2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第17章勾股定理微专题三 利用勾股定理解决图形折叠问题（解析版）

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题三 利用勾股定理解决图形折叠问题 类型归纳 类型1 勾股定理与三角形的折叠 勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 模型1 模型2 模型3 模型4 类型2 勾股定理与矩形的折叠 矩形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 类型3 勾股定理与正方形的折叠 正方形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 类型4 勾股定理与平行四边形的折叠 典例精析，跟踪训练 【类型1 三角形的折叠】 【例1-1】．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 【例1-2】． 如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，AD是的中线，，把沿直线AD折叠，点C落在点处，若，那么BC的长为（　　） A．16 B． C． D． 【变式1-2】．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则　 　. 【变式1-3】．在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【变式1-4】．如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为　 　． 【类型2矩形的折叠】 【例2-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【例2-2】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【变式2-1】． 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为； （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【变式2-2】．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】．矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【变式2-4】．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕EF的长． （2）如图2，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为AD的三等分点时，求的值． 【类型3 正方形的折叠】 【例3-1】． 【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、． （1）【观察计算】 在图1中，的值是　 　． （2）【操作探究】 ①如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； ②如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； （3）【操作拓展】 如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 【例3-2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，点为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后点落在平面内点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．下列结论正确的是（　　） A． B． C．五边形的周长是44 D．的面积是60 【变式3-2】． 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段，，之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【变式3-3】．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-4】．如图，正方形的边长是10，点E在边上，点F是边上，，把沿折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为　 　． 【类型4 平行四边形的折叠】 【例4-1】．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【例4-2】．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【变式4-1】．如图，将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求证：． 【变式4-2】．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求： （1）∠D'EF的度数； （2）线段AE的长． 【变式4-3】． 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【变式4-4】如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 . （1） 连结 交 于点 ， 连结 . ①求证： . ②若 ， 求 的长. （2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题三 利用勾股定理解决图形折叠问题（解析版） 类型归纳 类型1 勾股定理与三角形的折叠 勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 模型1 模型2 模型3 模型4 类型2 勾股定理与矩形的折叠 矩形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 类型3 勾股定理与正方形的折叠 正方形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 类型4 勾股定理与平行四边形的折叠 典例精析，跟踪训练 【类型1 三角形的折叠】 【例1-1】．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 【答案】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴的面积. （2）解：如下图，连接， 由折叠可知，， 即， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 在中，有， 即，解得， ∴， ∴在中，可有， 即折痕的长为． 【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）连接BD，设，则，利用勾股定理可得，即，解得，再求出BD的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可. 【例1-2】． 如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵∠B=90°， ∴AC= 设BE=x，则CE=BC-BE=4-x 根据折叠可知，AB'=AB=3，∠AB'E=∠ABE=90°，B'E=BE=x， ∴B'C=AC-AB'=5-3=2 在Rt△CB'E中，， ∴ 解得，x=1.5 即B'E=1.5 故答案为：C. 【分析】由勾股定理得AC长，设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，根据折叠的性质得AB'=AB=3，∠AB'E=∠ABE=90°，B'E=BE=x，在Rt△CB'E中，根据勾股定理列方程可求出EB'的长. 【变式1-1】．如图，AD是的中线，，把沿直线AD折叠，点C落在点处，若，那么BC的长为（　　） A．16 B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；轴对称的性质 【解析】【解答】解：由折叠可得， ． ，由折叠可得， ， ． 是C的中线， ， ． 故答案为：C． 【分析】根据轴对称的性质可得∠BDC1=90°，BD=DC1，然后根据勾股定理求出CD的长，再结合中线的定义求解． 【变式1-2】．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则　 　. 【答案】1.5 【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，则AC=5，由折叠可知，BE=B'E，AB=AB'=3，∠B=∠EB'A=90°，设B'E=x，则BE=x，EC=4-x，B'C=2，在Rt△B'EC中，B'E2+B'C2=EC2，即x2+22=(4-x)2，最后解得x=1.5。 故答案为：1.5。 【分析】先用勾股定理求出AC长，在利用折叠性质得到对应线段BE=B'E，AB=AB'=3，∠B=∠EB'A=90°，说明△EB'C也是直角三角形，通过设未知数，B'E=x，分别表示出直角三角形△EB'C的三条边长，利用勾股定理列出等式，最后求出x的值，即EB'的长。 【变式1-3】．在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出AE=BE，设，则，在直角三角形ACE中，利用勾股定理建立方程，解出x的值即可； （2）由中点的性质得出，设，则，在直角三角形B'CE中，利用勾股定理建立方程，解出y的值，再根据BE=BC-CE计算即可. 【变式1-4】．如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为　 　． 【答案】7 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G， ∵，， ∴， 在Rt△AHC中，∠C=30°， ∴AC=2AH，， ∴， 又∵点D是AC的中点， ∴， ∴， ， ∴， 设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x， 在Rt△DFG中，由勾股定理可得， ，即， 解得x=7， 故答案为7 【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。 【类型2矩形的折叠】 【例2-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】解：（1）.理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． ​​​​ 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，则，在中，根据勾股定理可得，解得，，同理可证明，则． 【例2-2】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形的周长， 四边形的面积． 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AFE=∠CEF，由折叠得∠AEF=∠CEF，CE=AE，得到∠AEF=∠AFE，由等角对等边得AE=AF，则AF=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由矩形的性质得出BC=AD=10cm，∠B=90°，由折叠的性质可得CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC-CE=（10-x）cm， 在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程可求出CE的长，进而根据菱形的面积公式及周长公式计算即可. 【变式2-1】． 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为； （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为5． 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠BEF=∠DFE，利用折叠的性质可推出∠DFE=∠DEF，据此可证得结论. （2）利用矩形的性质可证得∠A=90°，利用折叠的性质可知DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长. 【变式2-2】．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4， ∴AB=CD=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥CD， ∴∠DCA=∠CAB， ∵矩形ABCD沿AC折叠， ∴AE=AD=4，CE=CD=8，∠DCA=∠ECA=∠CAB，∠D=∠AEF=90°， ∴CF=AF， ∴EF=CE-CF=8-CF=8-AF， 在Rt△AEF中，由勾股定理得： AE2+EF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2， 解得：AF=5， ∴S△ACF==10. 故答案为：C. 【分析】由矩形的性质可得：AB=CD，AD=BC，∠D=90°，AB∥CD，由平行线的性质和折叠的性质可得∠DCA=∠ECA=∠CAB，由等角对等边可得AF=CF，在Rt△AEF中，由勾股定理可得关于AF的方程，解方程求出AF的值，然后根据三角形的面积公式S△ACF=可求解. 【变式2-3】．矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）解： 如图，连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，直线即为所求. （2）解：①； ②由折叠的性质可知：，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：2； （3）解：由折叠的性质可知：， 设，则，， 当时，在中， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时， 过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，的长为或． 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：（2）①设x， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， 解得； 故答案为：； 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求； （2）①根据折叠的性质直接计算即可；②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出DE，再根据勾股定理求出QE，从而可得BQ； （3）分“，”两种情况，利用勾股定理和三角形全等的判定和性质分别求出结果． 【变式2-4】．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕EF的长． （2）如图2，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为AD的三等分点时，求的值． 【答案】（1）解：①证明：∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴． ∵，∴， ∴， ∴． ②如图1，过点F作于点H． ∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴，． ∵， ∴，∴． ∵，∴， ∴由①可得． ∵， ∴四边形ABFH是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）解：①若E为AD的三等分点，且，如图2所示． ∵， ∴，． 过点E作于点M， ∴四边形ABME为矩形，∴，， ∴， ∴． ∵将矩形CDEF沿EF折叠， ∴，，， ∴，∴． ②若E为AD的三等分点，且，如图3所示． ∴，．过点E作于点N， 同理可得，， ∴， 同理由折叠可得，，， ∴，∴． 综上所述，的值为或． 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合 【解析】【分析】（1）①利用折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得； ②过点F作于点H，先利用勾股定理求出，再利用矩形的性质可得，， 利用线段的和差求出EH的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可； （2）分类讨论： ①若E为AD的三等分点，且， ②若E为AD的三等分点，且， 再分别画出图形并求解即可. 【类型3 正方形的折叠】 【例3-1】． 【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、． （1）【观察计算】 在图1中，的值是　 　． （2）【操作探究】 ①如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； ②如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； （3）【操作拓展】 如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 【答案】（1） （2）解：①点在折痕上，理由如下： 由（1）得：， 作于点M， ∴EM=CM， ∴是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点， 而线段只有一个中点， ∴H与M重合， ∴是线段的垂直平分线． ∵是线段的垂直平分线， ∴，是同一条直线， ∴在折痕上． ②，理由如下： 连接PD，PE，过点P作PK⊥CD于点K， 根据折叠的性质，得到，∠DGH=∠GHC=90°. ∴. ∵四边形是正方形， ∴∠ADC=∠DCB=90°，. ∴四边形GHCD是矩形， ∴GH=DC=AD. ∵，，DP=DP， ∴ ∴∠ADP=∠CDP=45°. ∴GD=GP. ∵DA－DG=GH－GP 即AG=PH. ∵AG=PH，AP=EP ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕， 则与的交点即为所求． 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合 【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=DC，∠B=∠BAD=∠BCD=90°，AC平分一组对角， ∴∠BAC=∠ACB=45°=∠CEB'. ∴B'E=B'C. 由折叠得：AB=AB'，∠AB'E=∠B=90°=∠EB'C，B'E=BE. ∴B'C=B'E=BE. ∴ ∴. ∴. 故答案为：. （3）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕， 易证△GDP'是等腰直角三角形， ∴DG=P'G. 由（2）得GD=GP. 又∵点P和P'都在折线GH上， 故P和P'重合，是同一个位置的点. 故与的交点即为所求． 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得B'C=B'E=BE，∠BAC=∠ACB=45°，于是可表示出EC和AB，作比，即可得到结论. （2）①过点B'作于点M，由“三线合一”的性质可得是线段的垂直平分线．由H是的中点，可得H和M重合，即B'H是线段的垂直平分线，再由是线段的垂直平分线，即可得到结论. （2）②证明，得∠ADP=∠CDP=45°.于是根据折叠和等腰直角三角形性质可得GD=GP.证明四边形GHCD是矩形，可得GH=DC=AD.于是有AG=PH.证明，可得，再结合直角三角的性质即可得到，结论得证. （3）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，与的交点记作，证明PG=DG=P'G，点P和P'都在折线GH上，即可说明P'为求作的点. 【例3-2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，点为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后点落在平面内点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥OC于D，如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ，沿CP折叠正方形，折叠后点B落在平面内点B'处，点A的坐标是（4，0）， ∴，BC=B'C=OA=OC=4， ∴. ∴. ∴. ∴OD=OC-CD=. ∴B点坐标为. 故答案为：C. 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质求出OC和B'C的长度，以及，根据直角三角形中30°所对应的边是斜边的一半求出B'D的长度，结合勾股定理求出CD的长度，最后即可求出OD的长度，从而知道B'的坐标. 【变式3-1】．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．下列结论正确的是（　　） A． B． C．五边形的周长是44 D．的面积是60 【答案】B,C,D 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质 【解析】【解答】解：B、由折叠可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可得，， ，故符合题意； C、正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， ∴，选项A错误，不符合题意； 五边形的周长是：，故符合题意； D、的面积是：，正确，符合题意； 故答案为：BCD. 【分析】先利用正方形的性质和“HL”证出，利用全等三角形的性质可得AG=FG，再利用折叠的性质及勾股定理的计算方法逐项分析判断即可. 【变式3-2】． 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段，，之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）45； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴． 由（1）得， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵点N落在折痕上，根据折叠可知： ，，， ∴根据解析（2）可知：此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴ 解得：． 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：（1）①由折叠知：∠BAE=∠EAM=∠BAM，∠DAF=∠MAF=∠DAM， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠EAF=∠EAM+∠MAF=∠BAM+∠MAD=（∠BAM+∠MAD）=∠BAD=45°， 故答案为：45； ②由折叠知：BE=EM，DF=MF， ∵EF=ME+MF， ∴EF=BE+DF； 故答案为：EF=BE+DF； 【分析】（1）①由正方的性质可得∠BAD=90°，由折叠知：∠BAE=∠EAM，∠DAF=∠MAF，从而得出∠EAF=∠EAM+∠MAF=∠BAD，继而得解； ②由折叠知BE=EM，DF=MF，利用EF=ME+MF即可求解； （2）①易证△ANF为等腰直角三角形，再用ASA证△ANP≌△FNE，可得AP=EF，利用线段的和差即可求解； ②先求出，再利用直角三角形的性质可得AE=2BE，由勾股定理得，据此即可求出BE的长. 【变式3-3】．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9 ∴EC=3； ∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处， ∴∠C=90°，DH=EH， 设CH=x，则DH=EH=9-x， 在Rt△ECH中 CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2 解之：x=4， ∴CH的长为4. 故答案为：B. 【分析】利用已知求出EC的长，利用正方形的性质和折叠的性质可得到∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的长. 【变式3-4】．如图，正方形的边长是10，点E在边上，点F是边上，，把沿折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为　 　． 【答案】，4 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵恰为等腰三角形， ①当FB´=FC时，FB´=4； ②当B´C=FC=4时，由题意知AB´=AB=10， ∴AB´+B´C=14， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB´+B´C的最小值为AC=， 而， 故此情况不存在，舍去； ③当CB´=FB´时，过点B´作MN∥DC交AD于M，交BC于N，过点B´作PG∥BC交AB于P，交DC于G，过点F作FH⊥MN交MN于H． ∵FC=4， ∴HN=FC=4， ∵CB´=FB´， ∴FG=GC=2， ∵DC=10， ∴DG=DC-GC=8， ∴AP=DG=8， 在Rt△APB´中， PB´=， ∵PG=BC=10， ∴B´G=PG-PB´=4， 在Rt△FGB´中， FB´=． 综上所述，FB´的长为，4． 故答案为：，4． 【分析】根据等腰三角形的性质结合题意进行分类讨论：①当FB´=FC时，②当B´C=FC=4时，③当CB´=FB´时，过点B´作MN∥DC交AD于M，交BC于N，过点B´作PG∥BC交AB于P，交DC于G，过点F作FH⊥MN交MN于H，进而结合正方形的性质、勾股定理进行线段的计算即可求解。 【类型4 平行四边形的折叠】 【例4-1】．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）解：①由折叠得 ， ②由①知， 过点D作延长线于点H，则∠H=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB=8，AB∥CD， ∴∠B=∠DCH=60°， ∴∠CDH=30°， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K． 易得四边形为平行四边形，四边形KHDG是矩形， ∴设，则， 由（1）知， ， 在中，， 同（1）中方法得， ． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）①由折叠性质得，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠1，则可得∠2=∠DAE，从而由等角对等边可得结论； ②过点D作DH⊥BC延长线于点H，由平行四边形性质得DC=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DCH=60°，则∠CDH=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH，然后利用勾股定理算出EH，最后根据线段和差求解即可； （2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，设，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形，由矩形对边相等得HK=DG=x，由线段和差算出EH=17，根据勾股定理算出GE，由（1）的方法得AG得长，进而即可算出BE的长. （1）解：①由折叠得 ， ②由①知， 过点D作延长线于点H， ， 在中，， 在中，， ， （2）延长交的延长线于点G， 过点G作于点H，过点D作于点K． 根据题意得四边形为平行四边形， ∴设，则， 由（1）知， ， 在中，， 同（1）中方法得， ． 【例4-2】．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）4；12 （2）16 （3）解：连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】 （1）解：由折叠可知，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵ ， ∴完美矩形的面积为： ； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【分析】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BF=DF，CG=DG，代入数据求出，再根据，将△ABC的面积转化，即可求出完美矩形的面积； （2）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BE=HE，CF=HF，代入数据求出，根据折叠的性质可知：，代入数据求出：，根据矩形的面积公式得出：代入数据求出AE的长，再根据矩形周长公式：，代入数据即可得到矩形的周长； （3）连接，由平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等可知：AB=长度，AB∥CD，再根据折叠的性质和中点的定义可知：AE=DG，AE∥DG，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD=EG，在根据矩形的性质：矩形的对角线相等且平分可知：EG=FH，等量代换得：AD=FH=15，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【变式4-1】．如图，将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求证：． 【答案】（1）证明：由折叠知：∠DAE=∠D'AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠ED'A， 在平行四边形ABCD中，DE∥AD'，CD=AB， ∴∠DEA=∠EAD'， ∴∠DAE=∠D'AE=∠DEA=∠D'EA， ∴∠D'AD=∠DED'， ∴四边形ADED'是平行四边形， ∴DE=AD'， ∴CD-DE=AB-AD'，即CE=BD'， ∵CE∥BD'， ∴ 四边形是平行四边形． （2）证明：∵平分， ∴∠CBE=∠EBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∵∠DAE=∠BAE， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°， ∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）由折叠及平行线的性质可推出∠DAE=∠D'AE=∠DEA=∠D'EA，从而得出∠D'AD=∠DED'，可证四边形ADED'是平行四边形，可得DE=AD'，从而得出CE=BD'，利用一组对边平行且相等即证四边形是平行四边形． （2）由角平分线的定义及平行线的性质可求∠EAB+∠EBA=90°，从而得出∠AEB=90°，利用勾股定理即证结论. 【变式4-2】．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求： （1）∠D'EF的度数； （2）线段AE的长． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形．∠B=∠D= 60°，AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB．∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处， ∴∠D= ∠ED'G= 60°， ∠DEF= ∠D' EF， ∴∠D'EF= ∠EFB．∵∠BGD' =32°，∵∠D'GF= 148°．∴∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360°，∴∠D'EF= 76°． （2）解：如图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H， 设AE=×，∴DE=8-×=D'E ∵AD∥BC， ∴∠HAD=∠B= 60°，且EH⊥AB， ∴AH=x，HE=x。 ∵点D'是AB的中点， ∴AD'=， ∴D'H=AD'+AH=：在Rt△EHD'中，HE2+D'H2=D'E2， ∴=(8-x)2，∴x=，∴AE= 【知识点】平行线的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到：然后根据折叠的性质得到：即最后根据四边形的内角和为360°，即可求解； （2）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，设AE=×，则DE=8-×=D'E，根据三角形三角函数得到：进而可求出AD'和D'H的长度，在中，根据勾股定理得到据此得到方程，即可求解. 【变式4-3】． 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）解：①由折叠得 ， ②由①知， 过点D作延长线于点H， ， 在中，， 在中，， ， ． （2）解：延长交的延长线于点G， 过点G作于点H，过点D作于点K． 由题可证四边形为平行四边形，∴设，则， 由（1）知， 在中，， 同（1）中方法可证得， ． 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】(1)①由折叠性质可得∠1=∠2，由平行四边形对边平行可得AD∥BC，两直线平行内错角相等可得∠1=∠DAE，等量变换可得∠2=∠DAE，等角对等边即可得到AD=DE； ②解直角三角形CDH可得CH、DH长，在直角三角形DEH根据勾股定理可得EH长，由EC=EH-CH求出EC长，根据BE=BC-EC即可求出； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BEGD是平行四边形，平行四边形对边相等可设BE=DG=KH=x，GH=DK=，进一步求出EH长，根据勾股定理可求出GE长，进而得到AG长，根据DG=AG-AD可求出DG长，即可得BE长. 【变式4-4】如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 . （1） 连结 交 于点 ， 连结 . ①求证： . ②若 ， 求 的长. （2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值. 【答案】（1）解：①在 中， ②解：过 作 于 在 Rt 中， 连接 交 于 由折叠可知 又 是 ' 的中位线 是 的中垂线 （2）解：①如图：当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC 由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF ∴EF∥DG ∵AD∥BC ∴四边形EFGD为平行四边形 ∴EF=DG 由（1）知：DG=CG=4 ∴OF= ∴ ∴CF=BC-BF=7-=1.5 ∴C'C=2CF=3 ②如图：当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC 由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H ∵BO = DO ∴OH∥AB，即：EF∥AB ∴CC'⊥AB ∵∠ABC=45° ∴△BCC'是等腰直角三角形 ∴CC'= ③当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H ∵∠ABC =45° ∴△ABH是等腰直角三角形 ∴AH=BH =4 ∴CH=BC-BH=3 在Rt△ACH中 综上所述： 或 5 或 . 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质：AD=BC，，又因为：AE=CF，得出：DE=BF，因此，得到OB=OD （2）过 作 于 ，根据平行四边形的性质：得出：，即：△DCH为等腰直角三角形，因为DC=，得出CH=DH=4，在直角三角形BDH中，根据勾股定理：计算出BD的长，又折叠可知： 根据中位线性质得出：，得出 是 的中垂线，即可得出： （3）本题需要分类讨论： 当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC，由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF，得出：四边形EFGD为平行四边形，故EF=DG，这样OF=2，再根据勾股定理：，计算出BF，算出CF，再乘以2即可 当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC，由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H，得出OH是△AC'C的中位线，得出：EF∥AB，因此：CC'⊥AB，即：△BCC'是等腰直角三角形，故可以计算出：CC'= 当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H，得出：△ABH是等腰直角三角形，即：AH=BH =4，再根据勾股定理：，计算CC'即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$