2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第17章勾股定理微专题二 利用勾股定理解决最短路径问题

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题二 利用勾股定理解决最短路径问题 类型归纳 【类型1 平面内最短路径问题】 【类型2 圆柱中最短路径问题】 【类型3 长方体中最短路径问题】 【类型4 阶梯问题】 【类型5 构造图形，求代数式的最小值】 典例精析，跟踪训练 【类型1 平面内最短路径问题】 【例1】．如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），求这束光从点A到点B所经过路径的长． 【变式1-1】．如图，点P是等边的边的中点，点M是内一点，且，连接，以为边在右侧作等边，连接，若，当的长是　 　时，最短． 【变式1-2】．如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是　 　． 【变式1-3】．如图，已知AB＝2 ，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°.P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为　 　（结果保留根号）. 【类型2 圆柱中最短路径问题】 【例2】．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【变式2-1】．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【变式2-3】．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？ 【变式2-4】．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？ 【类型3 长方体中最短路径问题】 【例3】．如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（　　） A．6cm B． C．13cm D．17cm 【变式3-1】．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点)，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？ 【变式3-2】．如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【变式3-3】．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． （1）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是　 　； （2）问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【变式3-4】． 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为　 　． 【类型4 阶梯问题】 【例4】．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【变式4-1】．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是　 　． 【变式4-2】．如图，台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 .一只蚂蚁从 点爬到 点，最短路程是　 　. 【变式4-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是　 　dm. 【变式4-4】．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（　　）米 A． B． C．5 D． 【类型5 构造图形，求代数式的最小值】 【例5】．请阅读下列材料 问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A'，使点A'、B分别位于直线l的两侧，再连接A'B，根据“两点间线段最短”可知A'B与直线l的交点P即为所求． （1） 如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP=1，AC=1，PD=2，求出AP+BP的值： （2） 将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值： （3） 请结合图形，求 的最小值． 【变式5-1】数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示_________ ； ②据此写出的最小值是 _____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ________． 【变式5-2】【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 【变式5-3】跨学科：一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题二 利用勾股定理解决最短路径问题（解析版） 类型归纳 【类型1 平面内最短路径问题】 【类型2 圆柱中最短路径问题】 【类型3 长方体中最短路径问题】 【类型4 阶梯问题】 【类型5 构造图形，求代数式的最小值】 典例精析，跟踪训练 【类型1 平面内最短路径问题】 【例1】．如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），求这束光从点A到点B所经过路径的长． 【答案】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D， ∵A（0，2），B（4，3）， ∴OA=2，BD=3，OD=4， 根据题意得：∠ACO=∠BCD， ∵∠AOC=∠BDC=90°， ∴△AOC∽△BDC， ∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3， ∴OC= OD= ×4= ， ∴AC= = ， ∴BC= ， ∴AC+BC= ．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为 ． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】首先过点B作BD⊥x轴于D，由A（0，2），B（4，3），即可得OA=2，BD=3，OD=4，由题意易证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，又由勾股定理即可求得这束光从点A到点B所经过的路径的长． 【变式1-1】．如图，点P是等边的边的中点，点M是内一点，且，连接，以为边在右侧作等边，连接，若，当的长是　 　时，最短． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，连接，， 则是等边三角形，则，， ∴当最短时，最短， 依题意，点是内一点，且， 由三角形三边关系可知，，当在上时，取等号， ∴当在上时，取得最小值， ∵点是等边的边的中点，则，， ∴，， 即：，， ∴平分， ∴，，即：垂直平分， 在中，，则 ∴，即当的长是时，最短． 故答案为：． 【分析】如图所示，连接，，根据等边三角形的性质可得，即可得出当AM最小时，MN最短，根据两点之间线段最短，可得，即当在上时，取得最小值，根据等边三角形的性质可得AC垂直平分AC，即可得出CN=CM，然后根据勾股定理，求出CM的长度，即可得出CN的长度. 【变式1-2】．如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是　 　． 【答案】 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；一次函数中的动态几何问题 【解析】【解答】解：连接OA交CB于点M1， ∵AM+OM≥OA， 当AM+OM=OA时，即点A，M，O三点共线时，AM+OM最短， 设OA的解析式为y=kx（k≠0）， ∴3k=3， 解之：k=1， ∴y=x， 解之： ∴点M1（1，1）， ∴. 故答案为：. 【分析】连接OA交CB于点M1，利用两点之间线段最短，可知当点A，M，O三点共线时，AM+OM最短，利用待定系数法求出直线OA的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点M1的坐标，然后利用直角坐标系内两点的距离公式，可求出AM的长. 【变式1-3】．如图，已知AB＝2 ，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°.P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为　 　（结果保留根号）. 【答案】 【知识点】勾股定理；菱形的性质；偶次方的非负性 【解析】【解答】解：连接PC、CQ. ∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°， ∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°， ∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点， ∴∠ECP＝ ∠ACE，∠FCQ＝ ∠BCF， ∴∠PCQ＝90°， 设AC＝2a，则BC＝ ﹣2a，PC＝a，CQ＝ BC＝ ∴PQ＝ ∴当a＝ 时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是 . 故答案为： . 【分析】连接PC、CQ.首先证明∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝ ﹣2a，PC＝a，CQ＝ BC＝ ，利用勾股定理即可解决问题. 【类型2 圆柱中最短路径问题】 【例2】．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】解：如图，将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【分析】将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【变式2-1】．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质 【解析】【解答】解：如图是圆柱侧面展开图的一半ECGH，作点A关于EH的对称点A'，连接A'B，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为A'B的长， 由题意得A'D=8cm，DH=A'E=AE=4.5cm，BD=BH+DH=15-4.5+4.5=15cm， ∴A'B===17cm， 故答案为：A. 【分析】将圆柱侧面展成平面图形，确定点A、B的位置，作点A关于EH的对称点A'，连接A'B，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为A'B的长，利用勾股定理求出A'B的长即可. 【变式2-2】．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【答案】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是. 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】由题意，得，，，利用勾股定理即可求出AC的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解. 【变式2-3】．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？ 【答案】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为五个长方形并排后的长方形的对角线长， 圆柱高2米，底面周长0.3米， 解得 ， 长藤长至少是2.5m. 答：长藤长至少是2.5m. 【知识点】算术平方根；几何体的展开图；勾股定理 【解析】【分析】利用圆柱体的侧面展开图可知螺旋线长为五个长方形并排后的长方形的对角线长， 设对角线的长为x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值. 【变式2-4】．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？ 【答案】解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= （cm）． 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【类型3 长方体中最短路径问题】 【例3】．如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（　　） A．6cm B． C．13cm D．17cm 【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图所示，连接AG，则AG的长即为A处到G处的最短路程． 在Rt△ACG中， ∵AC=AB+BC=12cm，CG=5cm， ∴AG===13cm． ∴需要爬行的最短路径是13cm． 故答案为：C． 【分析】将AB边所在竖面与BC边所在竖面展平，连接AG，计算出AG的长，就是最短距离；根据已知数据得到展开平面相关线段的长，利用勾股定理进行计算. 【变式3-1】．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点)，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】解：将长方体侧面展开如下图， 据图可知，连接A，B，根据两点之间线段最短，可知从A开始经过4个侧面缠绕一圈到B所用细线最短为cm， ∴如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边长分别为8n和3，那么根据勾股定理可知所用细线最短为. 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）将该长方体侧面展开如图，再根据勾股定理即可求解AB的最短距离； （2）从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则直角三角形的长两条直角边长分别为8n和3，再利用勾股定理即可求解. 【变式3-2】．如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】解：将长方体沿CH，HE，BE剪开翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1 由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm， 在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=25cm， 将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM， 如图2，由题意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm， 在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=5 cm， 将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折，连接AM，如图3， 由题意得：AC=AB+BC=10+20=30（cm），MC=5cm， 在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=5 cm， ∵25＜5 ＜5 ， 则需要爬行的最短距离是25cm. 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【分析】将立体图形展开成平面图形，然后根据两点之间线段距离最短，利用根据勾股定理进行求解，根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较. 【变式3-3】．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． （1）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是　 　； （2）问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】（1）两点之间线段最短 （2）解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型 【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接解题即可； （2）根据勾股定理，可直接求出AC的长. 【变式3-4】． 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为　 　． 【答案】26 【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：根据题意得，彩带绕侧面一圈到AB的中点C'时，彩带最短，如图， ∴ AC'= 同理，C'E=13， ∴ 彩条的最短长度为26cm. 故答案为：26. 【分析】先将立体图形展开为平面图形，再根据两点之间线段最短和勾股定理，即可求得. 【类型4 阶梯问题】 【例4】．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，. 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm. 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】将台阶展开，由题意得：AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，根据勾股定理可得AB的值，据此解答. 【变式4-1】．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是　 　． 【答案】130cm 【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图，将立体几何展开可得： 壁虎爬行的最短路线即是线段AB的长， 根据题意可得：AC=50，BC=120， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得： ， 故答案为：130cm. 【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可. 【变式4-2】．如图，台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 .一只蚂蚁从 点爬到 点，最短路程是　 　. 【答案】130cm 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示， ∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm， ∴ (cm) 即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm. 故答案为：130cm. 【分析】将几何体展开，可得蚂蚁爬行的最短路程为长为50cm，宽为2×(20+40)=120cm的长方形的对角线上，结合勾股定理求解即可. 【变式4-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是　 　dm. 【答案】25 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】如图所示. ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长. 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25. 故答案为：25. 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可. 【变式4-4】．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（　　）米 A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 【分析】将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【类型5 构造图形，求代数式的最小值】 【例5】．请阅读下列材料 问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A'，使点A'、B分别位于直线l的两侧，再连接A'B，根据“两点间线段最短”可知A'B与直线l的交点P即为所求． （1） 如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP=1，AC=1，PD=2，求出AP+BP的值： （2） 将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值： （3） 请结合图形，求 的最小值． 【答案】（1）解：过点B作BE⊥l，过点A＇作A＇E⊥BE于点E。 由题意可知四边形CA＇ED是矩形 ∴CD=A＇E ∵PC=1，PD=2 ∴A＇E=CD=PC+PD=1+2=3 ∵AC=CP=1 ∴△ACP是等腰直角三角形， ∵点A关于直线l的对称点A'， ∴△PCA＇是等腰直角三角形，AP=A＇P，AC=A＇C=DE=1 ∴∠CPA＇=∠BPD=45° ∴AP+BP=A＇B ∴△BPD是等腰直角三角形， ∴PD=BD=2 ∴BE=BD+DE=2+1=3 ∴A＇B=； ∴AP+BP的值为； （2）解：过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E， ∴A＇E=CD=PC+PD=1+2=3，DE=AC=A＇C∵BD=4-AC∴BD+AC=4=BD+DE=BE=4 在Rt△A＇BE中；∴ AP+BP的值为5； （3）解：∵△ACP和△BPD是直角三角形， 设AC=1，CP=m-3， ∴AP= 设BD=2，DP=9-m ∴ ∵AP=A＇P ∴的最小值就是A＇E的长， 过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E， ∵A＇E=CD=PC+PD=m-3+9-m=6，BE=BD+DE=BD+AC=2+1=3 ∴的最小值= 【知识点】勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥l，过点A＇作A＇E⊥BE于点E。 易证四边形CA＇ED是矩形，可得到CD=A＇E，就可求出A＇E的长，利用已知条件易证△PCA＇和△BPD是等腰直角三角形，从而可求出BE的长，然后利用勾股定理求出A＇B的长，继而可求解。 （2）过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E，先求出A＇E的长，由BD=4-AC，可得到BE的长，再利用勾股定理求出A＇B的长，即可得到AP+BP的值。 （3）利用已知条件可设AC=1，CP=m-3，BD=2，DP=9-m，可得到AP和BP的值，因此可得的最小值就是A＇E的长即的值，过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E，就可得到A＇E和BE的长，然后代入计算可求值。 【变式5-1】数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示_________ ； ②据此写出的最小值是 _____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ________． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）10；（3） 【分析】（1）先把原式化为 的形式，再根据材料结论即可得出结果； （2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果； （3）先过点A作于点H ，设，在和中，根据勾股定理表示出，，再根据材料结论即可得出结果． 【详解】解：（1）原式化为 ， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 故答案为： （2）式化为 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，最小值为的长度，， 故答案为：10． （3） 如图，过点A作于点H ，设， 在等腰直角中，，， ∴，， 在和中，根据勾股定理得： ， ， ∴， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，为线段的长度， 直线的函数解析式为：， 时，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 【变式5-3】跨学科：一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$