（单元讲义）第四单元 比例（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例;若比值不相等，则不能组成比例。 3、组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 【知识点三】比例的基本性质和解比例 1、比例的基本性质。 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。 (2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b=c∶d，那么比例的基本性质可以表示成a×d=b×c。 2、解比例。 (1)求比例中的未知项，叫作解比例。 (2)解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。 【知识点四】比例尺 1、比例尺的意义及分类。 (1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 (2)比例尺的数量关系式。 图上距离∶实际距离=比例尺或=比例尺 (3)常见的有数值比例尺和线段比例尺。 2.比例尺的应用。 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义来求，也可以根据“=实际距离”直接列式计算。 【考点一】图形的放大和缩小 【典例一】根据图意可知，下面4种描述中正确的有（    ）。 ①图A按4∶1放大得到图B ②图B按1∶2缩小得到图C ③图C按2∶1放大得到图B ④图A按2∶1放大得到图C 【分析】根据题图可知，图A按4∶1放大得到图B，则图B按1∶4缩小得到图A；图B按1∶2缩小得到图C，图C按2∶1放大得到图B；图A按2∶1放大得到图C，图C按1∶2缩小得到图B，据此解答即可。 【解答】①图A按4∶1放大得到图B，说法正确； ②图B按1∶2缩小得到图C，说法正确； ③图C按2∶1放大得到图B，说法正确； ④图A按2∶1放大得到图C，说法正确； 故答案为：D。 【点评】本题考查了图形放大与缩小的知识点，要明确图形放大与缩小中比的含义。 【典例二】图形A按( )的比例缩小后可以得到图形B；图形A与图形B的面积比是( )。 【分析】将一个多边形按比例缩小，是按边长的比例缩小的。用缩小后的图形B的底边长比原来的图形A的底边长，或图形B的高比原来的图形A的高，即可求得缩小的比例；将数据带入三角形的面积公式分别求出两个三角形的面积，写出比并化简即可。 【解答】4cm∶12cm＝1∶3 所以图形A按1∶3的比例缩小后可以得到图形B； 12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（平方厘米） 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 面积比是：54平方厘米∶6平方厘米＝9∶1 【点评】本题主要考查图形的方法与缩小，解题时注意区分图上距离（缩小大后的图形）与实际距离（原图形）。 【典例三】已知点A用数对表示为（3，6），按要求填一填，画一画。 （1）点B用数对表示为（    ），点C用数对表示为（    ）。 （2）将图形①先向下平移3格，再向右平移2格。 （3）将图形①绕点C顺时针旋转90°。 （4）将图形①放大，使得放大后的图形与原图形对应线段长的比是2∶1。 【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可用数对表示出点B和点C。 （2）根据平移的特征，把图形①各顶点分别向下平移3格，再向右平移2格，依次连结即可得到向下平移3格，再向右平移2格后的图形。 （3）根据旋转的特征，图形①绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （4）按2∶1把图形①放大，则放大后的图形各边的长度是图形①的2倍。 【解答】（1）B（1，4）；C（5，4） （2）（3）（4）如下图所示： 【点评】本题考查的知识点比较多，要熟练掌握图形的旋转，平移的画法以及图形的放大和用数对表示位置的方法并灵活运用。 【考点二】比例的意义 【典例一】下面各组数中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．30∶6和1∶5 B．15∶9和1.6∶2.4C．∶和∶ D．1.5∶2和3∶4.5 【分析】比例的意义：比值相等的两个比叫做比例。据此解答。 【解答】A．30∶6＝5，1∶5＝，5≠，所以不能组成比例； B．15∶9＝，1.6∶2.4＝，≠，所以不能组成比例； C．∶＝，∶＝，＝，所以可以组成比例； D．1.5∶2＝，3∶4.5＝，≠，所以不能组成比例。 故答案为：C 【点评】熟练掌握比例的意义：比值相等的两个比叫做比例是解题的关键。 【典例二】6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例( )。 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；用6个矿泉水空瓶可以换2包糖，所以每包糖的可以换（6÷2）瓶矿泉水瓶，用比表示就是6∶2；用21个矿泉水空瓶可以换x包糖，所以每包糖的可以换（21÷x）瓶矿泉水空瓶，用比表示就是21∶x；两个比的比值相等，据此写出比例（答案不唯一）。 【解答】根据分析可知，6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例：6∶2＝21∶x。 【点评】熟练掌握比例的意义并能灵活运用。 【典例三】小花为妈妈调制了两杯糖水，第一杯用了25g糖和200g水，第二杯用了30g糖和250g水。聪明的你能回答下面两个问题吗？ （1）分别写出每杯糖水中糖与水的质量比，看它们能否组成比例。 （2）按照第一杯糖水中糖与水的质量比计算，300g水中应加入糖多少克？ 【分析】（1）求出两杯糖水中糖与水的比值，如果比值相等可以组成比例，如果比值不相等不可以组成比例； （2）根据水的质量求出第一杯糖水中糖与水的质量比中每份的量，糖的质量＝每份的量×糖所占的份数，据此解答。 【解答】（1）第一杯：25∶200＝（25÷25）∶（200÷25）＝1∶8＝ 第二杯：30∶250＝（30÷10）∶（250÷10）＝3∶25＝ 因为≠，所以不能组成比例。 答：两杯糖水中糖与水的质量比不能组成比例。 （2）300÷8×1 ＝37.5×1 ＝37.5（g） 答：300g水中应加入糖37.5克。 【点评】掌握比例的意义和按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 【考点三】比例的基本性质和解比例 【典例一】甲的50%和乙数的40%相等（甲、乙均不为零），则甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 【分析】根据求一个数的百分之几是多少，得出：甲×50%＝乙×40%，运用比例的基本性质把等积式转化为比例式，再利用比的基本性质得出甲、乙的最简比，进而比较甲、乙两数所对应的份数得出答案。 【解答】甲×50%＝乙×40%，则甲∶乙＝40%∶50%＝4∶5； 因为：4＜5，所以：甲数＜乙数。 故答案为：B 【点评】此题重点考查求一个数的百分之几是多少和比例基本性质的灵活运用。 【典例二】把甲图形按一定比例缩小成为乙图形，则x＝( )。 【分析】根据图形放大与缩小的方法以及比例的意义可知：把这个长方形按照一定比例缩小后，对应边的比值相等；据此可列出比例6∶4.8＝9∶x，解比例即可。 【解答】6∶4.8＝9∶x 6x＝4.8×9 6x＝43.2 x＝43.2÷6 x＝7.2 【点评】根据图形放大与缩小的方法列出比例，用解比例方法求值即可。 【典例三】盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 【分析】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3，假设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子数量不变，黑棋子变为（3x－6）枚，这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，据此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。 【解答】解：设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚， 2x∶（3x－6）＝5∶6 5×（3x－6）＝2x×6 15x－30＝12x 15x－12x＝30 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 3×10＝30（枚） 答：盒子里原有30枚黑棋子。 【点评】此题通过题目中的数量关系，巧设未知数，列出比例式，结合比的应用，解决问题。 【考点四】比例尺 【典例一】在一幅比例尺为1∶1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（    ）。 A．55米 B．10千米 C．55千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可，注意单位的换算：1千米＝100000厘米。 【解答】5.5÷＝5500000（厘米） 5500000厘米＝55千米 故答案为：C 【点评】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。 【典例二】我县要新建一所学校，设计师以1∶1000的比例画出学校的平面设计图，量得图纸上学校的南北长是52厘米，东西宽是49厘米。 （1）这所学校实际的长和宽各是多少米？ （2）这所学校的实际占地面积是多少平方米？合多少公顷？ 【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求得长和宽的实际距离各是多少； （2）再根据长方形的面积＝长×宽，进行解答即可。 【解答】（1）52÷＝52000（厘米） 52000厘米＝520米 49÷＝49000（厘米） 49000厘米＝490米 答：这所学校实际的长是520米，宽是490米。 （2）520×490＝254800（平方米） 254800平方米＝25.48公顷 答：这所学校的实际占地面积是254800平方米；合25.48公顷。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 【典例三】如图是孔明同学画的他家小区的简单示意图： ①孔明家到学校的实际距离是1.5千米，在图上是3厘米，那么这幅示意图画的比例尺是（    ）。 ②孔明家到健身中心的图上距离是6厘米，实际距离是（    ）千米。 ③电影院在孔明家正北方向1.8千米处，请在图中画出来。 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求解；实际距离1.8千米，换算成图上距离，再根据方向和角度作图即可。 【解答】①此图的比例尺是：3厘米∶1.5千米＝3厘米∶150000厘米； ②家到健身中心实际距离是：（厘米）（千米）； ③1.8千米＝180000厘米 （厘米） 又因电影院在孔明家正北方向， 所以电影院的位置如下图所示： 【点评】熟记比例尺的公式是解题的关键。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）看图填一填。 图中②号三角形短直角边的长度是①号三角形短直角边的（ ）倍，把①号三角形按（ ）∶（ ）的比放大可以得到②号三角形。 【答案】2 2 1 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。用②号三角形短直角边的长度÷①号三角形短直角边的长度，求出倍数关系，进而确定①号三角形是按什么比放大得到②号三角形。 【解答】4÷2＝2 图中②号三角形短直角边的长度是①号三角形短直角边的2倍，把①号三角形按2∶1的比放大可以得到②号三角形。 2．（2分）在比例8∶5＝24∶15中，第一个比的前项增加4，要使比例成立，第二个比的前项应该增加（ ）。 【答案】12 【分析】先算出变化后的第一个比的前项，再根据比例的基本性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积，算出变化后第二个比的前项，最后用变化后第二个比的前项减去24，即可解答。 【解答】8＋4＝12 12×15÷5 ＝180÷5 ＝36 36－24＝12 第二个比的前项应该增加12。 3．（2分）一条飞机跑道长2.5千米，把它画在比例尺为1∶50000的图纸上，这条飞机跑道应画（ ）厘米。 【答案】5 【分析】先把2.5千米化成250000厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据解答即可。 【解答】2.5千米＝250000厘米 250000×＝5（厘米） 所以这条飞机跑道应画5厘米。 4．（2分）《中华人民共和国国旗法》规定：国旗长和宽的比是3∶2，国旗的通用尺寸为五种，各界酌情选用。1号国旗长288cm，宽（ ）cm；4号国旗长（ ）cm，宽96cm。 【答案】192 144 【分析】把国旗的长或宽设为未知数，根据国旗长和宽的比是3∶2，用比例的知识解答，并利用比例的基本性质求出未知数，据此解答。 【解答】解：设1号国旗的宽为xcm。 288∶x＝3∶2 3x＝288×2 3x＝576 x＝576÷3 x＝192 所以，1号国旗长288cm，宽192cm。 解：设4号国旗长ycm。 y∶96＝3∶2 2y＝96×3 2y＝288 y＝288÷2 y＝144 所以，4号国旗长144cm，宽96cm。 【点评】解题时也可以根据按比例分配的解题方法求出长或宽的长度。 5．（2分）如图，把中间的长方形分别按比缩小和放大后得到了左、右两个长方形。写出一个含有x的比例（ ），图中y＝（ ）。 【答案】 （答案不唯一） 12 【分析】根据图形的放大和缩小可知，长宽之比的比值相等，据此列出比例即可，再求出y的之即可。 【解答】含有x的比例：（答案不唯一） 含有y的比例： 【点评】本题考查比例，解答本题的关键是掌握比例的概念。 6．（2分）在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.25，另外一个内项是（ ）。 【答案】4 【分析】倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此解答。 【解答】两个内项互为倒数，则它们的乘积是1， 1÷0.25＝4 在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.25，则另一个外项是4。 7．（2分）从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：（ ）和（ ）。 【答案】1∶2＝10∶20 2∶4＝5∶10 【分析】先求出20的因数，从这几个数中，选出四个，每两个组成比，根据比例的意义，如果这两个比的比值相同，这四个数就组成一个比例（答案不唯一）。 【解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 组成的比例：1∶2＝10∶20 2∶4＝5∶10 从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：1∶2＝10∶20和2∶4＝5∶10。（答案不唯一） 8．（2分）一幅图的比例尺是。在这幅图上量得一个圆形水池的直径是2厘米，这个水池实际的占地面积是（ ）平方米。 【答案】7850 【分析】从线段比例尺可以看出，图上1厘米代表实际距离50米，化成数值比例尺，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出这个圆形水池的实际直径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出水池的占地面积。 【解答】1厘米∶50米 ＝1厘米∶5000厘米 ＝1∶5000 2÷ ＝2×5000 ＝10000（厘米） 10000厘米＝100米 3.14×（100÷2）2 ＝3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 即这个水池实际的占地面积是7850平方米。 9．（2分）甲、乙两城相距150千米，在一幅地图上量得甲、乙两城之间的距离是5厘米，同时在这幅地图上量得乙、丙两城之间的距离是7厘米，乙、丙两城的实际距离是（ ）千米。 【答案】210 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，先求出这幅地图的比例尺，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答，注意单位名数的换算。 【解答】150千米＝15000000厘米 5∶15000000 ＝（5÷5）∶（15000000÷5） ＝1∶3000000 7÷ ＝7×3000000 ＝21000000（厘米） 21000000厘米＝210千米 乙、丙两城的实际距离是210千米。 10．（2分）∶和∶这两个比中，能与∶组成比例的是（ ），组成的比例的内项的积是（ ）。 【答案】∶ 【分析】（1）用比的前项除以后项求出题中比的比值，找出和∶的比值相等的比就是能组成比例的； （2）在比例里中间的两个项叫做比例的内项，找出比例的内项，求出它们的积即可。 【解答】∶= 所以∶=∶ 能∶组成比例的是∶ 在∶=∶组成的比例的内项的积是。 【点评】本题主要根据求比值的方法找出比例式和比例的内项和外。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）根据5a＝4b（a≠0），写成比例是a∶b＝5∶4。（ ） 【答案】× 【分析】根据比例的性质，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积。等式5a＝4b中的5和a可看做比例的外项，4和b可看做比例的内项，据此写成比例应是a∶b＝4∶5。 【解答】根据比例的性质，等式5a＝4b（a≠0），写成比例是a∶b＝4∶5。 故答案为：× 12．（2分）将一个圆柱的底面半径先按3∶1放大，再按1∶2缩小，高不变，这个圆柱的体积是原来的。（ ） 【答案】× 【分析】把原来的半径看作“1”，按3∶1放大后的半径为（1×3），再按1∶2缩小后的半径为（1×3×），再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出原来的圆柱的体积和现在的体积，再用现在的体积除以原来的体积，即可解答。 【解答】设原来的底面半径看作“1”，按3∶1放大后的半径为（1×3），再按1∶2缩小后的半径为（1×3×），高为h。 [π×（1×3×）2×h]÷（π×12×h） ＝[π×h]÷πh ＝ 将一个圆柱的底面半径先按3∶1放大，再按1∶2缩小，高不变，这个圆柱的体积是原来的。 故答案为：× 【点评】根据图形的放大和缩小的意义以及圆柱的体积公式进行解答。 13．（2分）比例尺是1∶4000000的图上，图上距离2厘米，表示实际距离8千米。（ ） 【答案】× 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出实际距离，再化成千米，再进行比较，即可解答。 【解答】2÷ ＝2×4000000 ＝8000000（厘米） 8000000厘米＝80千米 比例尺是1∶4000000的图上，图上距离2厘米，表示实际距离80千米。 原题干说法错误。 故答案为：× 14．（2分）能与组成比例的比有无数个。（ ） 【答案】√ 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；根据比例的意义和比基本性质进行判断即可。 【解答】∶ ＝÷ ＝×5 ＝ 根据比的基本性质可知，比值是的比有无数个，所以能与∶组成比例的比有无数个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 15．（2分）把一个长方形按2∶1放大，放大后的长方形面积是原来的4倍。（ ） 【答案】√ 【分析】根据图形放大或缩小的特征，放大的倍数是指对应边放大到原来的几倍，这个长方形按2∶1放大后，长扩大为原来的2倍，宽也扩大为原来的2倍，根据长方形的面积公式：长×宽，由此即可知道其面积扩大为原来的2×2倍。 【解答】把一个长方形按照2∶1放大，放大后的长方形的面积是原来的4倍，此说法正确。 故答案为：√ 【点评】把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前面积的比是n2∶1。 三、选择题（满分10分） 16．（2分）在比例尺是1∶200的图纸上，甲、乙两个长方形的长的比是2∶3，宽的比也是2∶3，那么它们面积的比是（    ）。 A．1∶200 B．4∶9 C．2∶3 D．2∶600 【答案】B 【分析】甲、乙两个长方形的长的比是2∶3，宽的比也是2∶3，根据长方形面积＝长×宽，（长的比的前项×宽的比的前项）∶（长的比的后项×宽的比的后项）＝它们的面积比，据此分析。 【解答】（2×2）∶（3×3）＝4∶9 它们面积的比是4∶9。 故答案为：B 17．（2分）下列说法正确的有（    ）句。 ①一幅地图的比例尺是1∶30000cm；   ②甲比乙少，则乙比甲多； ③圆锥的体积比和它等底等高圆柱体积少； ④两个比可以组成一个比例； ⑤在比例里，两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据比例尺的意义进行解答； ②把乙是1，甲比乙少，则甲是乙的（1－），用乙×（1－），求出甲；再用甲与乙的差，除以甲，即可求出乙比甲多几分之几，据此解答； ③等底等高的圆锥的体积是圆柱的，把圆柱的体积看作单位“1”，用圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答； ④根据比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。据此解答； ⑤根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】①比例尺＝图上距离∶实际距离，比例尺是两个数的比，不带单位，原题说法错误； ②设乙是1。 1×（1－） ＝1× ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 甲比乙少，则乙比甲多，原题说法错误； ③把圆柱的体积是1，则与它等底等高的圆锥的体积是； 1－＝ 圆锥的体积比和它等底等高圆柱体积少，原题说法正确； ④两个比的比值相等可以组成比例，原题说法错误； ⑤在比例里，两个外项的积＝两个内项的积，所以在比例里，两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。原题说法正确。 ③和⑤说法正确；即有2句说法正确。 说法正确的有2句。 故答案为：C 18．（2分）在比例1.5∶5＝12∶40中，如果第一个比的前项加上4.5，那么要使比例成立，第二个比的后项应（    ）。 A．加4.5 B．减4.5 C．乘4 D．除以4 【答案】D 【分析】根据题意知：内项积是12×5＝60，当第一个比的前项1.5加上4.5变成6；根据比例基本性质，那么第二个比的后项应是60÷6＝10，第二个比的原后项是40，40变为10，可以除以4，也可以减30，据此选择。 【解答】12×5÷（1.5＋4.5） ＝60÷6 ＝10 40÷4＝10 40－30＝10 第二个比的后项应除以4或减30。 故答案为：D 19．（2分）能与∶组成比例的是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C．∶3 D．4∶ 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质可知，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，分别将各选项中的比与∶组成比例，判断是否满足两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。 【解答】A．，，两个外项的积等于两个内项的积，能组成比例，符合题意； B．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意； C．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意； D．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意； 故答案为：A 20．（2分）在一幅比例尺是1∶2500000的地图上，量得两地之间的距离是4.8cm，如果将这两地画在比例尺是1∶1500000的地图上，两地之间的图上距离是（    ）cm。 A．8 B．2.4 C．7.2 D．12 【答案】A 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出这两地之间的实际距离，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，转化成另一幅地图上的图上距离。 【解答】4.8÷＝4.8×2500000＝12000000（cm） 12000000×＝8（cm） 将这两地画在比例尺是1∶1500000的地图上，两地之间的图上距离是8cm。 故答案为：A 四、计算题（满分6分） 21．（6分）解比例。                  【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷0.8即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷3即可。 【解答】 解： 解： 解： 五、作图题（满分6分） 22．（6分）操作。 （1）按2∶1的比画出长方形形放大后的图形。 （2）按1∶3的比画出平行四边形缩小后的图形。 【答案】 （1）（2）见详解 【分析】（1）原图长方形长3格，宽2格，按照2∶1的比放大后长变成3×2＝6格，宽变成2×2＝4格。据此作图即可。 （2）原图中平行四边形长6格，高3格，按照1∶3的比缩小后，长变成6÷3＝2格，高变成3÷3＝1格。据此作图即可。 【解答】 （1） （2） 六、解答题（满分48分） 23．（6分）为了满足消费者对产品科学性和美观性的要求，目前市面上大多数高清电视机屏幕长与宽的比都是16∶9，这样的比例更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。瑶瑶的妈妈给新家买了一台65英寸的电视机，量得宽81厘米，瑶瑶家的电视柜长2.5米，能不能放得下这台电视机？ 【答案】能 【分析】根据题意可知，电视机屏幕长∶宽＝16∶9，据此列出比例方程，求出65英寸电视机的长，与电视柜的长度进行比较，得出结论。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】解：设电视机的长是x厘米。 16∶9＝x∶81 9x＝16×81 9x＝1296 x＝144 144厘米＝1.44米 1.44＜2.5，所以能放得下这台电视机。 答：能放得下这台电视机。 24．（6分）快车从甲站开往乙站需要8小时，慢车从乙站开往甲站需要10小时。两车同时从两站分别开出。相向而行，相遇时，慢车行了240千米，甲乙两站之间的距离是多少千米？（用比例解） 【答案】540千米 【分析】设甲乙两站之间的距离为x千米，根据行驶时间相同（一定），路程与速度成正比例；快车行完全程用了8小时，速度为；慢车行完全程用了10小时，速度为；列出比例式，再解答即可。 【解答】解：甲乙两站之间的距离是x千米。 240∶（x －240）＝∶ （x －240）＝240× x －24＝30 x ＝30＋24 x ＝54 x＝54÷ x＝540 答：甲乙两站之间的距离是540千米。 【点评】此题应先判断行驶的路程与速度成什么比例，再列式解答。 25．（6分）在比例尺是1∶2500000的地图上，量得甲、乙两地相距9.6厘米。一辆货车和一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】50千米 【分析】先依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，求出甲、乙两地之间的路程，进而根据“路程÷相遇时间＝速度之和”求出客车和货车的速度之和，再用速度和减去客车的速度，即求得货车的速度。 【解答】（厘米）＝240（千米） 240÷2＝120（千米） 120－70＝50（千米） 答：货车每小时行50千米。 【点评】先根据比例尺的意义求出甲、乙两地之间的路程，是解答此题的关键。 26．（6分）东莞是广东省中南部的一个城市，地处珠江口东岸，全市陆地面积约2465平方千米，其中东西两端相距大约70千米。把它画在一幅地图上，这时量得东西两端距离是5厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 【答案】1∶1400000 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 【解答】5厘米∶70千米＝5厘米∶7000000厘米＝（5÷5）∶（7000000÷5）＝1∶1400000 答：这幅地图的比例尺是1∶1400000。 27．（7分）小丽调制了两杯蜂蜜水，甲杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，乙杯用了30毫升蜂蜜和120毫升水。 （1）甲乙两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是多少？ （2）为了让两杯蜂蜜水一样甜，可以往甲杯加入（    ）毫升的蜂蜜，也可以往乙杯加入（    ）毫升的水。 【答案】（1）1∶8；1∶4 （2）25；120 【分析】（1）分别将甲乙两杯中的蜂蜜比上水，再化简，即可解题； （2）当蜂蜜和水的比相等时，两杯蜂蜜水一样甜。设往甲杯加入x毫升的蜂蜜，根据甲杯蜂蜜和水的比与乙杯相等，列比例解答。同理，设往乙杯加入y毫升的水，根据乙杯和甲杯蜂蜜和水的比相等，列比例解答。 【解答】（1）25∶200＝（25÷25）∶（200÷25）＝1∶8 30∶120＝（30÷30）∶（120÷30）＝1∶4 答：这两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是1∶8和1∶4。 （2）解：设往甲杯中加入x毫升的蜂蜜。 （25＋x）∶200＝1∶4 4×（25＋x）＝200×1 4×（25＋x）÷4＝200÷4 25＋x＝50 25＋x－25＝50－25 x＝25 解：设往乙杯中加入y毫升的水。 30∶（120＋y）＝1∶8 120＋y＝30×8 120＋y＝240 120＋y－120＝240－120 y＝120 所以，为了让两杯蜂蜜水一样甜，可以往甲杯加入25毫升的蜂蜜，也可以往乙杯加入120毫升的水。 28．（7分）学校航模组有男生18人，女生15人；美术组有男生24人，女生20人。 （1）航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例吗？ （2）如果能组成比例，指出比例的内项和外项。 【答案】（1）能 （2）见详解 【分析】（1）根据表示两个比相等的式子叫做比例。分别列出航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比并化简，它们的最简比相等即能组成比例，不相等即不能组成比例。 （2）组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。据此解答。 【解答】（1）航模组男、女生的人数比为：18∶15＝6∶5 美术组男、女生的人数比为：24∶20＝6∶5 18∶15＝24∶20 答：航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例。 （2）答：所列比例为18∶15＝24∶20，比例的内项是15和24，外项是18和20。 29．（10分）填一填，画一画。 （1）图中A点所在的位置用数对表示是（    ）。 （2）画出三角形按2∶1的比放大后的图形。 （3）放大后三角形面积是（    ）平方厘米（图中1小格面积是1平方厘米）。 【答案】（1） （2）见详解 （3）12 【分析】（1）用数对表示位置，先横着数，再竖着数，横着数是4，竖着数是7，所以图中A点所在的位置用数对表示是（4，7）； （2）三角形按2∶1的比放大，所以底和高都要乘2，底为（格），高为（格），按照原图形的形状把底画6格，高画4格即可； （3）由（2）可知放大后图形的底为6厘米高为4厘米，根据三角形的面积，带入求解即可。’ 【解答】（1）由分析可知：图中A点所在的位置用数对表示是（4，7）； （2）由分析可知： （3）（厘米） （厘米） （平方厘米） 所以放大后三角形面积是12平方厘米。 【点评】本题考查用数对确定位置以及图形的放大与缩小，学生需熟练掌握。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 比例 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】图形的放大和缩小 1、图形放大的意义。 把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2∶1，就是把原来的长方形按2∶1的比放大。 2、图形缩小的意义。 把长方形按1∶2的比缩小，这里的比指的是缩小后的长方形与原来长方形的对应边长的比是1∶2。 3、放大(缩小)后的图形与放大(缩小)前的图形对应边的比是相同的。 4、在方格纸上把一个简单图形按指定的比放大或缩小的步骤。 一看:看原图形每边各占几格。 二算:按给定的比计算出图形的各边放大或缩小后得到的新图形各边各占几格。 三画:按计算出的结果画出原图形放大或缩小后的图形。 【知识点二】比例 1、表示两个比相等的式子叫作比例。 2、根据比例的意义组比例。 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例;若比值不相等，则不能组成比例。 3、组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 【知识点三】比例的基本性质和解比例 1、比例的基本性质。 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。 (2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b=c∶d，那么比例的基本性质可以表示成a×d=b×c。 2、解比例。 (1)求比例中的未知项，叫作解比例。 (2)解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。 【知识点四】比例尺 1、比例尺的意义及分类。 (1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 (2)比例尺的数量关系式。 图上距离∶实际距离=比例尺或=比例尺 (3)常见的有数值比例尺和线段比例尺。 2.比例尺的应用。 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义来求，也可以根据“=实际距离”直接列式计算。 【考点一】图形的放大和缩小 【典例一】根据图意可知，下面4种描述中正确的有（    ）。 ①图A按4∶1放大得到图B ②图B按1∶2缩小得到图C ③图C按2∶1放大得到图B ④图A按2∶1放大得到图C 【典例二】图形A按( )的比例缩小后可以得到图形B；图形A与图形B的面积比是( )。 【典例三】已知点A用数对表示为（3，6），按要求填一填，画一画。 （1）点B用数对表示为（    ），点C用数对表示为（    ）。 （2）将图形①先向下平移3格，再向右平移2格。 （3）将图形①绕点C顺时针旋转90°。 （4）将图形①放大，使得放大后的图形与原图形对应线段长的比是2∶1。 【考点二】比例的意义 【典例一】下面各组数中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．30∶6和1∶5 B．15∶9和1.6∶2.4C．∶和∶ D．1.5∶2和3∶4.5 【典例二】6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例( )。 【典例三】小花为妈妈调制了两杯糖水，第一杯用了25g糖和200g水，第二杯用了30g糖和250g水。聪明的你能回答下面两个问题吗？ （1）分别写出每杯糖水中糖与水的质量比，看它们能否组成比例。 （2）按照第一杯糖水中糖与水的质量比计算，300g水中应加入糖多少克？ 【考点三】比例的基本性质和解比例 【典例一】甲的50%和乙数的40%相等（甲、乙均不为零），则甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 【典例二】把甲图形按一定比例缩小成为乙图形，则x＝( )。 【典例三】盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 【考点四】比例尺 【典例一】在一幅比例尺为1∶1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（    ）。 A．55米 B．10千米 C．55千米 【典例二】我县要新建一所学校，设计师以1∶1000的比例画出学校的平面设计图，量得图纸上学校的南北长是52厘米，东西宽是49厘米。 （1）这所学校实际的长和宽各是多少米？ （2）这所学校的实际占地面积是多少平方米？合多少公顷？ 【典例三】如图是孔明同学画的他家小区的简单示意图： ①孔明家到学校的实际距离是1.5千米，在图上是3厘米，那么这幅示意图画的比例尺是（    ）。 ②孔明家到健身中心的图上距离是6厘米，实际距离是（    ）千米。 ③电影院在孔明家正北方向1.8千米处，请在图中画出来。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）看图填一填。 图中②号三角形短直角边的长度是①号三角形短直角边的（ ）倍，把①号三角形按（ ）∶（ ）的比放大可以得到②号三角形。 2．（2分）在比例8∶5＝24∶15中，第一个比的前项增加4，要使比例成立，第二个比的前项应该增加（ ）。 3．（2分）一条飞机跑道长2.5千米，把它画在比例尺为1∶50000的图纸上，这条飞机跑道应画（ ）厘米。 4．（2分）《中华人民共和国国旗法》规定：国旗长和宽的比是3∶2，国旗的通用尺寸为五种，各界酌情选用。1号国旗长288cm，宽（ ）cm；4号国旗长（ ）cm，宽96cm。 5．（2分）如图，把中间的长方形分别按比缩小和放大后得到了左、右两个长方形。写出一个含有x的比例（ ），图中y＝（ ）。 6．（2分）在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.25，另外一个内项是（ ）。 7．（2分）从20的因数中选出四个数组成两个不同的比例：（ ）和（ ）。 8．（2分）一幅图的比例尺是。在这幅图上量得一个圆形水池的直径是2厘米，这个水池实际的占地面积是（ ）平方米。 9．（2分）甲、乙两城相距150千米，在一幅地图上量得甲、乙两城之间的距离是5厘米，同时在这幅地图上量得乙、丙两城之间的距离是7厘米，乙、丙两城的实际距离是（ ）千米。 10．（2分）∶和∶这两个比中，能与∶组成比例的是（ ），组成的比例的内项的积是（ ）。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）根据5a＝4b（a≠0），写成比例是a∶b＝5∶4。（ ） 12．（2分）将一个圆柱的底面半径先按3∶1放大，再按1∶2缩小，高不变，这个圆柱的体积是原来的。（ ） 13．（2分）比例尺是1∶4000000的图上，图上距离2厘米，表示实际距离8千米。（ ） 14．（2分）能与组成比例的比有无数个。（ ） 15．（2分）把一个长方形按2∶1放大，放大后的长方形面积是原来的4倍。（ ） 三、选择题（满分10分） 16．（2分）在比例尺是1∶200的图纸上，甲、乙两个长方形的长的比是2∶3，宽的比也是2∶3，那么它们面积的比是（    ）。 A．1∶200 B．4∶9 C．2∶3 D．2∶600 17．（2分）下列说法正确的有（    ）句。 ①一幅地图的比例尺是1∶30000cm；   ②甲比乙少，则乙比甲多； ③圆锥的体积比和它等底等高圆柱体积少； ④两个比可以组成一个比例； ⑤在比例里，两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。 A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2分）在比例1.5∶5＝12∶40中，如果第一个比的前项加上4.5，那么要使比例成立，第二个比的后项应（    ）。 A．加4.5 B．减4.5 C．乘4 D．除以4 19．（2分）能与∶组成比例的是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C．∶3 D．4∶ 20．（2分）在一幅比例尺是1∶2500000的地图上，量得两地之间的距离是4.8cm，如果将这两地画在比例尺是1∶1500000的地图上，两地之间的图上距离是（    ）cm。 A．8 B．2.4 C．7.2 D．12 四、计算题（满分6分） 21．（6分）解比例。                  五、作图题（满分6分） 22．（6分）操作。 （1）按2∶1的比画出长方形形放大后的图形。 （2）按1∶3的比画出平行四边形缩小后的图形。 六、解答题（满分48分） 23．（6分）为了满足消费者对产品科学性和美观性的要求，目前市面上大多数高清电视机屏幕长与宽的比都是16∶9，这样的比例更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。瑶瑶的妈妈给新家买了一台65英寸的电视机，量得宽81厘米，瑶瑶家的电视柜长2.5米，能不能放得下这台电视机？ 24．（6分）快车从甲站开往乙站需要8小时，慢车从乙站开往甲站需要10小时。两车同时从两站分别开出。相向而行，相遇时，慢车行了240千米，甲乙两站之间的距离是多少千米？（用比例解） 25．（6分）在比例尺是1∶2500000的地图上，量得甲、乙两地相距9.6厘米。一辆货车和一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 26．（6分）东莞是广东省中南部的一个城市，地处珠江口东岸，全市陆地面积约2465平方千米，其中东西两端相距大约70千米。把它画在一幅地图上，这时量得东西两端距离是5厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 27．（7分）小丽调制了两杯蜂蜜水，甲杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，乙杯用了30毫升蜂蜜和120毫升水。 （1）甲乙两杯蜂蜜水的蜂蜜和水的比分别是多少？ （2）为了让两杯蜂蜜水一样甜，可以往甲杯加入（    ）毫升的蜂蜜，也可以往乙杯加入（    ）毫升的水。 28．（7分）学校航模组有男生18人，女生15人；美术组有男生24人，女生20人。 （1）航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例吗？ （2）如果能组成比例，指出比例的内项和外项。 29．（10分）填一填，画一画。 （1）图中A点所在的位置用数对表示是（    ）。 （2）画出三角形按2∶1的比放大后的图形。 （3）放大后三角形面积是（    ）平方厘米（图中1小格面积是1平方厘米）。 学科网（北京）股份有限公司 $$