第5章 专题10 与等腰三角形相关的分类讨论-【初中必刷题】2024-2025学年七年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 七年级下册 BS 1 2 第五章 图形的轴对称 3 专题10 与等腰三角形相关的分类 讨论 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 类型1 遇边或角需讨论 1.［中］若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个等腰三角形的周长是 ( ) D A. B. C.或 D.或 【解析】当腰长为时，长为，， 的三条线段能组成三角形，此 时等腰三角形的周长为；当腰长为时，长为， ， 的三条线段能组成三角形，此时等腰三角形的周长为 .故 这个等腰三角形的周长为或 .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 关键点拨 没有明确等腰三角形中腰和底边的题目一定要考虑两种情况，进行分类讨论，还 应验证各种情况是否能组成三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2023山东聊城校级期中，中】已知等腰三角形的一个角为 ，则底角等于 __________. 或 【解析】①当底角为 时， ，该情况成立；②当顶角为 时，底角为 .综上所述，底角为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 类型2 遇高、中线或垂直平分线需讨论 3.［中］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形底角的 度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】由题意得在等腰中，，为腰 上的高， .当在 内部时， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 如图（1）.因为，所以 ，所以 .因为 ，所以 .当在 外部时， 所以 .综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 或 . 故选C. 如图（2）.因为，所以 ，所以 .因 为，所以.因为 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 关键点拨 注意分两种情况讨论：①当在内部时；②当在 外部时. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.【2024湖北武汉武昌区校级期中，较难】已知等腰三角形中， ， 两腰的垂直平分线交于点， ，则等腰三角形的顶角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】分两种情况：当点在内部时，如图（1），连接 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 因为和的垂直平分线交于点，所以，所以 ， ，.因为 ，所以 .因为 ，所 以 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 当点在外部时，如图（2），连接.因为和的垂直平分线交于点 ， 所以，所以，.因为 ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 .综 上所述，等腰三角形的顶角为 或 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 5.［中］已知等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长分为两 部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的腰长为____ . 15 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 【解析】如图，在等腰中，设.因为 是中线， 所以.当时， ， 解得.长为，， 的三条线段能够组成三角形.当 时，，解得.长为 ， ，的三条线段不能组成三角形.故这个三角形的腰长为 .故答案为 15. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 类型3 遇动态问题需讨论 6.［较难］如图，直线，相交于点， ，点是直线 上的一个定点， 点在直线上运动，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 的度 数是______________________. 或 或 或 （第6题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】如图，分情况讨论：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ；④当 时， 易得 .综上所述，的度数是 或 或 或 .故答案为 或 或 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 关键点拨 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时;②当 时; ③当 时，不要漏解． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （第7题图） 7.［较难］如图，在中，， ，边 绕点顺时针旋转得到线段，连接, .若 为等腰三角形，则 所有可能的取值是_______________. 130或100或160 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 【解析】由旋转的性质得.因为 为等腰三角形，所以分三种 情况：①当时，易得 ，所以 ；②当时，易得 ，所以 ；③当 时，易得 ，所以 ，所以.综上所述, 所有可能的取 值为130或100或160.故答案为130或100或160. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型4 构造等腰三角形时需讨论 8.【2024山东潍坊期末，中】在中， ，的垂直平分线交 于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点.当 是等腰 三角形时，与 之间的数量关系不可能是( ) C A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 【解析】因为的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ，所以 ，，所以，，所以易得 ， .当是等腰三角形时，分三种情况：①当 时， ，所以，所以 ，故选项D不符合题意；②当 时，，所以 ，所以 ，所以 ，故选项A不符合题意；③当 时，同理可得到 ，故选项B不符合题意.由已知条件无法 得到 ，故选项C符合题意.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 9.［中］如图，有一张三角形纸片， ，是边上一点，沿 方 向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的度数可以是____ ____________. 或 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 【解析】由题意知与 均为等腰三角形，分情况讨论如下： 时， ，所以 ，所以 ; 时， ，所以 ， 所以 ;时， ,所以 ，所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 ， 所以 .综上所述，的度数可以为 或 或. 故 答案为 或 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 刷有所得 注意剪切角度不同得到的等腰三角形的底角可能不同，需要分类讨论，不要漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 10.［较难］如图，在边长为4的正方形中，请画出以 为一个 顶点，另外两个顶点在正方形 的边上，且一边长为3的所有大 小不同的等腰三角形.（要求：只画出示意图，并在所画等腰三角形 长为3的边上标注数字3） 【解】满足条件的所有图形如图（1）~（5）,共5个. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 关键点拨 需要分别讨论 是顶角顶点还是底角顶点，也要讨论腰长为3还是底边长为3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 $$