热点08 圆的基本性质和圆与直线位置关系（15大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点08 圆的基本性质和圆与直线位置关系 中考数学中数与式部分主要考向分为九类： 一、垂径定理（每年1~2道，3~6分） 二、圆心角和圆周角定理（每年1~2道，3~6分） 三、三角形的外接圆（每年1道，3分） 四、直线与圆的位置关系（每年1~2道，3~8分） 五、切线定理（每年1~2道，6~12分） 六、切线长定理（每年1~2道，3~12分） 七、三角形的内切圆（每年1~2道，3~6分） 八、正多边形与圆（每年1~2道，3~8分） 九、弧长与扇形面积（每年1~2道，3~6分） 圆这块内容在四川中考中是属于必考题型，常以选择题、填空题以及解答题的形式出现，考查内容广泛。在选择填空题中常考查圆的基本性质（如垂径定理、圆周角、圆心角等等）和直线与圆的位置关系等，熟练掌握这些性质和定理是得分的关键，在解答题中就考察的比较综合了，常结合特殊四边形、相似三角形、全等三角形以及函数进行考查，属于几何压轴题型（此小节在重难点板块会详细讲解）。圆在选填题中考查难度交易，是属于很好提分的题型，需要结合往年中考题型进行练习。 考向一：垂径定理 【题型1 利用垂径定理求值】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧； 如图所示，CD是圆O的直径，垂直于弦AB，垂足为点E，则AE=EB，点D平分劣弧，点C平分优弧。 垂径定理的推论如下： 1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧； 2. 弦的垂直平分线是直径，且平分弦所对的两条弧； 3. 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，且平分弦所对的另一条弧； 4. 平行弦所夹的弧长相等。 垂径定理与其推论可以概括为如下所述的“知二推三” 。 给定圆中的两条弦，其中一条弦：①过圆心（是直径）；②垂直于另一条弦；③平分另一条弦（非直径）；④平分另一弦所对的优弧；⑤平分另一弦所对的劣弧。这五条中，以任意两条为前提，均可推出另外三条。 常见模型及其解题方法 弦长计算：构造直角三角形，用勾股定理关联半径(r)、弦长(a)、弦心距(d)的关系，即 r² = d2 +()² 平行弦距离：需分圆心同侧/异侧两种情况讨论，结合弦心距差值/和值计算。 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示，   ，， ， ， ，， 在中，， ， 故选：B． 2．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 3．（2024·四川广元·一模）如图，线段是的直径，于点 E， 若，则的长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、， ， ， 设，则，的半径等于， 在中，， 由勾股定理得：， 或（舍去）， ， ，， 的直径于， ． ，即， ， ， ． 故选：A 5．（2024·四川乐山·一模）如图，在中，弦弦，垂足为，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，过作于点，于点， ，， ， ， ，，， ， ， 为的中点， ， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在直角三角形中，，， 根据勾股定理得：， 则的面积． 故选：C． 6．（2024·四川南充·三模）如图，在中，是直径，是弦，的平分线交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， 连接交于点， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．（2024·四川广元·二模）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 过点作半径于点，则， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 故选：B． 8．（2024·四川宜宾·一模）如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为  （   ）    A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：连接以及过点O作，    设， ∵，， ∴， 则， ， ∴， ∴（负值已舍去）， 故选：B． 9．（2022·四川巴中·中考真题）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：如图，连接BC， ∵为的直径，， ∴AB⊥CD， ∵∠BAC=∠CDB=30°，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴OA=2， ∴OE=AE-OA=1． 故选：C 10．（2023·四川南充·中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．    【答案】4 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D，M分别是弦，弧的中点， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型2 垂径定理实际应用】 1.几何计算类 题型特点：已知弦长、半径、弦心距中的两个量，求第三个量，或结合弧长、面积计算。 解题关键：构造直角三角形，利用勾股定理求解； 2.实际问题建模类 常见场景：管道截面修复、筒车取水、桥拱高度计算等。 解题步骤 ① 抽象出圆模型，确定弦、直径、弦心距等要素； ② 列方程或勾股关系求解。 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 3．（2024·四川南充·一模）要测量一个残损圆盘的半径．如图，小伟先在圆盘的圆弧上任取两点A，B，再分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过M，N作直线，分别与弧AB，弦AB交于点C，D．测得，，可计算出圆盘的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆心为O，连接． 在中，， 根据勾股定理得：，即：， 解得：； 故圆盘的半径为， 故选：C． 4．（2023·四川泸州·一模）数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边在上截得的线段（）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则的半径为（    ）    A．3厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点O作于F，连接，设，则，      ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴的半径为3厘米， 故选：A． 5．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为 厘米． 【答案】26 【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB， ∴BC=10厘米， 令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2， 在Rt△BOC中 OC2+BC2=OB2， ∴（r-2）2+102=r2， 解得r=26． 故答案为：26． 6．（2023·四川成都·二模）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是 ． 【答案】 【详解】如图，连接交于点，则点是拱门圆弧形的圆心， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故填：． 7．（2024·四川成都·一模）如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．过点O作弦的垂线，D为垂足，交于点C．经测量， cm， cm，则此车轮半径为 cm． 【答案】75 【详解】解∵于点D，cm， ∴ cm， 由题意，得cm， 在中，由勾股定理， 得， 解得， 即车轮半径为75 cm， 故答案为：75． 8．（2023·四川广安·一模）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为O，连接，， 是的中点，，即为圆的半径， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 故所在圆的半径为； （2）解：如图，连接，设与交于点G，则， 在中，，， ， ， 故此时水面的宽度为．    考向二：圆心角和圆周角定理 【题型3 圆心角和圆周角定理综合】 圆心角与圆周角的关系 ①同弧(或等弧)所对的圆周角是圆心角的一半； ②同弧(或等弧 )所对的同周角相等； ③圆内接四边形的对角互补； ④半圆或直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对弦是直径。 常见中考题型及其解题思路 ①基础定理应用 题型示例：判断圆心角与圆周角的度数关系(如：已知圆心角求圆周角或反之) 关键公式：圆周角=圆心角，如圆心角为84°,对应圆周角为42°或138°；(需分情况讨论)。 ②垂径定理与圆周角综合题 典型考法：结合垂径定理、圆心角、弦长关系，求半径或弦长。例如：通过弦长和圆心角构造直角三角形，利用勾股定理计算； 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示：   点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 2．（2024·四川广元·二模）如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，， ， ， 是劣弧的中点， ， ． 故选：B 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 【答案】75 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 7．（2023·四川广安·中考真题）如图，△ABC内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    ， ， ， ，， ∵圆的半径为7， ， ， ， 故答案为：． 8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵△ABC是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵△ABC是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【题型4 圆的内接四边形】 圆内接四边形是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。 ①圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°； ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC； ③圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB； ④同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD； ⑤圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)。 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【详解】∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 3．（2024·四川雅安·三模）如图，点A，B，C，D在上，，，则大小为（   ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【详解】解：， ， ； 由圆内接四边形的性质知：； 故选：C． 4．（2024·四川眉山·一模）如图，点在上，点在的内部，若四边形是平行四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点在上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（2024·四川达州·二模）如图，四边形内接于，是直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴ ∴ 故选． 6．（2024·四川广元·二模）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接若，则的大小为（    ）     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 【答案】60° 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 8．（2024·四川内江·三模）如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵P为上的一点（点P不与点A，B重合）， ∴， 故答案为： 9．（2023·四川广安·一模）如图，在△ABC中，，，边，分别交于点D，E，连接，则的度数为 ． 【答案】/80度 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考向三：三角形的外接圆 【题型5 利用三角形的外接圆求值】 三角形的外接圆题型在中考中也是时常出现的，主要以以下题型为主： 1.求角度或边长 题型特点：已知外接圆相关条件(如圆心角、切线性质等)，求三角形内角或边长。其中所涉及到的公式是圆周角定理（圆心角是圆周角的2倍）； 2.求外接圆半径 题型特点：直接或间接给出三角形边长，利用公式或几何关系求半径； 示例：直角三角形外接圆半径为斜边的一半；一般三角形可以通过公式（其中a、b、c为三角形的三边，S为三角形的面积） 掌握外接圆的核心性质(外心位置、半径公式、垂直平分线关系)是解题基础需结合几何画图与代数计算能力。中考命题常通过坐标系、动态几何等综合题型考查，建议通过真题练习强化分析能力，并注意易错点的规避。 1．（2024·四川泸州·一模）如图，△ABC中，，点O为△ABC的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵△ABC中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为△ABC的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024·四川绵阳·一模）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，△ABC的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 【答案】D 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 3．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 4．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC内接于，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应B点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 【答案】A 【详解】解：连接， 将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2023·四川广元·一模）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点是的外心，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 把代入， ∴， ∴，且 ∴， ∵， ∴， 答案为：． 6．（2024·四川乐山·一模）如图，是的外接圆，为，连接，，，若，，则弧的长是 （结果保留）． 【答案】 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长是， 答案为：． 7．如图，在△ABC中，，，上的高．则△ABC外接圆的半径长为 ． 【答案】/ 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即△ABC外接圆的半径长为 故答案为：． 考向四：直线与圆的位置关系 【题型6 直线与圆的三种位置关系】 直线与圆的位置关系分别为相离、相交、相切，如图所示 关系 图象 符号表示 描述 相切 AB与⊙O相交，d＜r 直线与圆有两个公共点 相交 AB与⊙O相交，d=r 直线与圆只有一个公共点 相离 AB与⊙O相交，d＞r 直线与圆没有公共点 解题注意事项 1.分类讨论思想：当题于未明确直线斜率是否存在、圆与直线位置关系时，需分情况讨论避免漏解； 2.数形结合优先：几何法(比较d与r)通常比代数法更直观高效，尤其是涉及距离或对称性的问题； 3.计算准确性 代数法中易错点：联立方程时漏项、判别式计算错误;几何法中需注意距离公式符号； 4.实际应用题转化：如硬币滚动问题需转化为直线与圆相切的路径分析，结合周长计算滚动圈数。 1．（2024·四川绵阳·一模）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 2．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 3．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【详解】解：当点在射线时与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 4．（四川·四川德阳·二模）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【详解】若直线与半圆有交点，则    直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 5．（2024·四川眉山·一模）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 考向五：切线定理 【题型7 切线的性质定理求解】 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； 主要性质：线段DA垂直于直线AB（AD为直径） （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，    ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 2．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，，    ∵，，， ∴， ∵以为直径的半圆与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴解得． 故选：B． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设△ABC三边内切于点，连接， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图，是的弦，半径于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的弦，半径于点，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的长为， 故选：A． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 6．（2024·四川内江·一模）如图在平面直角坐标系中，直线过点的半径为于点P，切于点，那么切线长的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴； 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．（2024·四川广元·二模）如图，A，C为上的点，过点 C 与相切的直线交射线于点B，连接．若， 则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ 与相切于点， ， ， ∴ 在直角中，． 故选：A． 8．（2024·四川泸州·一模）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接．为半径，与相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点关于的对称点为， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 设与切于点，连接，并延长交于点，如图所示， ，， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴， 故选：A． 9．（2024·四川泸州·一模）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC的面积最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时△ABC的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴△ABC的面积最大值为， 故选：A． 10．（2023·四川眉山·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是以点为圆心，半径长为2的圆上一动点，过点P的切线交直线于点Q，则线段的最小值是（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵过点P的切线交直线于点Q， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可得，当时，最小，即此时最小， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2024·四川泸州·一模）如图，已知是的直径，是的切线，交于点，，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】解：是的直径，是的切线， 的度数为， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2024·四川雅安·一模）如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则 度． 【答案】 【详解】解：如图所示 连接， 切于， ， ， ， 的度数是， 的度数是， ， 故答案为：． 13．（2024·四川广元·二模）如图，为⊙O的直径，平行四边形的边交于点与相切于点E，若EF=π，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图连接、， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 故答案为：12． 【题型8 切线的性质定理和判定定理综合】 一、切线的性质定理与判定定理总结 1.性质定理 圆的切线：垂直于经过切点的半径； 推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心； 2.判定定理 直线需满足两个条件：①经过半径外端点；②垂直于这条半径； 其他判定方法：若直线与圆有唯一公共点，或圆心到直线的距离等于半径； 中考常考题型与解题要点：证明题(高频考点) 1.切线判定证明 题型示例：如图，已知直线过圆上一点，需证明该直线为切线； 关键步骤：连接圆心与切点，证明该半径与直线垂直(常用勾股定理逆定理、全等三角形或角度关系)； 2.几何性质综合证明 题型示例：结合菱形、等腰三角形等图形，证明线段相等或角度关系。 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：    由（1）得， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴, ∴即， 解得：， ∴． 2．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线， （2），， ， ， 设的半径为， ， 在 中， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 经检验是所列方程的解， ． 3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 8．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)14 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； （2）解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明： ．               ， ．                                  即 ． 又∵为半径，                               是的切线． （2）解：连接． ∴．         是直径， ．                   在中，．          ．             又是直径 的半径长为．                   10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)，． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②的半径为． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 考向六：切线长定理 【题型9 利用切线长定理求解】 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。（如图AB，AC） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等（AB=AC），这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角（∠BAO=∠CAO）。 推理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接OB， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=28°， ∴∠AOB=124°， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP=180°， ∴∠APB+∠AOB=180°； ∴∠APB=56°． 故选：C 3．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，为△ABC的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，，分别过点、作、的垂线，分别交、的延长线于点、， ∵为的内切圆，切点分别为、、， ∴，，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，，， ∴， 设， ∴，， 由切线长定理可得，即， 解得， ∴， 如图，连接交于点， ∴，， 由题意可得、都是等腰直角三角形， ∴，， 在中，设， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得，即， ∴， 同理，在中，得， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是的切线， ∵为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， ∴． 故选：Ｄ． 5．（2024·四川南充·三模）如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，分别与相切于点，， ，， ，， 为的直径，， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 故选：B． 6．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与相切于点，设正方形的边长为 ， ∵是切线， ∴，，， 设，， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 7．（2024·四川资阳·一模）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： 点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点， ，， ∴， 在中，，AB＝3，BD＝4， 由勾股定理得， ， 设半径，则， 在中，，CD＝2，，， 由勾股定理知， 得，即， 解得， 故选：D． 8．（2023·四川绵阳·一模）如图，分别与相切与点，连接并延长与的延长线相交于点．已知，则的长为 ． 【答案】 【详解】 解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·一模）如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形的周长为， ， 与四边形各边都相切，切点分别为，，，， ，，，， ， ， 故答案为：18． 10．（2024·四川凉山·一模）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为24，则四边形的周长为 ． 【答案】28 长可求出正方形的边长，最后在中，利用勾股定理可求出的长，从而可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线， 又∵与相切于点F， ∴由切线长定理可得， 同理可得， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴直角梯形周长， 故答案为：28． 11．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1(2)见解析 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点A在上，以为直径的交的延长线于点G，过点E作于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，过圆心O作，垂足为D， ∵，， ， ， ， ∵， ，即是的角平分线 ∵，， ，即是的半径， 是的切线． （2）解：∵，可设，， ， 由（1）知，分别切于点B，D， ， ， 在和中，， 即 ， ∵， ， ． 考向七：三角形的内切圆 【题型10 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 一、三角形周长、面积与内切圆半径的关系 如图1所示：∠BOC=90°+∠BAC； 如图2所示：设三角形三边长分别为a、b、c，周长为L，面积为S，则S=rL或r=； 如图3所示：若三角形为直角三角形，设直角边为a、b，斜边为c，则r=； 二、中考常考题型 ①直接计算型：已知周长和面积，求内切圆半径(直接代入公式如上)。已知内切圆半径和某边长，求面积或周长(需结合其他条件)。 ②几何综合题 与勾股定理结合：如直角三角形的内切圆半径计算； 动态几何问题：如折叠问题中求内切圆半径，需利用全等或相似三角形分析。 ③实际应用题 环形面积计算：通过外圆与内切圆半径差求面积； 工程问题：如钢管横截面积计算，需注意单位换算和有效数字保留。 ④推理证明题：利用内切圆性质证明线段相等或角度关系。合切线长定理，推导三角形边长与内切圆半径的关系。 1．（2023·四川泸州·一模）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：中，，， ， ，， 内切圆半径， ， 设与切于点，与切于点，连接、， 则四边形为正方形， ． 故选：C． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为，其内切圆的面积为，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设内切圆与△ABC相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于， ，， ， 同理：， ， ， ， ， 故选A 3．（2022·四川德阳·中考真题）如图，点是△ABC的内心，的延长线和△ABC的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵点是△ABC的内心， ∴，故①正确； 如图，连接BE，CE， ∵点是△ABC的内心， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE， ∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE）， ∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠CBE+∠BCE=60°， ∴∠BEC=120°，故②正确； ∵点是△ABC的内心， ∴， ∴, ∵点为的中点， ∴线段AD经过圆心O， ∴成立，故③正确； ∵点是△ABC的内心， ∴， ∵∠BED=∠BAD+∠ABE， ∴， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD， ∴， ∴∠DBE=∠BED， ∴，故④正确； ∴正确的有4个． 故选：D 4．（2024·四川南充·二模）如图，在中，是△ABC的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， 是△ABC的内切圆， 分别平分， ， ， ， 故选：B． 5．（2024·四川内江·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，   点的坐标为， 点的坐标为， ，， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设， ， ， ， ， ， 延长交于点， ，， ，， ，， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 6．（2024·四川广元·三模）如图，是一块草坪， 其中， 阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 ．    【答案】 【详解】解：如图，记△ABC的内切圆的圆心为，作于，于，于，设的半径为，    ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴小鸟落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 7．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 【答案】/ 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴△ABC的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 8．（2023·四川宜宾·一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵ ∴矩形为正方形 设半径为，则 ∴， ∴ 解得 故答案为： 9．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ． 【答案】289 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故答案为：． 10．（2024·四川乐山·一模）已知△ABC为直角三角形，它的内切圆的半径为2cm，两直角边的长分别是关于x的方程x2﹣17x+6m＝0的两个根，则△ABC的面积为　　（cm2）． 【答案】 【详解】解：如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC＜BC，⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AC、AB、BC边的切点分别为D、E、F， 设方程程x2-17x+6m=0的两个根x1、x2分别是AC、BC边的长， 则x1+x2=17， 设斜边AB的长为c，连接OD、OF，则AC⊥OD，BC⊥OF， ∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°， ∴四边形ODCF是矩形， ∵OD=OF， ∴四边形ODCF是正方形； ∵AD=AE，BF=BE， ∴CD+CF=AC-AD+BC-BF=AC-AE+BC-BE=AC+BC-（AE+BE）=AC+BC-AB； ∵AC=x1，BC=x2，CD=CF=2， ∴4=x1+x2-c，即c=x1+x2-4， ∵Rt△ABC，∠C=90°， ∴， ∴， ∴， 化简得： ， ∴， 故答案为 30． 【题型11 三角形内心有关应用】 三角形内心综合题型经常出现在四川中考试卷中，难度中等偏上，想要在此题型上得分需要清楚的明白中考考的什么样的题型，需要注意的内容 注意事项 ①明确内心的定义与性质：内心是三角形内角平分线的交点，到三边距离相等，且是内切圆的圆心； ②区分“四心”易错点：内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）、重心（中线交点），垂心（高线交点）的区别，避免混淆； ③特殊三角形的内心特性：等边三角形内心、外心、重心、垂心重合；直角三角形内切圆半径可用公式快速计算（计算公式题型10）； ④巧用面积法与代数法：在坐标系或复杂图形中，通过设未知数、列方程求解内心相关参数； ⑤注意分类讨论：当题目未明确三角形形状时，需考虑锐角、直角、钝角三角形内心位置的不同（如钝角三角形内心在形内，垂心在形外）。 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．（2023·四川绵阳·一模）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长AI交于点，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点，连接，设与交于点，过点作于点， 在中， ，，， ， 点为△ABC的外心， 为外接圆半径，， ∴， 为的内心，设的半径为，，， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ，解得， ，， 在中， ，， ， 为的内心， 平分， ， ， ∵ ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ． 3．（2023·四川绵阳·一模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， ． 【答案】 【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵I是△ABC内心， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，点为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： ∵为△ABC的内心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 5．（2024·四川德阳·二模）如图所示，在正方形中，对角线交于点O，E在之间移动，连接，作交于点F，连接，若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，如图所示，      ∵四边形为正方形，， ∴， ∵四边形为正方形， ，， ， ， 、、、四点共圆， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 设，在中，， ，解得或（不合题意，舍去），   ． 故选：C． 6．（2023·四川绵阳·二模）如图，点E是△ABC的内心，的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． (1)求证：； (2)已知，，求该圆的半径的长度； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)该圆的半径的长度为5； (3)． 【详解】（1）证明：连接， ∵点是△ABC的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作△ABC的外接圆的直径，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的半径的长度为5； （3）解：设的直径交于点， ∵平分， ∴点D是的中点， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∴． ． 考向八：正多边形与圆 【题型12 正多边形与圆的综合】 正多边形与圆的相关公式如图所示： （1）正多边形的内角和： （2）正多边形的中心角： （3）正多边形的边心距：（其中r为圆半径，d为正多边形边心距，a为多边形的边） （4）正多边形的面积： （L为正多边形的周长，d为正多边形边心距） 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴△AOB是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴△ABC为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 3．（2022·四川绵阳·中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P， 根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4， ∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为（2，-3）， ∴AP=3，OP=BN=2， ∴，BP=1， ∴点C的纵坐标为1+2=3， ∴点C的坐标为． 故选：A 4．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A．4， B．3，π C．2， D．3，2π 【答案】D 【详解】 解：连接、， 六边形为正六边形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 的长为． 故选：D． 5．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R， ∴ ∴R=3 连接OC和OD，则OC=OD=3 ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD=， ∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD， ∴OC=OD=CD， ∴ 故选 C 6．（2024·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，与边相切于点，连接， 则：，，， ∴△AOB为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 7．（2023·四川资阳·中考真题）如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示：   边长为6的正三角形内接于， 由等边三角形外接圆性质可得、，平分， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，设，则， ， ，解得，即的半径为， ， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 8．（2024·四川成都·一模）如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，可将阴影部分转化为如图所示的形状． 由题易知，， ． 设的半径为r， ． 设OC与BD相交于点G，则． ，． ， ．而， ． 这个点取在阴影部分的概率为． 故答案为：． 9．（2024·四川内江·三模）如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵P为上的一点（点P不与点A，B重合）， ∴， 故答案为： 10．（2024·四川南充·三模）如图，点为正五边形的中心，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：由题意可知，直线是正五边形的对称轴，因此， 五边形是正五边形， ， ， 故答案为：． 考向九：弧长与扇形面积 【题型13 弧长公式】 1.基础弧长计算（弧长公式：） 公式应用：题目直接给出圆心角(如60°、120°等)和半径，要求计算弧长； 2.几何图形中的弧长问题 组合图形周长：常见于半圆、扇形、正多边形与圆组合的图形； 关键点：分解图形，计算各段弧长之和。 3.动态几何路径计算 实际应用：钟表指针尖端移动距离、传送带转动距离等； 4.圆心角与弧长的互化 已知弧长反求参数：给出弧长和半径，求圆心角;或已知弧长和圆心角求半径； 5.圆锥侧面积与弧长综合 圆锥侧面展开图：扇形弧长等于圆锥底面圆周长。 1．（2024·四川泸州·一模）如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正五边形的边长为2， ，， 阴影部分的面积为， 故选：D． 2．（2024·四川内江·二模）如图，正五边形的外接圆为，P为优弧上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在△ABC中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 4．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成， ∴由圆半径相等得，， ∴△ABC为等边三角形， ∴， ∴，， ∴弧1的长，弧2的长， ∴总路径长， 故选：C． 5．（2024·四川成都·二模）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（2024·四川广安·二模）如图，在△ABC中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为的直径， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 8．（2024·四川广元·二模）如图，为⊙O的直径，平行四边形的边交于点与相切于点E，若EF=π，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图连接、， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 故答案为：12． 【题型14 扇形的定义和面积】 扇形的面积公式： （其中n为扇形的圆心角，r为扇形的半径） lr （l为扇形所对的弧长，r为扇形的半径） 1．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 2．（2023·四川广安·中考真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=45°， ， ∴图中阴影部分的面积是 ， 故选：C． 3．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 4．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． 5．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    【答案】184 【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，      圆心O到栏杆的距离是5米， 米， ， ，米， ， ， ， 可容纳的观众 阴影部分面积（人）， 最多可容纳184名观众同时观看演出， 故答案为：184． 6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 7．（2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：连接、    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 8．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等腰△ABC，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．    (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接OD，    ∵， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，设半径为r 在中， ， ， 又， ， ， ， 是的直径． ， ， ∵， ∴， 又， ， (负值已舍)， ， ． 9．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． (1)求证：； (2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：， ， 与相切， ， ， ， ， ； （2）解：如图：连接， 弦平分半径，， ，在中，， ， ， ， ， ，， ， ． 【题型15 圆锥的定义及面积】 圆锥的侧面积公式：（l为圆锥的母线，r为圆锥底面半径）； 圆锥的体积公式：Sh （S为圆锥底面积，h为圆锥的高） 注意事项 1.公式的准确记忆和运用：要牢记圆锥侧面积公式S = πrl和体积公式V=πr2h，并且明确公式中各个字母的含义。在运用公式时，注意单位的统一； 2.母线、高和底面半径的关系：它们满足勾股定理l2= h2+r2，在已知其中两个量时,要能正确求出第三个量。同时，在一些复杂图形中，要能准确找出对应的母线、高和底面半径； 3.侧面展开图的理解：清楚侧面展开图扇形的弧长与圆锥底面周长的关系以及扇形半径与母线长的关系。在解决与侧面展开图有关的问题时，要善于利用这些关系建立等式求解。 4.体积计算中的不要遗漏：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的，在计算体积时，一定不要忘记乘以； 1．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 2．（2024·四川德阳·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 解得． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2023·四川攀枝花·二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵底面圆面积， ∴底面圆的半径为， ∵圆柱高为，圆锥高为， ∴圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， ∴需要毛毡的面积是：， ∴故选． 4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（    ） A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000 【答案】A 【详解】解：如图： 由勾股定理可知：圆锥的母线长， 设底圆半径为r，则由图可知， 圆锥的表面积：， 圆柱的表面积：， ∴组合体的表面积为：， ∵每平方米用锌0.1千克， ∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌． 故选：A 5．（2023·四川达州·一模）已知圆锥的底面圆直径是，高是，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，底面圆的半径为：， 由勾股定理，得：圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积为：； 故答案为：． 6．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 7．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作于H， ∵正六边形， 又，，； 同理可知， ， 在中，， 则，由勾股定理得：， ， 的长， ∴圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． 8．（2024·四川广元·二模）如图，在 中，，，且，将△ABC绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为 ．(选填“”“”或“”) 【答案】> 【详解】解：在中，， ， ， ， 故答案为：． 9．（2023·四川南充·一模）若将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥体，则圆锥体底面圆的半径最大为 ． 【答案】2.5 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． （建议用时：90分钟） 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示 ∴， ∵由旋转可知， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴． 故选：A 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶∵，，， ∴种草区域的面积为， 故选：B． 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】A 【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交于点， 则：， ∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点， ∴轴，轴， ∴轴， ∴， ∴四边形为正方形； ∵， ∴， ∴，； ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵C为优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 5．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于， 沿过点的直线折叠，和重合，， ，，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：D． 6．（2023·四川德阳·中考真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值． 如图所示，．    当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值． 如图所示，．    故答案为：． 7．（2023·四川自贡·中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．    【答案】/ 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 8．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ． 【答案】/144度 【详解】解：∠DCE＝72°， ∴∠BCD=180°-72°=108° 四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∠A=180°-∠BCD=72° ∠BOD=2∠A=144° 故答案为： 9．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， 当时，最小，从而最小，此时， ∵四边形面积， ∴四边形面积的最小值为． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接、． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解；(2)，． 【详解】（1）是的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 的直径是． 12．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于H，则， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 13．（2024·四川达州·中考真题）如图，是的直径．四边形内接于．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，延长交于H，延长交于G，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析(2)是等边三角形，理由见解析(3)． 【详解】（1）证明：连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 圆的基本性质和圆与直线位置关系 中考数学中数与式部分主要考向分为九类： 一、垂径定理（每年1~2道，3~6分） 二、圆心角和圆周角定理（每年1~2道，3~6分） 三、三角形的外接圆（每年1道，3分） 四、直线与圆的位置关系（每年1~2道，3~8分） 五、切线定理（每年1~2道，6~12分） 六、切线长定理（每年1~2道，3~12分） 七、三角形的内切圆（每年1~2道，3~6分） 八、正多边形与圆（每年1~2道，3~8分） 九、弧长与扇形面积（每年1~2道，3~6分） 圆这块内容在四川中考中是属于必考题型，常以选择题、填空题以及解答题的形式出现，考查内容广泛。在选择填空题中常考查圆的基本性质（如垂径定理、圆周角、圆心角等等）和直线与圆的位置关系等，熟练掌握这些性质和定理是得分的关键，在解答题中就考察的比较综合了，常结合特殊四边形、相似三角形、全等三角形以及函数进行考查，属于几何压轴题型（此小节在重难点板块会详细讲解）。圆在选填题中考查难度交易，是属于很好提分的题型，需要结合往年中考题型进行练习。 考向一：垂径定理 【题型1 利用垂径定理求值】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧； 如图所示，CD是圆O的直径，垂直于弦AB，垂足为点E，则AE=EB，点D平分劣弧，点C平分优弧。 垂径定理的推论如下： 1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧； 2. 弦的垂直平分线是直径，且平分弦所对的两条弧； 3. 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，且平分弦所对的另一条弧； 4. 平行弦所夹的弧长相等。 垂径定理与其推论可以概括为如下所述的“知二推三” 。 给定圆中的两条弦，其中一条弦：①过圆心（是直径）；②垂直于另一条弦；③平分另一条弦（非直径）；④平分另一弦所对的优弧；⑤平分另一弦所对的劣弧。这五条中，以任意两条为前提，均可推出另外三条。 常见模型及其解题方法 弦长计算：构造直角三角形，用勾股定理关联半径(r)、弦长(a)、弦心距(d)的关系，即 r² = d2 +()² 平行弦距离：需分圆心同侧/异侧两种情况讨论，结合弦心距差值/和值计算。 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．4 2．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2024·四川广元·一模）如图，线段是的直径，于点 E， 若，则的长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 4．（2024·四川德阳·二模）如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·四川乐山·一模）如图，在中，弦弦，垂足为，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川南充·三模）如图，在中，是直径，是弦，的平分线交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．8 7．（2024·四川广元·二模）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　） A． B． C．2 D．3 8．（2024·四川宜宾·一模）如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为  （   ）    A．5 B．6 C． D． 9．（2022·四川巴中·中考真题）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．（2023·四川南充·中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．    【题型2 垂径定理实际应用】 1.几何计算类 题型特点：已知弦长、半径、弦心距中的两个量，求第三个量，或结合弧长、面积计算。 解题关键：构造直角三角形，利用勾股定理求解； 2.实际问题建模类 常见场景：管道截面修复、筒车取水、桥拱高度计算等。 解题步骤 ① 抽象出圆模型，确定弦、直径、弦心距等要素； ② 列方程或勾股关系求解。 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·一模）要测量一个残损圆盘的半径．如图，小伟先在圆盘的圆弧上任取两点A，B，再分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过M，N作直线，分别与弧AB，弦AB交于点C，D．测得，，可计算出圆盘的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川泸州·一模）数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边在上截得的线段（）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则的半径为（    ）    A．3厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 5．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为 厘米． 6．（2023·四川成都·二模）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是 ． 7．（2024·四川成都·一模）如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．过点O作弦的垂线，D为垂足，交于点C．经测量， cm， cm，则此车轮半径为 cm． 8．（2023·四川广安·一模）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 考向二：圆心角和圆周角定理 【题型3 圆心角和圆周角定理综合】 圆心角与圆周角的关系 ①同弧(或等弧)所对的圆周角是圆心角的一半； ②同弧(或等弧 )所对的同周角相等； ③圆内接四边形的对角互补； ④半圆或直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对弦是直径。 常见中考题型及其解题思路 ①基础定理应用 题型示例：判断圆心角与圆周角的度数关系(如：已知圆心角求圆周角或反之) 关键公式：圆周角=圆心角，如圆心角为84°,对应圆周角为42°或138°；(需分情况讨论)。 ②垂径定理与圆周角综合题 典型考法：结合垂径定理、圆心角、弦长关系，求半径或弦长。例如：通过弦长和圆心角构造直角三角形，利用勾股定理计算； 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·二模）如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 7．（2023·四川广安·中考真题）如图，△ABC内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．    8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【题型4 圆的内接四边形】 圆内接四边形是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。 ①圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°； ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC； ③圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB； ④同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD； ⑤圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)。 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ） A．90° B．100° C．110° D．120° 3．（2024·四川雅安·三模）如图，点A，B，C，D在上，，，则大小为（   ） A．80° B．90° C．100° D．110° 4．（2024·四川眉山·一模）如图，点在上，点在的内部，若四边形是平行四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川达州·二模）如图，四边形内接于，是直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·四川广元·二模）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接若，则的大小为（    ）     A． B． C． D． 7．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 8．（2024·四川内江·三模）如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 9．（2023·四川广安·一模）如图，在△ABC中，，，边，分别交于点D，E，连接，则的度数为 ． 考向三：三角形的外接圆 【题型5 利用三角形的外接圆求值】 三角形的外接圆题型在中考中也是时常出现的，主要以以下题型为主： 1.求角度或边长 题型特点：已知外接圆相关条件(如圆心角、切线性质等)，求三角形内角或边长。其中所涉及到的公式是圆周角定理（圆心角是圆周角的2倍）； 2.求外接圆半径 题型特点：直接或间接给出三角形边长，利用公式或几何关系求半径； 示例：直角三角形外接圆半径为斜边的一半；一般三角形可以通过公式（其中a、b、c为三角形的三边，S为三角形的面积） 掌握外接圆的核心性质(外心位置、半径公式、垂直平分线关系)是解题基础需结合几何画图与代数计算能力。中考命题常通过坐标系、动态几何等综合题型考查，建议通过真题练习强化分析能力，并注意易错点的规避。 1．（2024·四川泸州·一模）如图，△ABC中，，点O为△ABC的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·四川绵阳·一模）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，△ABC的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 3．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC内接于，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应B点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 5．（2023·四川广元·一模）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ． 6．（2024·四川乐山·一模）如图，是的外接圆，为，连接，，，若，，则弧的长是 （结果保留）． 7．如图，在△ABC中，，，上的高．则△ABC外接圆的半径长为 ． 考向四：直线与圆的位置关系 【题型6 直线与圆的三种位置关系】 直线与圆的位置关系分别为相离、相交、相切，如图所示 关系 图象 符号表示 描述 相切 AB与⊙O相交，d＜r 直线与圆有两个公共点 相交 AB与⊙O相交，d=r 直线与圆只有一个公共点 相离 AB与⊙O相交，d＞r 直线与圆没有公共点 解题注意事项 1.分类讨论思想：当题于未明确直线斜率是否存在、圆与直线位置关系时，需分情况讨论避免漏解； 2.数形结合优先：几何法(比较d与r)通常比代数法更直观高效，尤其是涉及距离或对称性的问题； 3.计算准确性 代数法中易错点：联立方程时漏项、判别式计算错误;几何法中需注意距离公式符号； 4.实际应用题转化：如硬币滚动问题需转化为直线与圆相切的路径分析，结合周长计算滚动圈数。 1．（2024·四川绵阳·一模）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 3．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 4．（四川·四川德阳·二模）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    5．（2024·四川眉山·一模）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 考向五：切线定理 【题型7 切线的性质定理求解】 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； 主要性质：线段DA垂直于直线AB（AD为直径） （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）    A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图，是的弦，半径于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川内江·一模）如图在平面直角坐标系中，直线过点的半径为于点P，切于点，那么切线长的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 7．（2024·四川广元·二模）如图，A，C为上的点，过点 C 与相切的直线交射线于点B，连接．若， 则的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．（2024·四川泸州·一模）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接．为半径，与相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·四川泸州·一模）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC的面积最大值为（    ） A． B． C． D．2 10．（2023·四川眉山·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是以点为圆心，半径长为2的圆上一动点，过点P的切线交直线于点Q，则线段的最小值是（　　） A． B．4 C． D．8 11．（2024·四川泸州·一模）如图，已知是的直径，是的切线，交于点，，，则△ABC的面积为 ． 12．（2024·四川雅安·一模）如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则 度． 13．（2024·四川广元·二模）如图，为⊙O的直径，平行四边形的边交于点与相切于点E，若EF=π，，则的长为 ． 【题型8 切线的性质定理和判定定理综合】 一、切线的性质定理与判定定理总结 1.性质定理 圆的切线：垂直于经过切点的半径； 推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心； 2.判定定理 直线需满足两个条件：①经过半径外端点；②垂直于这条半径； 其他判定方法：若直线与圆有唯一公共点，或圆心到直线的距离等于半径； 中考常考题型与解题要点：证明题(高频考点) 1.切线判定证明 题型示例：如图，已知直线过圆上一点，需证明该直线为切线； 关键步骤：连接圆心与切点，证明该半径与直线垂直(常用勾股定理逆定理、全等三角形或角度关系)； 2.几何性质综合证明 题型示例：结合菱形、等腰三角形等图形，证明线段相等或角度关系。 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长． 3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 8．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 考向六：切线长定理 【题型9 利用切线长定理求解】 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。（如图AB，AC） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等（AB=AC），这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角（∠BAO=∠CAO）。 推理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，为△ABC的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·四川南充·三模）如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川资阳·一模）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川绵阳·一模）如图，分别与相切与点，连接并延长与的延长线相交于点．已知，则的长为 ． 9．（2024·四川成都·一模）如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则 ． 10．（2024·四川凉山·一模）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为24，则四边形的周长为 ． 11．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点A在上，以为直径的交的延长线于点G，过点E作于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 考向七：三角形的内切圆 【题型10 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 一、三角形周长、面积与内切圆半径的关系 如图1所示：∠BOC=90°+∠BAC； 如图2所示：设三角形三边长分别为a、b、c，周长为L，面积为S，则S=rL或r=； 如图3所示：若三角形为直角三角形，设直角边为a、b，斜边为c，则r=； 二、中考常考题型 ①直接计算型：已知周长和面积，求内切圆半径(直接代入公式如上)。已知内切圆半径和某边长，求面积或周长(需结合其他条件)。 ②几何综合题 与勾股定理结合：如直角三角形的内切圆半径计算； 动态几何问题：如折叠问题中求内切圆半径，需利用全等或相似三角形分析。 ③实际应用题 环形面积计算：通过外圆与内切圆半径差求面积； 工程问题：如钢管横截面积计算，需注意单位换算和有效数字保留。 ④推理证明题：利用内切圆性质证明线段相等或角度关系。合切线长定理，推导三角形边长与内切圆半径的关系。 1．（2023·四川泸州·一模）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A． B． C． D． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为，其内切圆的面积为，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川德阳·中考真题）如图，点是△ABC的内心，的延长线和△ABC的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·四川南充·二模）如图，在中，是△ABC的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川内江·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．    6．（2024·四川广元·三模）如图，是一块草坪， 其中， 阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 ．    7．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 8．（2023·四川宜宾·一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为 ． 9．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ． 10．（2024·四川乐山·一模）已知△ABC为直角三角形，它的内切圆的半径为2cm，两直角边的长分别是关于x的方程x2﹣17x+6m＝0的两个根，则△ABC的面积为　　（cm2）． 【题型11 三角形内心有关应用】 三角形内心综合题型经常出现在四川中考试卷中，难度中等偏上，想要在此题型上得分需要清楚的明白中考考的什么样的题型，需要注意的内容 注意事项 ①明确内心的定义与性质：内心是三角形内角平分线的交点，到三边距离相等，且是内切圆的圆心； ②区分“四心”易错点：内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）、重心（中线交点），垂心（高线交点）的区别，避免混淆； ③特殊三角形的内心特性：等边三角形内心、外心、重心、垂心重合；直角三角形内切圆半径可用公式快速计算（计算公式题型10）； ④巧用面积法与代数法：在坐标系或复杂图形中，通过设未知数、列方程求解内心相关参数； ⑤注意分类讨论：当题目未明确三角形形状时，需考虑锐角、直角、钝角三角形内心位置的不同（如钝角三角形内心在形内，垂心在形外）。 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    2．（2023·四川绵阳·一模）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长AI交于点，连接，则的值为 ． 3．（2023·四川绵阳·一模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， ． 4．如图，点为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·四川德阳·二模）如图所示，在正方形中，对角线交于点O，E在之间移动，连接，作交于点F，连接，若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 6．（2023·四川绵阳·二模）如图，点E是△ABC的内心，的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． (1)求证：； (2)已知，，求该圆的半径的长度； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 考向八：正多边形与圆 【题型12 正多边形与圆的综合】 正多边形与圆的相关公式如图所示： （1）正多边形的内角和： （2）正多边形的中心角： （3）正多边形的边心距：（其中r为圆半径，d为正多边形边心距，a为多边形的边） （4）正多边形的面积： （L为正多边形的周长，d为正多边形边心距） 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2022·四川绵阳·中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A．4， B．3，π C．2， D．3，2π 5．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　） A．3 B． C． D．3 6．（2024·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（2023·四川资阳·中考真题）如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是 ．    8．（2024·四川成都·一模）如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 9．（2024·四川内江·三模）如图，正六边形内接于，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则的度数为 ． 10．（2024·四川南充·三模）如图，点为正五边形的中心，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为 ． 考向九：弧长与扇形面积 【题型13 弧长公式】 1.基础弧长计算（弧长公式：） 公式应用：题目直接给出圆心角(如60°、120°等)和半径，要求计算弧长； 2.几何图形中的弧长问题 组合图形周长：常见于半圆、扇形、正多边形与圆组合的图形； 关键点：分解图形，计算各段弧长之和。 3.动态几何路径计算 实际应用：钟表指针尖端移动距离、传送带转动距离等； 4.圆心角与弧长的互化 已知弧长反求参数：给出弧长和半径，求圆心角;或已知弧长和圆心角求半径； 5.圆锥侧面积与弧长综合 圆锥侧面展开图：扇形弧长等于圆锥底面圆周长。 1．（2024·四川泸州·一模）如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·二模）如图，正五边形的外接圆为，P为优弧上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·二模）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川广安·二模）如图，在△ABC中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 8．（2024·四川广元·二模）如图，为⊙O的直径，平行四边形的边交于点与相切于点E，若EF=π，则的长为 ． 【题型14 扇形的定义和面积】 扇形的面积公式： （其中n为扇形的圆心角，r为扇形的半径） lr （l为扇形所对的弧长，r为扇形的半径） 1．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川广安·中考真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 5．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 7．（2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 8．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等腰△ABC，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．    (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示） 9．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． (1)求证：； (2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 【题型15 圆锥的定义及面积】 圆锥的侧面积公式：（l为圆锥的母线，r为圆锥底面半径）； 圆锥的体积公式：Sh （S为圆锥底面积，h为圆锥的高） 注意事项 1.公式的准确记忆和运用：要牢记圆锥侧面积公式S = πrl和体积公式V=πr2h，并且明确公式中各个字母的含义。在运用公式时，注意单位的统一； 2.母线、高和底面半径的关系：它们满足勾股定理l2= h2+r2，在已知其中两个量时,要能正确求出第三个量。同时，在一些复杂图形中，要能准确找出对应的母线、高和底面半径； 3.侧面展开图的理解：清楚侧面展开图扇形的弧长与圆锥底面周长的关系以及扇形半径与母线长的关系。在解决与侧面展开图有关的问题时，要善于利用这些关系建立等式求解。 4.体积计算中的不要遗漏：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的，在计算体积时，一定不要忘记乘以； 1．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川攀枝花·二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　）    A． B． C． D． 4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（    ） A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000 5．（2023·四川达州·一模）已知圆锥的底面圆直径是，高是，则该圆锥的侧面积是 ． 6．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 7．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 8．（2024·四川广元·二模）如图，在 中，，，且，将△ABC绕边所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为，，则 ， 的大小关系为 ．(选填“”“”或“”) 9．（2023·四川南充·一模）若将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥体，则圆锥体底面圆的半径最大为 ． （建议用时：90分钟） 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 5．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川德阳·中考真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 7．（2023·四川自贡·中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．    8．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ． 9．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 10．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，、，则图中阴影部分的面积为 ． 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 12．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 13．（2024·四川达州·中考真题）如图，是的直径．四边形内接于．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 14．（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$