（易错讲义）第四单元 正比例和反比例（5个易错点+4个常考点+9个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 正比例和反比例 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：五大易错知识点 2 第二部分：四大常考易错点 3 易错点一：没有正确分析变量的变化规律。 3 易错点二：易错点:没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 4 易错点三：错误理解正比例图象。 4 易错点四：不能正确判断哪两个量成反比例。 5 第三部分：九种易错题型突破 5 突破题型一变化的量 5 突破题型二正比例的认识和辨认 6 突破题型三反比例的认识和辨认 7 突破题型四正比例图像的认识及简单应用 8 突破题型五根据正比例反比例填表 9 突破题型六运用正比例解决简单问题 10 突破题型七运用反比例解决简单问题 11 突破题型八运用正比例解决相对复杂问题 11 突破题型九运用反比例解决相对复杂问题 14 第一部分 五大易错知识点 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 第二部分 四大常考易错点 易错点一：没有正确分析变量的变化规律。 下面是李明乘坐出租车的里程与票价统计图:说一说票价是如何随里程的变化而变化的。 【错误答案】答:里程增加,票价也随着增加。 【错解分析】此题错在没有正确分析统计图中的折线变化情况,前3 km票价没有变化。 【正确答案】在3 km以内票价没有变化,都是5元,超过3 km,票价随里程的变化而变化,里程增加,票价也随着增加。 易错点二：易错点:没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 判断:圆柱的高一定,圆柱的体积与底面半径成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在没有考虑清楚圆柱体积与底面半径的比值。根据圆柱的体积计算公式:V= Tr2h ,推导出=Trh,因为r不一定,所以圆柱体积与底面半径不成正比例。 【正确答案】错误 易错点三：错误理解正比例图象。 下面是某书店语文课外读本销售数量与销售金额的统计表。 请你把这两个量的变化情况画在图中。 【错误答案】 【错解分析】此题错在没有理解正比例图象的特征。当销售数量为0时,销售金额为0元。所以该图象应该经过(0,0)点;销售金额随着销售数量的增加而增加,所以该图象应该向右无限延伸。图中只画出了一条线段。 【正确答案】 易错点四：不能正确判断哪两个量成反比例。 判断;把一间教室铺上方砖,每块方砖的边长与所需方砖的块数成反比例关系。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】一块方砖的面积=边长×边长,一块方砖的面积×所需块数=教室的面积(一定),所以一块方砖边长的平方(方砖的面积)与所需块数成反比例,而一块方砖的边长与所需块数不成反比例。 【正确答案】错误 第三部分 九种易错题型突破 突破题型一变化的量 1．淘气今年12岁，张老师今年28岁。当淘气28岁时，张老师（ ）岁；当张老师60岁退休的时候，淘气（ ）岁。用字母m表示淘气的年龄，n表示张老师的年龄，m和n两个量之间的关系可以用式子（ ）表示。 2．骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    3．下面是好运公司2001年各月利润情况统计图。 （1） 月利润最多，是 万元； 利润最少，是 万元。     （2） 到 月的利润持续上升， 月到 月的利润持续下降。 突破题型二正比例的认识和辨认 4．苹果的单价一定，购买的数量和总价成（ ）比例。 5．圆的周长和直径成（ ）比例。（填“正”或“反”） 6．如果a和b是两个相关联的量，且9a＝7b，那么a∶b＝（ ）（填比值），a和b成（ ）比例。 突破题型三反比例的认识和辨认 7．下面各题中的两个量是否成比例？如果成比例，成什么比例？在括号里填一填。 （1）一个圆的周长与它的半径。（ ） （2）煤的总量一定，每天烧煤量和能烧的天数。（ ） 8．已知（m、n、a均不为0），当a一定时，m和n成（ ）比例关系；当m一定时，n和a成（ ）比例关系；当n一定时，m和a成（ ）比例关系。 9．淘气从家向北偏西30°方向走了500米到了学校，放学后他原路返回家，需要向（ ）方向走500米。淘气从家步行到学校的平均速度与所花的时间成（ ）比例。 突破题型四正比例图像的认识及简单应用 10．下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 （1）这架直升机飞行的路程与时间成（ ）比例。 （2）这架直升机飞行了（ ）小时，行驶了（ ）千米。 （3）这架直升机1.5时飞行了（ ）千米。 11．图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成（ ）比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得（ ）（填“快”或“慢”）。 12．有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。    （1）由图可见，购买米数和应付的钱数成（ ）比例。 （2）从图中可知，24元可买（ ）米布，买8米布应付（ ）元。 突破题型五根据正比例反比例填表 13．下表中，如果a和b成正比例，那么▲是（ ），如果a和b成反比例，那么▲是（ ）。 a 6 ▲ b 9 3 14．下表中m与n是两种成正比例的量，请你将表格填写完整。 m 8 20 656 n 0.4 4.8 20.4 15．如下表，若m和n成正比例，则x＝（ ）；若m和n成反比例，则x＝（ ）。 m 12 n 4 x 突破题型六运用正比例解决简单问题 16．果果的身高是1.6m。某天下午，果果站在学校操场旁，他的影长是2.4m。此时，他身旁的一棵小树影长是6m，这棵小树的高度是多少米？（用比例解） 17．某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 18．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 突破题型七运用反比例解决简单问题 19．青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 20．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 21．某小学装修多媒体教室，计划用边长是50厘米的方砖铺地，需要800块。如果改用每块边长为2分米的方砖，需要多少块？（用比例方程解） 突破题型八运用正比例解决相对复杂问题 22．购买土豆的质量和应付的钱数如下。    （1）根据上图填写下表。 质量/kg 应付的钱数/元 （2）上图表示的是购买土豆的质量和应付钱数的关系，横轴表示（    ），纵轴表示（    ）。 （3）9元能买（    ）kg土豆；买10kg土豆应付（    ）元。 23．一台织布机的织布情况如下表。 工作时间/时 1 2 3 4 6 … 织布米数/米 6 12 18 30 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中的数据，在下图中描出工作时间和织布米数所对应的点，再把他们按顺序连起来。    （3）图中所描述的点在一条直线上吗？说明了什么？ （4）根据图象判断，这台织布机2.5时织布多少米？织布21米需要多少时？ 24．华天冷饮批发超市内某种雪糕的销售情况如下表。 销售量／箱 0 1 2 3 4 5 销售额／元 0 30 60 90 120 150 （1）这种雪糕的销售额与销售量成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种雪糕的销售量与销售额所对应的点描在上边的方格纸上，再顺次连接。 （3）600元可以买（    ）箱这种雪糕。 突破题型九运用反比例解决相对复杂问题 25．某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 26．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 27．科技小组的同学们用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度的关系如下表： 所称物体的质量/克 0 200 400 600 800 1000 皮筋伸长的长度/厘米 0 2 4 6 8 10 （1）判断用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度所对应的点描在方格纸上，再次连接。 （3）如果用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长25厘米，这个物体的质量是（    ）千克。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 正比例和反比例 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：五大易错知识点 2 第二部分：四大常考易错点 3 易错点一：没有正确分析变量的变化规律。 3 易错点二：易错点:没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 3 易错点三：错误理解正比例图象。 3 易错点四：不能正确判断哪两个量成反比例。 4 第三部分：九种易错题型突破 5 突破题型一变化的量 5 突破题型二正比例的认识和辨认 6 突破题型三反比例的认识和辨认 7 突破题型四正比例图像的认识及简单应用 8 突破题型五根据正比例反比例填表 10 突破题型六运用正比例解决简单问题 13 突破题型七运用反比例解决简单问题 14 突破题型八运用正比例解决相对复杂问题 15 突破题型九运用反比例解决相对复杂问题 20 第一部分 五大易错知识点 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 第二部分 四大常考易错点 易错点一：没有正确分析变量的变化规律。 下面是李明乘坐出租车的里程与票价统计图:说一说票价是如何随里程的变化而变化的。 【错误答案】答:里程增加,票价也随着增加。 【错解分析】此题错在没有正确分析统计图中的折线变化情况,前3 km票价没有变化。 【正确答案】在3 km以内票价没有变化,都是5元,超过3 km,票价随里程的变化而变化,里程增加,票价也随着增加。 易错点二：易错点:没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 判断:圆柱的高一定,圆柱的体积与底面半径成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在没有考虑清楚圆柱体积与底面半径的比值。根据圆柱的体积计算公式:V= Tr2h ,推导出=Trh,因为r不一定,所以圆柱体积与底面半径不成正比例。 【正确答案】错误 易错点三：错误理解正比例图象。 下面是某书店语文课外读本销售数量与销售金额的统计表。 请你把这两个量的变化情况画在图中。 【错误答案】 【错解分析】此题错在没有理解正比例图象的特征。当销售数量为0时,销售金额为0元。所以该图象应该经过(0,0)点;销售金额随着销售数量的增加而增加,所以该图象应该向右无限延伸。图中只画出了一条线段。 【正确答案】 易错点四：不能正确判断哪两个量成反比例。 判断;把一间教室铺上方砖,每块方砖的边长与所需方砖的块数成反比例关系。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】一块方砖的面积=边长×边长,一块方砖的面积×所需块数=教室的面积(一定),所以一块方砖边长的平方(方砖的面积)与所需块数成反比例,而一块方砖的边长与所需块数不成反比例。 【正确答案】错误 第三部分 九种易错题型突破 突破题型一变化的量 1．淘气今年12岁，张老师今年28岁。当淘气28岁时，张老师（ ）岁；当张老师60岁退休的时候，淘气（ ）岁。用字母m表示淘气的年龄，n表示张老师的年龄，m和n两个量之间的关系可以用式子（ ）表示。 【答案】44 44 n＝16＋m 【分析】张老师今年的年龄－淘气今年的年龄＝两人年龄差，年龄差永不变，淘气年龄＋年龄差＝张老师年龄；张老师年龄－年龄差＝淘气年龄；据此用字母表示出两年年龄之间的关系。 【解答】28－12＝16（岁） 28＋16＝44（岁） 60－16＝44（岁） n＝16＋m（答案不唯一） 当淘气28岁时，张老师44岁；当张老师60岁退休的时候，淘气44岁。用字母m表示淘气的年龄，n表示张老师的年龄，m和n两个量之间的关系可以用式子n＝16＋m表示。 2．骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    【答案】周期性 【分析】通过观察骆驼体温变化图，可以知道：骆驼的体温在0时至4时体温从37度下降到35度，4时至16时体温从35度逐渐上升40度，从16时到28时体温从40度逐渐下降至35度，然后又从35度逐渐上升。是一个周期性的变化过程。 【解答】骆驼的体温随着时间的推移呈（周期性）变化 【点评】从拆线统计中找出体温变化的规律是解答的关键。 3．下面是好运公司2001年各月利润情况统计图。 （1） 月利润最多，是 万元； 利润最少，是 万元。     （2） 到 月的利润持续上升， 月到 月的利润持续下降。 【答案】10 50 4 20 4 10 1 4 【分析】（1）根据统计图中各点对应的钱数和月份判断； （2）根据折线的走势判断利润上升和下降的时间段即可。 【解答】（1）根据各点的位置及对应的数据可知，10月的利润最多，是50万元；4月的利润最少，是20万元； （2）根据折线的走势可知，4月到10月的利润持续上升，1月到4月的利润持续下降。 【点评】本题主要考查对变化的量的认识，读懂统计图是解题的关键。 突破题型二正比例的认识和辨认 4．苹果的单价一定，购买的数量和总价成（ ）比例。 【答案】正 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化。相对应的两个量的比值（商）（一定）：x÷y＝k（一定）； 总价变化时，数量也随着变化，并且总价与数量的比值为单价，单价不变，据此判断。 【解答】总价÷购买的数量＝苹果的单价（一定） 因此，苹果的单价一定，购买的数量和总价成正比例。 5．圆的周长和直径成（ ）比例。（填“正”或“反”） 【答案】正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据圆周长＝圆周率×直径，圆周率＝圆周长÷直径，比值一定，则圆的周长和直径成正比例。 【解答】根据分析可知，圆的周长和直径成正比例。 6．如果a和b是两个相关联的量，且9a＝7b，那么a∶b＝（ ）（填比值），a和b成（ ）比例。 【答案】 正 【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此可知a和b的比值是多少；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】因为9a＝7b 所以a∶b ＝7∶9 ＝ a和b的比值一定，所以它们成正比例。 【点评】本题主要考查了比例的基本性质、正比例的意义和辨识。注意比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 突破题型三反比例的认识和辨认 7．下面各题中的两个量是否成比例？如果成比例，成什么比例？在括号里填一填。 （1）一个圆的周长与它的半径。（ ） （2）煤的总量一定，每天烧煤量和能烧的天数。（ ） 【答案】（1）正比例 （2）反比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】（1）圆的周长＝π×半径×2； 圆的周长÷半径＝2π（一定），圆的周长与它的半径成正比例。 （2）每天烧煤量×能烧的天数＝煤的总吨数（一定），每天烧煤量和能烧的天数成反比例。 8．已知（m、n、a均不为0），当a一定时，m和n成（ ）比例关系；当m一定时，n和a成（ ）比例关系；当n一定时，m和a成（ ）比例关系。 【答案】正 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 【解答】已知（m、n、a均不为0），当a一定时，也就是比值一定，所以m和n成正比例关系；当m一定时，也就是a和n的乘积一定，n和a成反比例关系。当n一定时，m和a的比值一定，m和a成正比例关系。 9．淘气从家向北偏西30°方向走了500米到了学校，放学后他原路返回家，需要向（ ）方向走500米。淘气从家步行到学校的平均速度与所花的时间成（ ）比例。 【答案】南偏东30° 反 【分析】返回时，方向相反、角度和距离不变，据此填第一空；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】淘气从家向北偏西30°方向走了500米到了学校，放学后他原路返回家，需要向南偏东30°方向走500米； 平均速度×所花的时间＝从家到学校的路程（一定），乘积一定，所以淘气从家步行到学校的平均速度与所花的时间成反比例。 所以放学后他原路返回家，需要向南偏东30°方向走500米，淘气从家步行到学校的平均速度与所花的时间成反比例。 突破题型四正比例图像的认识及简单应用 10．下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 （1）这架直升机飞行的路程与时间成（ ）比例。 （2）这架直升机飞行了（ ）小时，行驶了（ ）千米。 （3）这架直升机1.5时飞行了（ ）千米。 【答案】（1）正 （2）5 1500 （3）450 【分析】（1）正比例图像是一条经过原点的射线，反比例图像是一条平滑的曲线，据此解答即可； （2）点A可以用数对（5，1500）表示，即直升机飞行了5小时，行驶了1500千米； （3）根据路程÷时间＝速度，据此求出直升机的速度，再根据速度×时间＝路程，据此解答即可。 【解答】（1）这架直升机飞行的路程与时间成正比例。 （2）这架直升机飞行了5小时，行驶了1500千米。 （3）1500÷5×1.5 ＝300×1.5 ＝450（千米） 这架直升机1.5时飞行了450千米。 11．图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成（ ）比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得（ ）（填“快”或“慢”）。 【答案】（1）正 （2）快 【分析】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间之间的关系图像是一条直线，可知长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2）由图可知，斑马跑24千米需要20分钟，长颈鹿跑24千米需要30分钟，所以斑马跑得快。 【解答】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得快。 12．有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。    （1）由图可见，购买米数和应付的钱数成（ ）比例。 （2）从图中可知，24元可买（ ）米布，买8米布应付（ ）元。 【答案】（1）正 （2）6 32 【分析】（1）直接观察图像可以看出购买米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）根据图像，直接找出24元对应的米数即可；直接找出买8米布对应的钱数，据此解答。 【解答】（1）由图可见，购买米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图中可知，24元可买6米布，买8米布应付32元。 【点评】此题考查了正比例的应用，明确两个变化的量，如果比值一定则成正比例关系。 突破题型五根据正比例反比例填表 13．下表中，如果a和b成正比例，那么▲是（ ），如果a和b成反比例，那么▲是（ ）。 a 6 ▲ b 9 3 【答案】2 18 【分析】设▲为，如果a和b成正比例，则；如果a和b成反比例，则；求出的值即可。 【解答】解：设▲为，如果a和b成正比例，则 如果a和b成反比例，则 所以，如果a和b成正比例，那么▲是2，如果a和b成反比例，那么▲是18。 14．下表中m与n是两种成正比例的量，请你将表格填写完整。 m 8 20 656 n 0.4 4.8 20.4 【答案】96；408； 1；32.8 【分析】 x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，m与n是两种成正比例的量，说明m与n的商一定，通过第一组数据，先求出m与n的商，根据被除数÷商＝除数，商×除数＝被除数，分别计算出未知的量，填表即可。 【解答】8÷0.4＝20 20÷20＝1、20×4.8＝96、20×20.4＝408、656÷20＝32.8 m 8 20 96 408 656 n 0.4 1 4.8 20.4 32.8 15．如下表，若m和n成正比例，则x＝（ ）；若m和n成反比例，则x＝（ ）。 m 12 n 4 x 【答案】 288 【分析】两个相关联的量，若成正比例关系，则其比值一定；若成反比例关系，则其乘积一定。据此解答。 【解答】若m和n成正比例，可得： 12∶4＝∶x 解：12x＝4× 12x＝ x＝÷12 x＝× x＝ 若m和n成反比例，可得： 12×4＝x 解：x＝48 x＝48÷ x＝48×6 x＝288 如下表，若m和n成正比例，则x＝；若m和n成反比例，则x＝288。 m 12 n 4 x 【点评】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据等式的性质解答。 突破题型六运用正比例解决简单问题 16．果果的身高是1.6m。某天下午，果果站在学校操场旁，他的影长是2.4m。此时，他身旁的一棵小树影长是6m，这棵小树的高度是多少米？（用比例解） 【答案】4米 【分析】根据在同一时间、同一地点，物体的高度和它的影长的比值是一定的，即物体的高度和影长成正比例关系。我们可以设小树的高度为x米，然后列出比例式进行求解。 【解答】解：设这棵小树的高度是x米。 1.6∶2.4＝x∶6 2.4x＝9.6 2.4x÷2.4＝9.6÷2.4 x＝4 答：这棵小树的高度是4米。 17．某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 【答案】18米 【分析】同一时间，同一地点，物体高度与影长成正比例关系，即竹竿高度∶影长＝水塔高度∶影长，据此列出比例式，解比例即可解答。 【解答】解：设这座水塔的高是x米。 3∶1.2＝x∶7.2 1.2x＝3×7.2 1.2x＝21.6 1.2x÷1.2＝21.6÷1.2 x＝18 答：这座水塔的高是18米。 18．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 【答案】55元 【分析】根据题意可得出，积分∶可兑换的话费＝每元话费需要的积分（一定），比值一定，那么积分与可兑换的话费成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解答】解：设可兑换元话费。 ＝ 1800＝30×3300 1800＝99000 ＝99000÷1800 ＝55 答：可兑换55元话费。 突破题型七运用反比例解决简单问题 19．青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 【答案】15行 【分析】总人数固定时，每行人数与行数成反比例。设每行站24人时可站行，根据反比例的定义可知等量关系式：每行24人×行数＝每行20人×18，据此列方程并求解。 【解答】解：设每行站24人时可站行。 答：可以站15行。 20．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 21．某小学装修多媒体教室，计划用边长是50厘米的方砖铺地，需要800块。如果改用每块边长为2分米的方砖，需要多少块？（用比例方程解） 【答案】5000块 【分析】教室的面积不变，因此，可以设需要块，根据计划方砖面积×计划需要块数＝实际方砖面积×实际需要块数，列比例解答即可。 【解答】解：设需要块。 2分米＝20厘米 ＝ 400＝2500×800 400÷400＝2000000÷400 ＝5000 答：需要5000块。 突破题型八运用正比例解决相对复杂问题 22．购买土豆的质量和应付的钱数如下。    （1）根据上图填写下表。 质量/kg 应付的钱数/元 （2）上图表示的是购买土豆的质量和应付钱数的关系，横轴表示（    ），纵轴表示（    ）。 （3）9元能买（    ）kg土豆；买10kg土豆应付（    ）元。 【答案】（1）见详解 （2）购买土豆的质量；应付的钱数； （3）3；30 【分析】（1）根据统计图可知，1kg需要付3元，2kg需要付6元，3kg需要付9元，以此类推。据此将统计表补充完整； （2）根据统计图，横轴是能购买的质量，纵轴是应付的钱数； （3）根据统计表可知，土豆的单价是3元。总价÷单价＝数量，数量×单价＝总价，据此求出9元能买多少kg土豆；买10kg土豆应付多少元。 【解答】（1）填表如下： 质量/kg 1 2 3 4 5 6 7 8 应付的钱数/元 3 6 9 12 15 18 21 24 （2）上图表示的是购买土豆的质量和应付钱数的关系，横轴表示购买土豆的质量，纵轴表示应付的钱数。 （3）9÷3＝3（kg） 10×3＝30（元） 所以，9元能买3kg土豆；买10kg土豆应付30元。 【点评】本题考查了正比例，掌握正比例的图像是解题的关键。 23．一台织布机的织布情况如下表。 工作时间/时 1 2 3 4 6 … 织布米数/米 6 12 18 30 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中的数据，在下图中描出工作时间和织布米数所对应的点，再把他们按顺序连起来。    （3）图中所描述的点在一条直线上吗？说明了什么？ （4）根据图象判断，这台织布机2.5时织布多少米？织布21米需要多少时？ 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）在；说明工作时间和织布米数成正比例关系； （4）15米；3.5时 【分析】（1）1小时织布6米，那么4小时织布24米，织布30米需要5小时，6小时织布36米。据此将统计表补充完整； （2）根据统计表，直接描点并连线，画出对应的图像； （3）根据（2）完善的图，所描述的点在一条直线上，说明织布时间和米数成正比例关系； （4）根据（2）完善的图，这台织布机2.5时织布15米，织布21米需要3.5时。 【解答】（1）4×6＝24（米） 30÷6＝5（小时） 6×6＝36（米） 填表如下： 工作时间/时 1 2 3 4 5 6 … 织布米数/米 6 12 18 24 30 36 … （2）如图：      （3）答：图中所描述的点在一条直线上，说明工作时间和织布米数成正比例关系。 （4）答：这台织布机2.5时织布15米，织布21米需要3.5时。 【点评】本题考查了正比例，掌握正比例的图像是解题的关键。 24．华天冷饮批发超市内某种雪糕的销售情况如下表。 销售量／箱 0 1 2 3 4 5 销售额／元 0 30 60 90 120 150 （1）这种雪糕的销售额与销售量成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种雪糕的销售量与销售额所对应的点描在上边的方格纸上，再顺次连接。 （3）600元可以买（    ）箱这种雪糕。 【答案】（1）成正比例关系，见详解；（2）见详解；（3）20 【分析】（1）求出销售额与销售量的商，即可确定销售额与销售量是不是成正比例； （2）先根据表中的数据再方格纸上描出各点，再顺次连接； （3）根据“数量＝总价÷单价”，用600除以30，即可求出600元可以买多少箱这种雪糕。 【解答】（1）30÷1＝60÷2＝90÷3＝120÷4＝150÷5＝……＝30 这种雪糕的销售额与销售量的商一定，所以这种雪糕的销售额与销售量成正比例。 （2）如下图所示： （3）600÷30＝20（箱） 答：600元可以买20箱这种雪糕。 【点评】本题考查了成正比例的量的判定方法、图像的画法及根据统计表（图）中的信息解决问题的能力。 突破题型九运用反比例解决相对复杂问题 25．某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【答案】（1）40；30； （2）成反比例，原因见详解 （3）20辆 【分析】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【解答】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 26．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）反比例；原因见详解 （2）20分 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。 【解答】（1）答：每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为120×25＝100×30＝75×40＝60×50＝3000（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。 （2）解：设打完这篇稿子需要x分。 150x＝60×50 150x＝3000 x＝3000÷150 x＝20 答：打完这篇稿子需要20分。 27．科技小组的同学们用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度的关系如下表： 所称物体的质量/克 0 200 400 600 800 1000 皮筋伸长的长度/厘米 0 2 4 6 8 10 （1）判断用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中用自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度所对应的点描在方格纸上，再次连接。 （3）如果用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长25厘米，这个物体的质量是（    ）千克。 【答案】（1）成正比例； （2）见详解 （3）2.5 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）统计图中，横轴代表自制的皮筋称量物体的质量，纵轴代表皮筋伸长的长度，根据表中所给数据，找到对应点依次连接。 （3）通过（1）判断出的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度之间的关系求解，即可解答。 【解答】（1）200÷2＝400÷4＝600÷6＝800÷8＝1000÷10＝100（一定） 答：自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度的比值一定，自制的皮筋称量物体的质量与皮筋伸长的长度成正比例关系。 （2） （3）25×100＝2500（克） 2500克＝2.5千克 如果用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长25厘米，这个物体的质量2.5千克。 学科网（北京）股份有限公司 $$