的交点求不等式的解集 例12如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可． 【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意； B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意； C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意； D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意． 故选：A． 【变式12-1】设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据题意正确画出图形并灵活运用数形结合是解答本题的关键．根据题意画出画在同一个坐标系中，再利用数形结合确定图形即可确定最小值． 【详解】解：如图：将画在同一个坐标系中， 令， 解得：， 则两条直线交点为， 当时，函数，最小值为； 当时，函数，最小值为； 综上，关于x的函数的最小值为， 故答案为：． 【变式12-2】一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【详解】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 【变式12-3】已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2)时随的增大而增大，时随的增大而减小 (3) 【分析】此题考查函数的实际应用及根据函数图像解不等式，对函数的数形结合的掌握是关键． （1）把1代入函数求出或1，根据表格内容取1即可；把代入函数求出；再描点连线作图即可； （2）根据图像写出一条即可； （3）数形结合求出不等式的解集即可； 【详解】（1）当时，，当时，， 补充表格如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 画图如下： （2）性质不唯一，时随的增大而增大，时随的增大而减小等． （3）根据图象可知：两函数的图象交点是， ∴关于的不等式的解集：． 两直线的交点与二元一次方程组的解 例13如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式13-1】如图，直线与的图像交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像与二元一次方程组的关系，一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像与二元一次方程组的关系是关键．根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解． 【详解】解：直线与的图像交于点， ． 点， 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【变式13-2】一次函数与的图象如图所示，观察图象直接写出关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键．根据一次函数与的图象可知交点的横坐标和纵坐标即可知的值为方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点的横坐标为，纵坐标为， ∴是方程组的解 故答案为： 【变式13-3】已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 图象法解二元一次方程组 例14小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【变式14-1】已知，如图，方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点． 【详解】根据函数y=kx+b和y=mx+n的图象知， 一次函数y=kx+b与y=mx+n的交点(−1,1)就是该方程组的解． 故选C 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于交点即是方程的解 【变式14-2】已知， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：    (1)当时，x______； (2)当时，x_______； (3)当时，x_______； (4)当时，x________； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先画出两个函数图象，然后根据图象可得两函数交点坐标为，进而得到的解； （2）根据函数图象可得，的图象在的上方； （3）根据函数图象可得，的图象在的上方； （4）根据函数图象可得，． 【详解】（1）解∶如图，      由图象知：当时，， 故答案为：； （2）由图象知：当时，， 故答案为：； （3）由图象知：当时，， 故答案为：； （4）由图象知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，关键是正确画出两函数图象，能从图象上得到正确信息． 【变式14-3】已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解； （2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积； （3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴方程组的解为； （2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴， 解得， ∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3， 当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝， 当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3， ∴C（，0），D（3，0）， ∴CD， ∴S△PCD． 即△PCD的面积为； （3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2， ∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系． 【变式14-4】如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得方程组的解； （2）通过函数图象即可得出x的取值范围； （3）先求出点A和点B的坐标，即可得到的面积； （4）令，根据与的面积相等，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：方程组的解为：； 故答案为：； （2）如图所示：当与同时成立时， x取何值范围是：； 故答案为：； （3）∵令，则，， ∴，． ∴． ∴； （4）令，则， ∴． ∵点P异于点C， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，题目较为基础，注意数形结合思想的应用． 求直线围成的图形面积 例15如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线：相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B． (1)点P的坐标为 ． (2)求的面积． (3)点M在直线上，轴，交直线于点N，若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）联立直线与得，解方程组即可； （2）先求，，得出，再求出三角形的面积即可； （3）设，则，得出，根据，得出，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：联立直线与得： ， 解得， ∴； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入 ， 解得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为：或. 【点睛】本题考查一次函数交点坐标，解方程组，求三角形面积，两点间距离，掌握一次函数交点坐标，解方程组，两点间距离，利用两点距离构造方程是解题关键． 【变式15-2】如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象． (1)求的面积； (2)根据图象直接写出时x 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点情况、一次函数与二元一次方程组和已知一次函数的交点求不等式的解集．能求出两直线交点是解此题的关键． （1）先利用一次函数解析式确定点、、的坐标，然后根据三角形面积公式求解． （2）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可． 【详解】（1）解：直线是一次函数的图象， 当时，， 解得， ， 直线是一次函数的图象， ， 联立与有， 解得， 当时，， ， 的面积为； （2）解：， 时x 的取值范围为． 【变式15-3】直线和直线分别交轴于点，，两直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)20 【分析】本题属于一次函数的基础题型，根据已知点求出函数解析式，然后利用解析式求出点坐标，并求出三角形面积． （1）先利用直线求出点C坐标，再利用直线求出，的值． （2）两个函数图象与y轴的交点为点，，即时，可以求出，坐标，即可得出三角形面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点的坐标为． ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：∵点是直线与轴的交点， ∴令，则． ∴点的坐标为． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，则． ∴， ∴． 1．（2024八年级上·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线．根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． （1）当时，求出函数值画图即可； （2）当时，求出函数值画图即可； （3）当时，求出函数值画图即可； 【详解】（1）解：当， 当， 如图，描点后连线得： （2）解：当， 当， 如图，描点后连线即可； （3）解：当， 当， 如图，描点后连线即可． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【答案】图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为 【分析】根据条件，将各个一次函数列表，找出对应的点，然后描点，连线即可得到三个一次函数的图象，接下来根据直线与、轴的交点即可得到答案．本题考查一次函数图象的画法与坐标轴的交点，解题关键是掌握描点法画一次函数图象． 【详解】解：列表： 描点连线 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为． 1.请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【答案】(1)3，5 (2)见解析 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示，   当的取值范围是， 故答案为：． 2.若点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查的是一次函数图像上点的坐标特点、代数式求值等知识点，熟知一次函数图像上各点坐标一定满足此函数的解析式是解题的关键．先把点代入一次函数，求出，再将代数式变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴，即， ∴． 故答案为：2024． 3.一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，由题意可得，推出，由一次函数不经过第四象限得出，求出，结合，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 4.如图，已知直线分别与轴交于点，与直线交于点． (1)则___________，___________； (2)若点为直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键． （1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可； （2）先求得，，由题意知，，当点在的下方和上方时，两种情况讨论进而可求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 当点在的下方时，如图， ∵， ∴，即， 解得：， （舍去正值）， 当时，，解得：， ∴点的坐标； 当点在的上方时，如图， ∵， ∴，即， 解得：， （舍去正值）， ∴， ∴点的坐标； 综上所述，点的坐标为或． 5.定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)k的取值范围为 【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的关键． （1）由，可得进而可求结果； （2）设，当时，，可求，进而可得，则；当时，，可求，进而可得，则； （3）由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，则，当时，，则，当时，，可求，当时，，可求，由变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，数形结合作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴点的变换点的坐标是； 故答案为：； （2）解：设， 当时，， 解得，， ∴， ∴； 当时， 解得，， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或； （3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ， ∴由图象可知，， ∴k的取值范围为． 6.已知直线与轴相交于点A，与轴相交于点B，将直线向上平移8个单位得直线． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的函数关系式． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是； (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移等知识， （1）分别令和进行求解即可； （2）根据一次函数平移的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∵直线与轴相交于点A，与轴相交于点B， ∴点A的坐标是，点B的坐标是； （2）直线向上平移8个单位得直线， 则直线的函数关系式为． 7.驾驶员每百毫升血液中酒精的含量大于或等于20毫克即为酒驾．某研究所经实验测得，成年人饮用某品牌40度白酒后，血液中酒精浓度y（毫克/百毫升）与饮酒时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)根据图像，求出血液中酒精浓度上升阶段与下降阶段的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)问血液中酒精浓度不低于20毫克/百毫升的持续时间是多少小时？ 【答案】(1)上升阶段；下降阶段 (2)小时 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用； （1）根据对应的函数图象利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）分别计算在血液中酒精浓度上升阶段，当，可得；在血液中酒精浓度下降阶段，当，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设直线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为．     当时，设反比例函数的表达式为． 将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为．     因此血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为； 下降阶段的函数表达式为 （2）在血液中酒精浓度上升阶段，当，则， 解得；         在血液中酒精浓度下降阶段，当，则， 解得．         ∵（小时）         ∴血液中酒精浓度不低于20毫克/百毫升的持续时间是小时． 8.某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 9.如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 【答案】 【分析】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可． 【详解】解：连接，交于点． ∵， ∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短． 当时，， 当时，，即， ∴， ∴． ∴， ∴点A在的角平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形三条边的关系，勾股定理，坐标与图形的性质，判断出当O，M，A三点共线时最短，即此时最短是解答本题的关键． 10.已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点． (1)求交点A、B的坐标，并画出该一次函数的图象； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 【答案】(1)，一次函数的图象见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了已知一次函数解析式求与x轴，y轴交点坐标的方法，由此便可画出一次函数图象，并会根据图象掌握一次函数性质． （1）在解析式中分别令和，则可求得A、B的坐标，利用两点法可画出函数图象； （2）由A、B的坐标可求得的长，则可求得的面积； （3）由图象可求得答案． 【详解】（1）解：当时， ， 当时，， ， 作出一次函数图象，如图所示： （2）解：， ， ； （3）解：根据图象可知：当时，， x的取值范围为． 11.观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组解的关系，一次函数和不等式的关系，解题的关键是数形结合，注意直线与直线的交点，直线与坐标轴的交点． （1）根据函数图象求出不等式的解集即可； （2）根据函数图象得出两条直线的交点坐标即可；根据交点坐标得出的解即可；根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）①令，求出，把代入求出即可得出点A的坐标为；把代入求出，即可得出点C的坐标为，进而根据函数图象求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵根据函数图象可知，在点P下方的部分的函数值小于2， ∴不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：观察图象，两条直线的交点坐标为； 方程的解是交点坐标的横坐标的值，因此方程的解为； ∵在交点的右侧，函数的图象在的上方， ∴不等式的解集为． 故答案为：；；． （3）解：令， 解得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为； ∴根据函数图象可知，在点A的右侧函数的图象在的上面，在点C的左侧函数的图象在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 12.如图，函数与的图象交于点． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积公式等知识点，联立两函数解析式求出交点的坐标是解题的关键． （1）由于函数与的图象交于点，因而将代入两函数解析式，可得，解方程组即可求出k的值； （2）先求出一次函数与轴的交点的坐标，进而可得的长，由（1）得，则，由三角形的面积公式可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：函数与的图象交于点， 将代入两函数解析式，得： ， 解得：， 的值为； （2）解：对于函数， 令，则， 解得：， ， ， 由（1）得：， ， ， 的面积是． 13.如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． (1)求直线所对应的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线所对应的函数关系式为； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题． （1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出，，从而得到关系式； （2）点坐标是与轴的交点坐标，点坐标是把，联立，求其方程组的解再求三角形的面积； （3）当时，点在线段的垂直平分线上，进而可以求得点的横坐标，然后代入直线的解析式求得点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ， 设直线所对应的函数关系式为， 由图象知：直线经过点，， ， 解得， 直线所对应的函数关系式为； （2）解：由， 解得， ， ， ； （3）解：，，， 点的横坐标为：， 点在直线上， ， ． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一次函数的图像 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 【即学即练1】如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【即学即练2】一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 判断一次函数的图象 例1已知，为常数，且，则下列四个选项中，可以表示一次函数与正比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（    ） A． B． C．1 D．5 【变式1-2】下列图形是以方程的解为坐标的点组成的图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的图象与函数的图象有两个交点，则m的取值范围（或取值）是（   ） A． B． C． D． 根据-次函数解析式判断其经过的象限 例2一次函数的图象不经过下列哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（    ） A． B． C．D． 【变式2-2】已知一次函数 ，随 的增大而减小，则该函数图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2-3】一次函数 （b为常数，且）的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知函数经过的象限求参数范围 例3在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【变式3-2】一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【变式3-3】如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 例4如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【变式4-1】如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【变式4-2】已知直线与直线相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点D落在内部（不含边界），则： （1）点A的坐标是 ； （2）a的取值范围是 ． 【变式4-3】．已知一次函数与正比例函数． (1)在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象； (2)设一次函数与轴交于点，两函数的图象交于点，求A、B两点坐标，并求的面积； (3)根据图象回答：当取何值时，正比例函数的函数值大于一次函数的函数值． 1 3 4 0 画一次函数图象 例5一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 【变式5-1】学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； 【变式5-2】多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【变式5-3】已知，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． (1)请直接写出A，B两点坐标：A：________，B：________； (2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (3)利用图象直接写出：当时，x的取值范围：________． 【变式5-4】．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 一次函数图象平移问题 例6如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】将函数的图像向下平移个单位长度，所得的函数图像对应的函数表达式为 ． 【变式6-3】将直线向左平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ． 正比例函数的图象 例7在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，一次函数（k，b是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断正确的是（   ） ①关于x的方程的解是； ②关于x，y的方程组的解是； ③关于x的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式7-2】正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】关于x，y的方程组的解为，若点总在直线上方，那么的取值范围是 ． 已知直线与坐标轴交点求方程的解 例8如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式8-1】一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例9若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【变式9-2】在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 【变式9-3】直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 利用图象法解一元一次方程 例10如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【变式10-1】一次函数与的图象如图所示，甲、乙两位同学给出以下结论： 甲：方程的解是； 乙：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲，乙都正确 D．甲，乙都错误 【变式10-2】如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【变式10-3】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【变式10-4】在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例11如图，直线经过点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】一次函数和的图像如图所示，则关于x的不等式组的解集是（　　）    A． B． C． D． 【变式11-2】已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 根据两条直线的交点求不等式的解集 例12如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 【变式12-1】设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 【变式12-2】一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 【变式12-3】已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 两直线的交点与二元一次方程组的解 例13如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【变式13-1】如图，直线与的图像交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【变式13-2】一次函数与的图象如图所示，观察图象直接写出关于的方程组的解是 ． 【变式13-3】已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 图象法解二元一次方程组 例14小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【变式14-1】已知，如图，方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】已知， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：    (1)当时，x______； (2)当时，x_______； (3)当时，x_______； (4)当时，x________； 【变式14-3】已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 【变式14-4】如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 求直线围成的图形面积 例15如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线：相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B． (1)点P的坐标为 ． (2)求的面积． (3)点M在直线上，轴，交直线于点N，若，求点M的坐标． 【变式15-2】如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象． (1)求的面积； (2)根据图象直接写出时x 的取值范围． 【变式15-3】直线和直线分别交轴于点，，两直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． 1．（2024八年级上·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 1.请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 2.若点在一次函数的图像上，则 ． 3.一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是 ． 4.如图，已知直线分别与轴交于点，与直线交于点． (1)则___________，___________； (2)若点为直线上一点，且，求点的坐标． 5.定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 6.已知直线与轴相交于点A，与轴相交于点B，将直线向上平移8个单位得直线． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的函数关系式． 7.驾驶员每百毫升血液中酒精的含量大于或等于20毫克即为酒驾．某研究所经实验测得，成年人饮用某品牌40度白酒后，血液中酒精浓度y（毫克/百毫升）与饮酒时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)根据图像，求出血液中酒精浓度上升阶段与下降阶段的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)问血液中酒精浓度不低于20毫克/百毫升的持续时间是多少小时？ 8.某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 9.如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 10.已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点． (1)求交点A、B的坐标，并画出该一次函数的图象； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 11.观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 12.如图，函数与的图象交于点． (1)求k的值； (2)求的面积． 13.如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． (1)求直线所对应的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$