1.4 平行线的判定（讲练）（7大题型52题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 (基本事实) 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 判定方法4 (基本事实推论) 在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行 ∵， ∴∥ 注意： （1）前面我们讲的平行线的画法，用的就是判定方法1. （2）上面的前三种判定方法都是建立在“三线八角”这个基本图形之上的,都是根据角的相等或互补推得两条直线平行，是利用数量关系判定两直线平行. （3）除上面的四种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习】 【练习1-1】如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）      A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断． 【详解】解：依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【练习1-2】如图，将两个完全相同的三角板的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用三角形板的特征可确定，然后根据内错角相等，两直线平行可判断． 【详解】解：如图， 由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：A． 【练习1-3】如图，下列条件能判定直线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】识别同旁边内角，根据平行线的判定方法处理． 【详解】解：根据同旁边内角互补，两直线平行，知，则； 故选：A 【练习1-4】若直线，，，，则直线，的位置关系是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线、与直线、的位置关系，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∴， 故答案为：． 错误警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手:两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线.确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 【典例】如图所示，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，由结合内错角相等，两直线平行可得，由结合同旁内角互补，两直线平行可得，由而且两个角不是内错角，不是同位角，不能判定两直线平行，由同理可得，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； ∵， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-2】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 【答案】/平行于 【解析】 【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【典例】如图，下列条件能判断两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A．由可得，故不符合题意； B．由可得，故符合题意； C．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意； D．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意； 故选B． 【变式2-1】下列图形中，由，能得到是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，不能得到； B、，不能得到； C、，内错角相等，两直线平行，能得到，不能得到； D、，内错角相等，两直线平行，得到； 故选D． 【变式2-2】在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据，可以由内错角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解；由三角板中角度的特点可知， ∴由内错角相等，两直线平行可得， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 方法技巧：利用角相等判定两直线平行 要判定两直线平行，我们可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要依具体的题目而定，原则是和已知条件有尽可能多的联系。 【典例】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（　　） A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180° C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA 【答案】A 【解析】 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断． 【详解】解：若∠C+∠ADC＝180°，则BC∥AD，故A选项正确； 若∠A+∠ABC＝180°，则BC∥AD，∠A+∠ABD＝180°，无法得到BC∥AD，故B选项错误； 若∠CBD＝∠ADB，则BC∥AD，∠CBD＝∠ADC，无法得到BC∥AD，故C选项错误； 若∠C＝∠CDE，则BC∥AD，∠C＝∠CDA，无法得到BC∥AD，故D选项错误； 故选：A． 【变式3-1】能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A．由，，不能判定直线，故A选项不符合题意； B．由，，不能判定直线，故B选项不符合题意； C．由，，不能判定直线，故C选项不符合题意； D．由，，可得，能判定直线，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是　 　度． 【答案】75 【解析】 【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答． 【详解】解：如图，∵∠2＝105°， ∴∠3＝∠2＝105°， ∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝180°﹣105°＝75°． 故答案为：75． 方法技巧：利用角的关系判定两直线平行的方法 要判断两直线是否平行，应先将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截构成的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定条件. 【典例】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　 　． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD． 故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）． 【变式4-1】如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】解：添加：， ，， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由平行线的判定，即可得到答案． 本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】能判定的条件有，，，． 故答案为：（答案不唯一）． 【典例】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ 　 　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　 　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】首先根据角平分线定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【详解】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 【变式5-1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 因为平分，平分（已知）， 所以___________，___________， 所以___________（　　）， 因为（　　）， 所以___________， 所以（　　）． 【答案】平行，见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】解：因为平分，平分（已知）， 所以，， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式5-2】阅读下面的解答过程，并填空． 如图，，平分，平分，．求证：． 证明：∵平分，平分，（已知） ∴__________，_________．（角平分线的定义） 又∵，（已知） ∴∠____________=∠____________．（等量代换） 又∵，（已知） ∴∠____________=∠____________．（等量代换） ∴．（____________） 【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案． 【详解】证明：∵平分，平分，（已知） ∴，．（角平分线的定义） 又∵，（已知） ∴．（等量代换） 又∵，（已知） ∴．（等量代换） ∴．（同位角相等，两直线平行）． 【典例】如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定．根据题意，拐角和是内错角，进而得出答案． 【详解】解：， （内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 【变式6-1】一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出对应的示意图，结合平行线的判定条件进行求解即可． 【详解】解：A．如图所示， 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意； B．如图所示， 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意； C．如图所示，    由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意； D．如图所示，    由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意． 故选A． 【变式6-2】如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 【答案】 内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解，要使公路和在同一方向上，即和平行，根据内错角相等，两直线平行，可得． 【详解】解：要使公路和在同一方向上，即， 当时， 依据是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行 【典例】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一判断即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意； 、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，符合题意， 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：． 【变式7-1】如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由． 【答案】平行，理由见解析. 【解析】 【分析】首先根据垂直定义可得∠DBE=90°，进而可得∠1+∠2=90°，再利用等量代换可得∠2=∠C，进而可证出DB∥CF． 【详解】CF∥BD. 方法一：∵BD⊥BE， ∴∠DBE＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠2＝∠C， ∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)． 方法二：∵BD⊥BE， ∴∠DBE＝90°， ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°， ∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)． 【变式7-2】如图，已知射线与直线交于点O，平分，于点O，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，再利用平行线的判定解答即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 1．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中能得到l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠2＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴l1∥l2， 故A符合题意； 由∠3＝∠5，不能判定l1∥l2， 故B不符合题意； 由∠2＝∠5，不能判定l1∥l2， 故C不符合题意； 由∠2+∠4＝180°，不能判定l1∥l2， 故D不符合题意； 故选：A． 2．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行公理的推论进行分析判断即可． 【详解】解：A．如果，，那么，故A正确，不符合题意； B．如果，，那么，故B正确，不符合题意； CD．如果，，那么，而不是，故C错误，符合题意，D正确不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推理，解题关键在于掌握“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”． 3．如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．若∠A＝∠1，则AB∥CD D．若∠A+∠ADC＝180°，则AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由∠1＝∠2，判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、判断正确，故B符合题意； C、∠A和∠1不是同位角也不是内错角，∠1＝∠A不能判定AB∥CD，故C不符合题意； D、由∠A+∠ADC＝180°，判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：B． 4．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：B． 5．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据题意，画出图形即可判断，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下：    由图可得，选项两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，理由是：根据同旁内角互补，两直线平行， 故选：． 6．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 7．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④. 【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90， ∴∠1=∠3，故①正确； ∵， ∴ ∠E=60， ∴∠1=∠E， ∴AC∥DE，故②正确； ∵， ∴， ∵, ∴∠3=∠B, ∴,故③正确； ∵， ∴∠CFE=∠C， ∵∠CFE+∠E=∠C+∠1， ∴∠1=∠E=, ∴∠2=90-∠1=，故④正确， 故选：D. 8．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理：______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：如下图所示， ∵∠1=∠2， ∴(同位角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行 9．一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解． 【详解】解：∵根据题意，， ∴，依据为：内错角相等，两直线平行 故答案为：内错角相等，两直线平行． 10．如图，直线、被直线所截，，当______时，． 【答案】115 【解析】 【分析】若，则，由可得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，若要，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：115． 11．观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加什么条件（要求：至少找出4个条件） 答：①　 　；②　 　； ③　 　；④　 　． 【答案】∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，∠EAD＝∠EBC，∠FDA＝∠FCB． 【解析】 【分析】如果∠DAC＝∠ACB，利用内错角相等判定两直线平行， 如果∠ADB＝∠DBC，利用内错角相等判定两直线平行， 如果∠EAD＝∠EBC，利用同位角相等判定两直线平行， 如果∠FDA＝∠FCB，利用同位角相等判定两直线平行． 【详解】解：∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，∠EAD＝∠EBC，∠FDA＝∠FCB． 12． 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：根据题意可知它所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有　 　个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线l1∥l2，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1＝∠3， ∴l1∥l2，故①符合题意； 当∠2＝∠3时，无法判断l1∥l2，故②不符合题意； ∵∠4＝∠5， ∴l1∥l2，故③符合题意； ∵∠2+∠4＝180°， ∴l1∥l2，故④符合题意； 故答案为：3． 14．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2， ∴mn，故①符合题意； ∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2=2∠1，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， ∴ECn， ∴mn，故④符合题意； ∵∠ABC=∠2-∠1， ∴∠2=∠ABC+∠1， ∴mn，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 15．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【解析】 【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，， 解得：t=2； 当时，， 解得：t=14； 当时，木棒a停止运动， 当时，， 解得：t=-10；（不合题意，舍去） 当时，或， 解得：t=50或t=110； 综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行． 故答案为：2或14或50或110 16．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，分三种情况： ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 17．完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠　 　＝90° （ 　 ）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　）， 即∠　 　+∠B＝180°， ∴AD∥BC （ 　 　）． 【答案】BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行． 【解析】 【分析】由AB⊥AC，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证． 【详解】解：证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠BAC＝90° （垂直的定义）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）， 即∠BAD+∠B＝180°， ∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行． 18．如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3． （1）从∠1＝∠2可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （2）从∠1＝∠3可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？ 【答案】a∥b，同位角相等，两直线平行；a∥c，内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判断a∥b； （2）根据内错角相等，两直线平行可判断a∥c； （3）根据平行线同一条直线的两直线平行可判断直线a、b、c互相平行． 【详解】解：（1）∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； （2）∵∠1＝∠3， ∴a∥c（内错角相等，两直线平行）； （3）∵a∥b，a∥c， ∴b∥c，即直线a、b、c互相平行（平行线同一条直线的两直线平行）． 故答案为:a∥b，同位角相等，两直线平行；a∥c，内错角相等，两直线平行． 19．光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知，．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由．    【答案】平行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，想要证明，结合图形只要先证明，再利用内错角相等，两直线平行即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据∠1＝∠2利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再根据∠3+∠4＝180°利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出CD∥EF，从而即可证出结论． 【详解】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3+∠4＝180°， ∴CD∥EF． ∴AB∥EF． 21．如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，平角的定义： （1）根据题意先得到，再由平角的定义求解即可； （2）根据题意得到，再由平角的定义得到，，由此可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【详解】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD＝∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 23．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【解析】 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果． 【详解】A、当时，；故A不符合题意； B、当时，；故B不符合题意； C、当时，；故C符合题意； D、∵，则， ∵，则， ∴；故D不符合题意； 故选：C 3．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 4．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可． 【详解】一副三角板如图摆放， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 (基本事实) 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 判定方法4 (基本事实推论) 在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行 ∵， ∴∥ 注意： （1）前面我们讲的平行线的画法，用的就是判定方法1. （2）上面的前三种判定方法都是建立在“三线八角”这个基本图形之上的,都是根据角的相等或互补推得两条直线平行，是利用数量关系判定两直线平行. （3）除上面的四种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习】 【练习1-1】如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）      A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【练习1-2】如图，将两个完全相同的三角板的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【练习1-3】如图，下列条件能判定直线的是（    ）    A． B． C． D． 【练习1-4】若直线，，，，则直线，的位置关系是 ． 错误警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手:两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线.确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 【典例】如图所示，若，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 【典例】如图，下列条件能判断两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列图形中，由，能得到是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ． 方法技巧：利用角相等判定两直线平行 要判定两直线平行，我们可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要依具体的题目而定，原则是和已知条件有尽可能多的联系。 【典例】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（　　） A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180° C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA 【变式3-1】能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是　 　度． 方法技巧：利用角的关系判定两直线平行的方法 要判断两直线是否平行，应先将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截构成的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定条件. 【典例】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　 　． 【变式4-1】如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 【变式4-2】如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可） 【典例】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ 　 　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　 　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 【变式5-1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 因为平分，平分（已知）， 所以___________，___________， 所以___________（　　）， 因为（　　）， 所以___________， 所以（　　）． 【变式5-2】阅读下面的解答过程，并填空． 如图，，平分，平分，．求证：． 证明：∵平分，平分，（已知） ∴__________，_________．（角平分线的定义） 又∵，（已知） ∴∠____________=∠____________．（等量代换） 又∵，（已知） ∴∠____________=∠____________．（等量代换） ∴．（____________） 【典例】如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【变式6-1】一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【变式6-2】如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 【典例】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( ) A. B. C. D. 【变式7-1】如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由． 【变式7-2】如图，已知射线与直线交于点O，平分，于点O，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 1．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中能得到l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠2＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 2．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 3．如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．若∠A＝∠1，则AB∥CD D．若∠A+∠ADC＝180°，则AD∥BC 4．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 6．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 8．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理：______． 9．一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ． 10．如图，直线、被直线所截，，当______时，． 11．观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加什么条件（要求：至少找出4个条件） 答：①　 　；②　 　； ③　 　；④　 　． 12． 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 13．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有　 　个． 14．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 15．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 16．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 17．完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠　 　＝90° （ 　 ）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　）， 即∠　 　+∠B＝180°， ∴AD∥BC （ 　 　）． 18．如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3． （1）从∠1＝∠2可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （2）从∠1＝∠3可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？ 19．光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知，．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由．    20．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF． 21．如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 22．如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 23．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 4．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$