（单元讲义）第四单元 比例（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（人教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 比例 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】比例的意义和基本性质 1、比例的意义。 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。 2、比例的各部分的名称。 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3、比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 4、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例 先假设两个比能组成比例,再分别算出它们内、外项的积,如果内、外项的积相等,则能组成比例;如果内、外项的积不相等,则不能组成比例。 【知识点二】解比例 1、解比例的意义和解比例。 （1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。 （2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。 【知识点三】正比例 1、正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。 2、正比例图像的特点。 正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。 【知识点四】反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。 【知识点五】比例尺 1、比例尺的意义。 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。 2、比例尺的种类。 按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺； 按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。 3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。 （1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。 5、应用比例尺画图要做到三步走。 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。 【知识点六】图形的放大和缩小 1、图形的放大和缩小。 （1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大； （2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。 2、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。 放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。 【知识点七】用比例解决问题 1、用正比例解决问题。 用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 2、用反比例解决问题。 用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 【考点一】比例的意义和基本性质 【典例一】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．∶ C．∶ D．4∶3 【典例二】4，3，2，6这四个数中，( )是最小的质数，( )是最小的合数，用这四个数组成的比例是( )。 【典例三】如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。 【考点二】解比例 【典例一】某炼钢厂有一堆铁矿石，用去，又运进210吨。这时炼钢厂里的铁矿石与原来铁矿石的质量比恰好是2∶9，原来铁矿石有（    ）吨。 A．1680 B．945 C．2400 D．2160 【典例二】写出比例，并求出未知数。 光明小学为了预防新冠肺炎病毒传播，按照消毒液和水的比为1∶110的比例，配制消毒水进行教室消毒。现有y毫升的消毒液，需要水165毫升。 【典例三】教室前方的国旗长是60cm，宽是40cm。操场旗杆上的国旗和它形状相同，长和宽的比是( )。操场上国旗的长是2m40cm，宽应是( )m。 【考点三】正比例 【典例一】小明去超市购买鸡蛋，已知鸡蛋的价格为10元/千克。他把大家购买不同数量的情况画成了图。下面哪幅图正确表示了总价和数量之间的关系？（    ） A． B． C． D． 【典例二】某汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 （    ） 5 （    ） …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）完成表格，路程与时间成（    ）比例；路程用S表示，时间用t来表示，请用式子表示出S，t和汽车速度之间关系（    ）。 （2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶330千米大约要用（    ）小时。 【典例三】如图表示的是一辆汽车所行驶的路程与时间的变化情况。 （1）图中的A点表示1小时行驶80千米，B点表示2小时行驶160千米，C、F两点分别表示什么？ （2）汽车行驶的路程与时间成什么比例？为什么？ （3）根据图像判断：这辆汽车2.5小时行驶了（    ）千米；行驶360千米需要（    ）小时。 【考点四】反比例 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一个人的年龄和身高成正比例 B．路程一定，速度和时间成正比例 C．总价一定，单价和数量成反比例 D．和一定，两个加数成反比例 【典例二】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 【典例三】把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重( )千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成( )比例。 【考点五】比例尺 【典例一】小明在一幅地图上量得上虞到杭州的距离是6.8厘米，而两地的实际距离是68千米，那么，小明用的这幅地图的比例是（    ）。 A．1∶100000 B．1∶1000000 C．1∶10000000 【典例二】（1）市政府到儿童公园的实际距离是1050米，图中量得两地的图上距离为1.5厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）北山公园在市政府北偏东35°方向1750米处，在这幅地图上，市政府到北山公园的图上距离是（    ）厘米。 （3）在图中画出北山公园的位置。 【典例三】同学们参加军训，从军营到射击场路线如下所示： 请用1∶20000的比例尺在方框中画出同学们的行军路线图。 【考点六】图形的放大和缩小 【典例一】把三角形X按1∶2缩小后得到的图形是（    ）。 A．A B．B C．C 【典例二】 （1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（    ）表示，顶点C用（    ）表示。 （3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。 【典例三】一个直角三角形的三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把这个三角形按照3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【考点七】用比例解决问题 【典例一】把一根木头锯成3段要用8分钟，若锯成10段要用x分钟？正确的比例是（    ）。 A．3∶8＝x∶10 B．3∶8＝（10－1）∶x C．8∶（3－1）＝（10－1）∶x D．（3－1）∶8＝（10－1）∶x 【典例二】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【典例三】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是（ ）。从这个数的因数中选出四个数组成比例是（ ）。 2．（2分）在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是（ ），如果一个外项是，另一个外项是（ ）。 3．（2分）如果甲数的和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），那么甲数与乙数的比是（ ）。如果乙数比甲数少20，甲数是（ ）。 4．（2分）A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。 5．（2分）如图，如果a与b成正比例，可以填（ ）；如果a与b成反比例，可以填（ ）。 a 3 5 b 45 ？ 6．（2分）国产大飞机C－919，国之重器。在C－919的控制系统中有一个长5mm的精密机器零件，画在图纸上是25cm，这幅图的比例尺是（ ）；另一种精密零件长4.2mm，画在这幅图上长（ ）。 7．（2分）圆，是中国文化的一个重要精神符号，圆形餐桌象征团团圆圆、和谐美好。 （1）制作一张半径为1米的餐桌，桌面是（ ）平方米。 （2）如果按照1∶20的比例尺设计餐桌的图纸，那么图纸上的桌面半径是（ ）厘米。 8．（2分）将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数） 9．（2分）成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。 10．（2分）A和B是自行车上的两个齿轮。A转2圈，B转5圈。如果A转了150圈，B转（ ）圈；如果B转了90圈，A转（ ）圈。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）因为7a＝8b，（a、b均不为0），所以a∶b＝8∶7。（ ） 12．（2分）因为8÷x＝y（x≠0，y≠0），那么x与y成正比例。（ ） 13．（2分）王师傅完成一项工作，由于工作效率提高了25%，故所用的时间节省了20%。（ ） 14．（2分）把一个三角形按2∶1放大后，原三角形的面积是放大后三角形面积的。（ ） 15．（2分）按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。（ ） 三、选择题（满分10分） 16．（2分）甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），那么甲数与乙数的比是（    ） A．20∶21 B．21∶20 C．∶ D．无法确定 17．（2分）下面x和y成正比例关系的是（    ），成反比例关系的是（    ）。 ①y＝x＋2024②x＋y＝2024③x＝2024y④xy＝2024 A．①；③ B．②；③ C．①；② D．③；④ 18．（2分）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 19．（2分）东莞与广州两座城市相距约60千米，在一幅地图上，两个城市的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．5∶60 B．12000∶1 C．1∶12000 D．1∶1200000 20．（2分）一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．24 C．48 D．96 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求未知数x。 3x－49＝26                0.3x＋x＝10.8           x∶75%＝∶10 五、作图题（满分6分） 22．（6分）操作。 （1）按1∶3画出长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1画出梯形放大后的图形。 六、解答题（满分48分） 23．（6分）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 24．（6分）2023年10月26日，“神州十七号”载人飞船发射成功。本次飞行是中国载人航天工程实施以来第30次飞行，也是第12次载人飞行。主要任务是实施出仓活动、继续开展空间科学实验、完成与“神州十八号”载人飞船的“太空会师”等等。据报道，“神州十七号”载人飞船每秒飞行7.68千米，绕地球飞行两圈大约需要180分钟。照这样计算，“神州十七号”载人飞船一天能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 25．（6分）水果萝卜是潍坊特产，为了方便挑选优质萝卜，商家准备建造选萝卜仓库。如果用边长是8分米的方砖给仓库铺地，需要250块，如果改用边长是10分米的方砖，需要多少块？ 26．（6分）笔墨纸砚是我国独有的文书工具，被称为“文房四宝”，其中墨锭的制作过程最为繁杂。王叔叔根据教程自己制作墨锭，12克墨锭能磨出墨液240毫升。如果想磨出600毫升墨液，要制作多少克的墨锭？ 27．（6分）一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 28．（8分）小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与时间成什么比例？请说明理由。 （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解） 29．（10分）某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第四单元 比例 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】比例的意义和基本性质 1、比例的意义。 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。 2、比例的各部分的名称。 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3、比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 4、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例 先假设两个比能组成比例,再分别算出它们内、外项的积,如果内、外项的积相等,则能组成比例;如果内、外项的积不相等,则不能组成比例。 【知识点二】解比例 1、解比例的意义和解比例。 （1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。 （2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。 【知识点三】正比例 1、正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。 2、正比例图像的特点。 正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。 【知识点四】反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。 【知识点五】比例尺 1、比例尺的意义。 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。 2、比例尺的种类。 按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺； 按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。 3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。 （1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。 5、应用比例尺画图要做到三步走。 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。 【知识点六】图形的放大和缩小 1、图形的放大和缩小。 （1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大； （2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。 2、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。 放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。 【知识点七】用比例解决问题 1、用正比例解决问题。 用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 2、用反比例解决问题。 用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 【考点一】比例的意义和基本性质 【典例一】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．∶ C．∶ D．4∶3 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例；据此解答。 【解答】∶ ＝÷ ＝×3 ＝ A．3∶4＝ 比值相同，能与∶组成比例； B．∶ ＝÷ ＝×8 ＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； D．4∶3＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； 故答案为：A 【点评】掌握判定两个比能否组成比例的方法以及求比值是解题的关键。 【典例二】4，3，2，6这四个数中，( )是最小的质数，( )是最小的合数，用这四个数组成的比例是( )。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，最小的合数是4；表示两个比相等的式子叫做比例，找出比值相等的两个比，据此解答。 【解答】分析可知，4，3，2，6这四个数中，2是最小的质数，4是最小的合数，用这四个数组成的比例是2∶4＝3∶6。（答案不唯一） 【点评】掌握质数、合数、比例的意义是解答题目的关键。 【典例三】如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此填空即可。 【解答】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 3×3－3 ＝9－3 ＝6 则外项3应该增加6，比例才能成立。 【点评】本题考查比例的意义，明确两组比的比值相等，则它们可以组成比例是解题的关键。 【考点二】解比例 【典例一】某炼钢厂有一堆铁矿石，用去，又运进210吨。这时炼钢厂里的铁矿石与原来铁矿石的质量比恰好是2∶9，原来铁矿石有（    ）吨。 A．1680 B．945 C．2400 D．2160 【分析】原来铁矿石有x吨，根据数量关系：（原来铁矿石的质量－用去的质量＋210吨）∶原来铁矿石的质量＝2∶9，列出方程，解出未知数。 【解答】解：设原来铁矿石有x吨。 [x×（1－）＋210]∶x＝2∶9 [x＋210]∶x＝2∶9 2x＝x×9＋210×9 2x－x＝1890 ÷＝1890÷ x＝2160 故答案为：D 【点评】解答此题的关键是找到题目中所蕴含的等量关系，进一步列方程、解方程。 【典例二】写出比例，并求出未知数。 光明小学为了预防新冠肺炎病毒传播，按照消毒液和水的比为1∶110的比例，配制消毒水进行教室消毒。现有y毫升的消毒液，需要水165毫升。 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，根据消毒液和水的比写出比例，再利用比例的基本性质求出未知数的值，据此解答。 【解答】y∶165＝1∶110 解：110y＝165 y＝165÷110 y＝1.5 答：1.5毫升的消毒液需要水165毫升。 【点评】掌握比例的意义和解比例的方法是解答题目的关键。 【典例三】教室前方的国旗长是60cm，宽是40cm。操场旗杆上的国旗和它形状相同，长和宽的比是( )。操场上国旗的长是2m40cm，宽应是( )m。 【分析】国旗的长与宽的比是一定的，根据教室前方的国旗的长和宽求出长和宽的比，再用比例的知识求出操场上国旗的宽。 【解答】60∶40 ＝（60÷20）∶（40÷20） ＝3∶2 2m40cm＝2.4m 解：设操场上国旗的宽为xm，得： 3∶2＝2.4∶x 3x＝2×2.4 3x＝4.8 3x÷3＝4.8÷3 x＝1.6 【点评】求两个数的比，要化为最简整数比；解比例时，要根据等式的基本性质。 【考点三】正比例 【典例一】小明去超市购买鸡蛋，已知鸡蛋的价格为10元/千克。他把大家购买不同数量的情况画成了图。下面哪幅图正确表示了总价和数量之间的关系？（    ） A． B． C． D． 【分析】根据图示可知，当单价一定，数量与总价成正比例关系，总价随着数量的变化而变化，且总价与数量的比的比值一定是10元，据此分析解答。 【解答】根据图示分析： A．第一幅图不管买多少鸡蛋都是10元，所以第一幅图不是小明画的； B．第二幅图只是总价发生了变化，数量没变，所以也不是小明画的； C．第三幅图可知：10÷1＝10（元）90÷9＝10（元），说明鸡蛋的单价是一定的，所以第三幅图是小明画的； D．从第四幅图可以看出当买1千克鸡蛋时价格小于10元，所以第三幅图不是小明画的。 故答案为：C。 【点评】本题考查了正比例的意义及图象的特点。 【典例二】某汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 （    ） 5 （    ） …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）完成表格，路程与时间成（    ）比例；路程用S表示，时间用t来表示，请用式子表示出S，t和汽车速度之间关系（    ）。 （2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶330千米大约要用（    ）小时。 【分析】（1）因60÷1＝60，120÷2＝60，60是一定的数，代表速度，速度（一定），所以路程和时间成正比例，设要填的数为x，列出比例，求出x的值即可，同样求出其它要填的数。根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程用S表示，时间用t来表示，代入字母即可用式子表示出它们之间的关系。 （2）描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。速度（一定），所以路程和时间成正比例，要估计一下行驶330千米大约要用的时间，观察完成后的折线图上的数据，即可得解。 【解答】 解：设行驶240千米需要x小时， 解：设行驶360千米需要x小时， 完成表格如下： 时间/时 1 2 3 4 5 6 …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）通过上面的计算可知，路程与时间的比值一定，所以路程与时间成正比例；用式子表示出S，t和汽车速度之间关系：。 （2）作图如下： 从图中可以看出，当路程是330千米时，对应的横轴上的时间正好是5.5小时。所以行驶330千米大约要用5.5小时。 【点评】此题考查正比例的意义，即相关联的两个量，如果比值一定，这两个量成正比例关系。 【典例三】如图表示的是一辆汽车所行驶的路程与时间的变化情况。 （1）图中的A点表示1小时行驶80千米，B点表示2小时行驶160千米，C、F两点分别表示什么？ （2）汽车行驶的路程与时间成什么比例？为什么？ （3）根据图像判断：这辆汽车2.5小时行驶了（    ）千米；行驶360千米需要（    ）小时。 【分析】（1）分别观察C、F点所对应的横轴上和纵轴上的数，即可求解； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可； （3）根据速度×时间＝路程，即可求出这辆汽车2.5小时行驶了多少千米；根据时间＝路程÷速度，即可求出行驶360千米需要多少小时。 【解答】（1）C点表示3小时行驶240千米，F点表示6小时行驶480千米； （2）路程与时间的比值是速度，速度是不变的，所以汽车行驶的路程与时间成正比例； （3）2.5×80＝200（千米） 360÷80＝4.5（小时） 【点评】本题主要考查根据统计图获取信息并解决问题的能力。 【考点四】反比例 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一个人的年龄和身高成正比例 B．路程一定，速度和时间成正比例 C．总价一定，单价和数量成反比例 D．和一定，两个加数成反比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【解答】A．通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高；即人的身高与年龄的比值是不一定的，所以一个人的年龄和身高不成比例； B．根据“路程＝速度×时间”，路程一定，速度和时间的乘积一定，符合反比例的意义，所以速度和时间成反比例； C．根据“总价＝单价×数量”，总价一定，单价和数量的乘积一定，符合反比例的意义，所以单价和数量成反比例； D．一个加数＋另一个加数＝和，和一定，两个加数不成比例。 故答案为：C 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 【典例二】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 【分析】（1）根据每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积，结合反比例的意义判断。 （2）用这批煤的总质量除以每天烧煤的质量就是烧的天数。 【解答】（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90（一定） 每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）30×3÷5 ＝90÷5 ＝18（天） 答：这批煤可烧18天。 【点评】本题考查了成反比例关系的判定及根据成反比例关系解决问题，关键是对题目中数量关系的分析。 【典例三】把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重( )千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成( )比例。 【分析】用糖果的总重量除以盒子的数量等于每个盒子里的糖果重量，因为总重量＝每个盒子里的糖果质量×盒子的个数，乘积一定，可判断出分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。 【解答】（千克） 把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的乘积一定还是比值一定，再做出判断。 【考点五】比例尺 【典例一】小明在一幅地图上量得上虞到杭州的距离是6.8厘米，而两地的实际距离是68千米，那么，小明用的这幅地图的比例是（    ）。 A．1∶100000 B．1∶1000000 C．1∶10000000 【分析】根据比例尺的意义，用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，要先统一单位，再计算。 【解答】68千米＝6800000厘米 6.8∶6800000＝1∶1000000 故答案为：B 【点评】已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 【典例二】（1）市政府到儿童公园的实际距离是1050米，图中量得两地的图上距离为1.5厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）北山公园在市政府北偏东35°方向1750米处，在这幅地图上，市政府到北山公园的图上距离是（    ）厘米。 （3）在图中画出北山公园的位置。 【分析】（1）比例尺＝图上距离∶实际距离，把题中数据代入计算； （2）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出市政府到北山公园的图上距离； （3）先把数值比例尺转化为线段比例尺，70000厘米＝700米，图上1厘米代表实际距离700米，再以市政府为观测点，在市政府北偏东35°方向截取1750÷700＝2.5个单位长度，标出角度，终点处标注北山公园，据此解答。 【解答】（1）1.5厘米∶1050米＝1.5厘米∶105000厘米＝1.5∶105000＝（1.5÷1.5）∶（105000÷1.5）＝1∶70000 （2）1750×＝0.025（米） 0.025米＝2.5厘米 所以，市政府到北山公园的图上距离是2.5厘米。 （3） 【点评】掌握比例尺的意义以及图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。 【典例三】同学们参加军训，从军营到射击场路线如下所示： 请用1∶20000的比例尺在方框中画出同学们的行军路线图。 【分析】先把数值比例尺转化为线段比例尺，1∶20000表示图上1cm代表实际距离20000cm，20000cm＝200m，画出1cm的线段代表200m，再根据“上北下南，左西右东”确定方向，先确定军营的位置，在军营正东方向上截取600÷200＝3个单位长度，终点处标注小河边，然后在小河边正南方向上截取400÷200＝2个单位长度，终点处标注小树林，最后在小树林正北偏东60°方向上截取800÷200＝4个单位长度，标出角度，终点处标注射击场，据此作图。 【解答】分析可知： 【点评】本题主要考查应用比例尺画图，掌握根据方向、角度、距离画路线图的方法是解答题目的关键。 【考点六】图形的放大和缩小 【典例一】把三角形X按1∶2缩小后得到的图形是（    ）。 A．A B．B C．C 【分析】三角形按1∶2缩小，则每条边都缩小到原来的一半，据此判断即可。 【解答】根据分析得： A．只有一条边缩小到原来的一半，不正确； B．三条边都缩小到原来的一半，正确； C．只有一条边缩小到原来的一半，不正确。 故答案为：B 【点评】本题主要考查图形的放大和缩小，要注意每条边都需要按一定的比例放大或者缩小，角不变。 【典例二】 （1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（    ）表示，顶点C用（    ）表示。 （3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。 【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 （2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】（1）把三角形ABC的三边同时扩大到原来的2倍，画在右边的方格图里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（5，6）表示，顶点C用（6，4）表示。 （3）A点位置不变，确定出B点和C点绕A点顺时针旋转90°后的位置，再依次连线。 【点评】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小；用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对；决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【典例三】一个直角三角形的三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把这个三角形按照3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【分析】（1）先依据直角三角形中斜边最长，确定出两条直角边的长度分别是3厘米，4厘米，再依据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出这个三角形的面积；（2）根据图形放大与缩小的意义，先计算按3∶1放大后的三角形的高与底，再根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求放大后得到的三角形的面积。 【解答】三角形的面积： 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） （4×3）×（3×3）÷2 ＝12×9÷2 ＝54（平方厘米） 【点评】解答本题的关键是先判断出两条直角边的长度，再根据图形放大的意义，求出放大后对应的高与底，最后利用三角形的面积公式S＝ah÷2，代入相应数值计算即可。 【考点七】用比例解决问题 【典例一】把一根木头锯成3段要用8分钟，若锯成10段要用x分钟？正确的比例是（    ）。 A．3∶8＝x∶10 B．3∶8＝（10－1）∶x C．8∶（3－1）＝（10－1）∶x D．（3－1）∶8＝（10－1）∶x 【分析】由题意可知，锯木头的次数＝锯木头的段数－1，锯一次需要的时间相同，则锯木头一共用的时间和锯木头的次数成正比例关系，一共用的时间÷锯木头的次数＝锯一次用的时间（一定），把题中数据代入关系式计算即可。 【解答】x∶（10－1）＝8∶（3－1） 解：x∶9＝8∶2 2x＝8×9 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 所以，若锯成10段要用36分钟。 由比例的基本性质可知，8∶（3－1）＝x∶（10－1），（3－1）∶8＝（10－1）∶x。 故答案为：D 【点评】本题主要考查用比例解决问题，理解两种相关联的量成正比例关系是解答题目的关键。 【典例二】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【分析】（1）蔬菜的总质量不变，说明每辆车的载质量与所需车辆数量乘积不变，则每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）用蔬菜质量除以所需车辆数量，求出每辆车的载质量即可。 【解答】（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）（吨） 答：每辆车的载质量是8吨。 【点评】本题考查反比例，解答本题的关键是掌握成反比例关系的概念。 【典例三】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【分析】（1）蔬菜的总质量不变，说明每辆车的载质量与所需车辆数量乘积不变，则每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）用蔬菜质量除以所需车辆数量，求出每辆车的载质量即可。 【解答】（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）（吨） 答：每辆车的载质量是8吨。 【点评】本题考查反比例，解答本题的关键是掌握成反比例关系的概念。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是（ ）。从这个数的因数中选出四个数组成比例是（ ）。 【答案】24 12∶6＝2∶1 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，据此写出这个两位数；根据找一个数的因数的方法找出这个两位数的因数，然后根据比例的意义，选四个因数写出两个比值是2的比，再组成比例即可，注意第二个空答案不唯一。 【解答】一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是24； 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 因为2∶1＝2，12∶6＝2，所以可组成比例12∶6＝2∶1。（答案不唯一） 一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是24。从这个数的因数中选出四个数组成比例是12∶6＝2∶1。 2．（2分）在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是（ ），如果一个外项是，另一个外项是（ ）。 【答案】1 3 【分析】已知在比例里，两个外项互为倒数，根据倒数的意义可知，两个外项的乘积为1；根据比例的基本性质可知，那么两个内项的积也是1； 已知如果一个外项是，用 两个外项的积1除以已知的外项，即可求出另一个外项。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 乘积是1的两个数互为倒数。 【解答】1÷ ＝1×3 ＝3 在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是（1），如果一个外项是，另一个外项是（3）。 3．（2分）如果甲数的和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），那么甲数与乙数的比是（ ）。如果乙数比甲数少20，甲数是（ ）。 【答案】5∶4 100 【分析】根据题意得：甲数×＝乙数×，可通过化简得出甲数∶乙数，据此可得出答案；如果乙数比甲数少20，可将甲数设为未知数x，列出含有未知数x的比例，根据比例基本性质解出未知数可得出答案。 【解答】甲数×＝乙数×，可变换为：甲数∶乙数＝＝。 可设甲数为x，则乙数为，可列出比例： ，即甲数是100。 4．（2分）A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。 【答案】正 底面积 【分析】可根据正比例的定义 “两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量” 来进行分析。圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积； 【解答】已知A÷5＝B（A、B都不等于0），可变形为A÷B＝5，也就是A和B相对应的比值一定，所以A和B成正比例关系。 根据圆柱的体积公式V＝S×h（其中V是体积，S是底面积，h是高），当圆柱的高h一定时，V÷S＝h（一定），即体积V和底面积S相对应的比值一定，所以它的体积和底面积成正比例。 即A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成正比例关系。圆柱高一定，它的体积和底面积成正比例。 5．（2分）如图，如果a与b成正比例，可以填（ ）；如果a与b成反比例，可以填（ ）。 a 3 5 b 45 ？ 【答案】75 27 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果a与b成正比例，则a∶b＝3∶45；把a＝5代入比例式，解比例求出b的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果a与b成反比例，则ab＝3×45；把a＝5代入比例式，解比例求出b的值。 【解答】如果a与b成正比例，则a∶b＝3∶45； 当a＝5时 5∶b＝3∶45 解：3b＝5×45 3b＝225 b＝225÷3 b＝75 如果a与b成反比例，则ab＝3×45； 当a＝5时 5b＝3×45 解：5b＝135 b＝135÷5 b＝27 填空如下： 如果a与b成正比例，可以填（75）；如果a与b成反比例，可以填（27）。 6．（2分）国产大飞机C－919，国之重器。在C－919的控制系统中有一个长5mm的精密机器零件，画在图纸上是25cm，这幅图的比例尺是（ ）；另一种精密零件长4.2mm，画在这幅图上长（ ）。 【答案】50∶1 21cm/21厘米 【分析】已知长5mm的精密机器零件，画在图纸上是25cm，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”以及进率“1cm＝10mm”，求出这幅图的比例尺。 已知另一种精密零件长4.2mm，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出画在这幅图上的长度。 【解答】25cm∶5mm ＝（25×10）mm∶5mm ＝250∶5 ＝（250÷5）∶（5÷5） ＝50∶1 这幅图的比例尺是（50∶1）； 4.2mm＝0.42cm 0.42× ＝0.42×50 ＝21（cm） 另一种精密零件长4.2mm，画在这幅图上长（21cm）。 7．（2分）圆，是中国文化的一个重要精神符号，圆形餐桌象征团团圆圆、和谐美好。 （1）制作一张半径为1米的餐桌，桌面是（ ）平方米。 （2）如果按照1∶20的比例尺设计餐桌的图纸，那么图纸上的桌面半径是（ ）厘米。 【答案】（1）3.14 （2）5 【分析】（1）根据圆的面积S＝πr2，代入数据计算即可； （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图纸上的桌面半径，最后将单位换算成厘米。 【解答】（1）3.14×12＝3.14（平方米） 桌面是3.14平方米。 （2）1×＝0.05（米） 0.05米＝5厘米 图纸上的桌面半径是5厘米。 8．（2分）将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数） 【答案】 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。 【解答】假设正方体的棱长是9厘米。 9×＝3（厘米） （3×3×6）÷（9×9×6） ＝54÷486 ＝ ＝ （3×3×3）÷（9×9×9） ＝27÷729 ＝ ＝ 它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。 9．（2分）成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。 【答案】1.2// 【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度成正比例，设妹妹的身高是x米，根据题意，聪聪的高度∶聪聪的影长＝妹妹的高度∶妹妹的影长，由此列比例解答即可。 【解答】设妹妹的身高是x米。 1.6∶2.8＝x∶2.1 2.8x＝2.1×1.6 2.8x＝3.36 2.8x÷2.8＝3.36÷2.8 x＝1.2 妹妹的身高是1.2米。 10．（2分）A和B是自行车上的两个齿轮。A转2圈，B转5圈。如果A转了150圈，B转（ ）圈；如果B转了90圈，A转（ ）圈。 【答案】375 36 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，A转2圈，B转5圈，A和B转的圈数比2∶5是一定的，那么A转的圈数和B转的圈数成正比例，据此解答。 【解答】解：设如果A转了150圈，B转x圈。 150∶x＝2∶5 2x＝150×5 2x＝750 x＝750÷2 x＝375 所以，如果A转了150圈，B转375圈。 解：设如果B转了90圈，A转y圈。 y∶90＝2∶5 5y＝90×2 5y＝180 y＝180÷5 y＝36 所以，如果B转了90圈，A转36圈。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）因为7a＝8b，（a、b均不为0），所以a∶b＝8∶7。（ ） 【答案】√ 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把7a＝8b改写成比例式，一个外项是a，内项是b的比例，则和a相乘的数7就作为比例的另一个外项，和b相乘的数8就作为比例的另一个内项，据此解答。 【解答】因为7a＝8b，（a、b均不为0），所以a∶b＝8∶7。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．（2分）因为8÷x＝y（x≠0，y≠0），那么x与y成正比例。（ ） 【答案】× 【分析】正比例是指当两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量； 反比例是指当两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就叫做成反比例的量。 【解答】因为8÷x＝y（x≠0，y≠0），将等式的两边同时乘x， 所以xy＝8；因为是积一定，所以x与y成反比例。则原题说法错误。 故答案为：× 13．（2分）王师傅完成一项工作，由于工作效率提高了25%，故所用的时间节省了20%。（ ） 【答案】√ 【分析】把原来的工作效率看作单位“1”，则现在的工作效率是原来的（1＋25%），原来和现在的工作效率比是1∶（1＋25%）＝4∶5。工作总量不变的情况下，工作效率和工作时间成反比例，则原来和现在所用的时间比是5∶4。根据“求一个数比另一个数多（或少）百分之几，先求出多（或少）的具体数量，再除以单位“1”数量即可解答”，用5减去4的差除以5，即可求出现在比原来所用的时间节省了百分之几，据此判断。 【解答】1∶（1＋25%） ＝1∶125% ＝1∶ ＝（1×4）∶（×4） ＝4∶5 原来和现在所用的时间比是5∶4。 （5－4）÷5×100% ＝1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 则所用的时间节省了20%。原题说法正确。 故答案为：√ 14．（2分）把一个三角形按2∶1放大后，原三角形的面积是放大后三角形面积的。（ ） 【答案】× 【分析】我们可以设原三角形是一个两直角边分别为1和2的直角三角形，根据图形放大或缩小的意义，这个直角三形按2∶1的比放大后，两直角边分别为2和4，分别求出原三角形和放大后的三角形的面积，用放大后的三角形的面积除以原三角形的面积。 【解答】设原三角形是一个两直角边分别为1和2的直角三形，按2：1的比放大后，两直角边分别为2和4。 原三角形的面积：2×1÷2＝1 放大后三角形的面积：4×2÷2＝4 1÷4＝ 把一个三角形按2∶1放大后，原三角形的面积是放大后三角形面积的，原题说法错误。 故答案为：× 15．（2分）按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。（ ） 【答案】√ 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，由此可知：按10∶1的比例尺画出的零件图形，图上距离是实际距离的10倍。据此解答。 【解答】根据比例尺的意义可知：按10∶1的比例尺画出的零件图形，图上距离是实际距离的10倍，所以按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。 原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题（满分10分） 16．（2分）甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），那么甲数与乙数的比是（    ） A．20∶21 B．21∶20 C．∶ D．无法确定 【答案】A 【分析】由甲数的等于乙数的可得出，甲数×＝乙数×，再根据比例的基本性质将其改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×35）∶（×35） ＝20∶21 那么甲数与乙数的比是20∶21。 故答案为：A 17．（2分）下面x和y成正比例关系的是（    ），成反比例关系的是（    ）。 ①y＝x＋2024②x＋y＝2024③x＝2024y④xy＝2024 A．①；③ B．②；③ C．①；② D．③；④ 【答案】D 【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例；如果不是比值或乘积一定，就不成比例。 【解答】①y＝x＋2024，则y－x＝2024，x和y不成比例； ②x＋y＝2024，x和y不成比例； ③x＝2024y，x∶y＝2024，比值一定，所以y和x成正比例； ④xy＝2024，乘积一定，所以x和y成反比例。 所以x和y成正比例关系的是③，成反比例关系的是④。 故答案为：D 18．（2分）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 【答案】B 【分析】两种相关联的量，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就成正比例；如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，这两种量就成反比例，根据图象可知，图形中两种相关联的量是正比例，逐项分析各选项，进行解答。 【解答】A．因为每天运送的吨数×所需天数＝货物总量（一定），每天运送的吨数和所需天数的乘积一定，则每天运送的吨数和所需天数成反比例，不符合题意； B．数量（一定）＝总价÷单价，所以比值一定，单价和总价成正比例，符合题意； C．已修的路＋未修的路＝这段路的总长（一定），是对应的两个量的和一定，所以修一段路，已经修的与未修的不成比例，不符合题意； D．底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以它的底和高成反比例关系，不符合题意。 故答案为：B 19．（2分）东莞与广州两座城市相距约60千米，在一幅地图上，两个城市的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．5∶60 B．12000∶1 C．1∶12000 D．1∶1200000 【答案】D 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可解答。 【解答】5厘米∶60千米 ＝5厘米∶6000000厘米 ＝1∶1200000 所以这幅地图的比例尺是1∶1200000。 故答案为：D 20．（2分）一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】D 【分析】根据题意，按照1∶4的比例放大，放大后的两条直角边分别是（3×4）厘米，（4×4）厘米，求出放大后的两条直角边，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出面积。 【解答】（3×4）×（4×4）÷2 ＝12×16÷2 ＝192÷2 ＝96（平方厘米） 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是96平方厘米。 故答案为：D 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求未知数x。 3x－49＝26                0.3x＋x＝10.8           x∶75%＝∶10 【答案】x＝25；x＝12；x＝ 【分析】3x－49＝26，根据等式的性质1，方程两边同时加上49，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可。 0.3x＋x＝10.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出0.3＋的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.3＋的和即可。 x∶75%＝∶10，解比例，原式化为：10x＝75%×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以10即可。 【解答】3x－49＝26 解：3x－49＋49＝26＋49 3x＝75 3x÷3＝75÷3 x＝25 0.3x＋x＝10.8 解：0.3x＋0.6x＝10.8 0.9x＝10.8 0.9x÷0.9＝10.8÷0.9 x＝12 x∶75%＝∶10 解：10x＝75%× 10x＝× 10x＝ 10x÷10＝÷10 x＝× x＝ 五、作图题（满分6分） 22．（6分）操作。 （1）按1∶3画出长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1画出梯形放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）图中长方形按1∶3缩小，则原来长方形的长和宽都除以3，求出缩小后长方形的长和宽，据此画出缩小后的长方形。 （2）图中梯形按2∶1放大，则原来梯形的上底、下底和高都乘2，求出放大后梯形的上底、下底和高，据此画出放大后的梯形。 【解答】（1）缩小后长方形的长：6÷3＝2 缩小后长方形的宽：3÷3＝1 缩小后的长方形如下图。 （2）放大后梯形的上底：4×2＝8 放大后梯形的下底：2×2＝4 放大后梯形的高：2×2＝4 放大后的梯形如下图。 六、解答题（满分48分） 23．（6分）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 【答案】50元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据分别计算展览馆到文化馆的距离和文化馆到小明家的距离，把单位转化为千米，再用两段距离的和减去3，乘2，可得超出3千米的车费，再加8元，即可得解。 【解答】展览馆到文化馆的距离：8÷＝1600000（厘米） 1600000厘米＝16千米 文化馆到小明家的距离：4÷＝800000（厘米） 800000＝8千米 8＋（16＋8－3）×2 ＝8＋21×2 ＝8＋42 ＝50（元） 答：小明从家出发经文化馆去展览馆需要付50元车费。 24．（6分）2023年10月26日，“神州十七号”载人飞船发射成功。本次飞行是中国载人航天工程实施以来第30次飞行，也是第12次载人飞行。主要任务是实施出仓活动、继续开展空间科学实验、完成与“神州十八号”载人飞船的“太空会师”等等。据报道，“神州十七号”载人飞船每秒飞行7.68千米，绕地球飞行两圈大约需要180分钟。照这样计算，“神州十七号”载人飞船一天能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 【答案】16圈 【分析】根据题意可知，载人飞船绕地球飞行的圈数∶飞行的时间＝载人飞船飞行每小时绕地球的圈数（一定），比值一定，那么飞行的圈数与飞行的时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。注意单位的换算“1小时＝60分钟”。 【解答】180分钟＝3小时 解：设“神州十七号”载人飞船一天能绕地球飞行圈。 ∶24＝2∶3 3＝24×2 3＝48 3÷3＝48÷3 ＝16 答：“神州十七号”载人飞船一天能绕地球飞行16圈。 25．（6分）水果萝卜是潍坊特产，为了方便挑选优质萝卜，商家准备建造选萝卜仓库。如果用边长是8分米的方砖给仓库铺地，需要250块，如果改用边长是10分米的方砖，需要多少块？ 【答案】160块 【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×块数＝仓库地面的面积（一定），乘积一定，则每块方砖的面积与块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设需要块。 （10×10）＝8×8×250 100＝16000 ＝16000÷100 ＝160 答：需要160块。 26．（6分）笔墨纸砚是我国独有的文书工具，被称为“文房四宝”，其中墨锭的制作过程最为繁杂。王叔叔根据教程自己制作墨锭，12克墨锭能磨出墨液240毫升。如果想磨出600毫升墨液，要制作多少克的墨锭？ 【答案】30克 【分析】设要制作克的墨锭，由题意可知，墨锭的质量与磨出的墨液的体积成正比例，据此列出比例并根据比例的基本性质解比例即可。 【解答】解：设要制作克的墨锭。 答：要制作30克的墨锭。 27．（6分）一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 【答案】20天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲乙两队合做10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；设乙单独做这项工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙两队的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三队1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根据工作总量＝工作效率×工作时间；用余下的工程乙需要的天数×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三队1天的工作量＝工作总量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。 【解答】解：设乙单独做这项工程要x天完成。 （－＋＋－）×1＋16.5×＝1 （＋－）＋＝1 －＋＝1 ＋＝1 ＝1－ ＝ 31x＝15.5×40 31x＝620 x＝620÷31 x＝20 答：乙单独做这项工程要20天完成。 【点评】明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，是解答本题的关键。 28．（8分）小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与时间成什么比例？请说明理由。 （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解） 【答案】（1）正比例；理由见详解 （2）25个 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意可知，每小时做绢花的数量不变，小丽做手工绢花的数量和时间成正比例； （2）设小丽5小时可以做x个手工绢花，2小时做10个绢花，小丽做手工绢花的数量和时间成正比例，列比例：10∶2＝x∶5，解比例，即可解答。 【解答】10÷2＝20÷4＝30÷6＝5（一定） 答：小丽做手工绢花的数量与时间成正比例。做的数量和做的时间成正比例关系。 （2）解：设小丽5小时做x个手工绢花。 10∶2＝x∶5 2x＝10×5 2x＝50 x＝50÷2 x＝25 答：小丽5小时可以做25个手工绢花。 29．（10分）某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 【答案】（1）200 （2）这批牛奶的总量；反 （3）0.8升 【分析】（1）通过每瓶容量与瓶数的乘积可求出牛奶总量； （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此判断每瓶容量和灌装瓶数的关系； （3）利用牛奶总量不变，每瓶容量和灌装瓶数成反比例这一性质列方程求解。 【解答】（1）0.25×800＝200（升） 所以这批牛奶的总量是200升。 （2）这批牛奶的总量没有变，每瓶容量和灌装的瓶数成反比例。 （3）解：设每瓶要装x升。 250x＝0.25×800 250x＝200 250x÷250＝200÷250 x＝0.8 答：每瓶要装0.8升。 学科网（北京）股份有限公司 $$