专题3　函数及其图象 2025年湖北省中考数学基础夯实 课件

专题三　函数及其图象 -1- 1 目 录 1 考点梳理 2 2 母题剖析 -1- 1. 了解平面直角坐标系与函数，了解各象限内点的坐标特征、坐标轴 上点的坐标特征、各象限角平分线上点的坐标特征. 2. 掌握函数的相关概念，学会分析判断函数图象，会解决平面直角坐 标系中的面积问题，会用待定系数法求函数解析式. 3. 了解函数的图象与性质，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的 图象及性质. 4. 通过系统学习，会解决一次函数、反比例函数、二次函数的实际应 用问题. 5. 掌握函数与方程(组)、不等式的关系. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 1. 通过学习平面直角坐标系与函数的相关内容，知道如何分析判断函 数图象. 2. 会结合现有知识采用一题多解的思维方法，解决平面直角坐标系中 的面积问题，会用待定系数法求函数解析式. 3. 全面理解并掌握一次函数、 反比例函数、二次函数的基本概念、图 象及性质. 4. 根据函数图象的平移、对称，结合函数与方程(组)、不等式的关系 解决实际问题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 考点综述 考点梳理 01 -1- 　平面直角坐标系与函数 一、平面直角坐标系 1. 有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来 表示. 2. 点的坐标特征 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (1)平面直角坐标系各象限内点的坐标特征(如图1)： 第一象限⇔x＞0，y＞0； 第二象限⇔x＜0，y＞0； 第三象限⇔x 　＜　0，y＜0； 第四象限⇔x＞0，y 　＜　0. ＜　 ＜　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (2)坐标轴上点的坐标特征(如图2)： 点P1(x，y)在x轴上⇔ 　y＝0　； 点P2(x，y)在y轴上⇔ 　x＝0　； 点P3(x，y)在原点处⇔x＝0，y＝0. y＝0　 x＝0　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (3)各象限角平分线上点的坐标特征： ①第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标 　相等　； ②第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标 　互为相反数　； ③各象限角平分线上点的横、纵坐标的绝对值相等. 相等　 互为相反数　 (4)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的点 的 　纵　坐标相同；与y轴平行的直线上的点的 　横　坐标相同. 纵　 横　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 3. 点变换的坐标特征 (1)点平移的坐标特征 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 【口诀】 横坐标右加左减，纵坐标上加下减. (2)点对称的坐标特征 点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 　(a，－b)　；点P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为 　(－a，b)　；点P(a，b)关于原点对称的点的坐 标为 　(－a，－b)　. (a，－b)　 (－a，b)　 (－a，－b)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 关于谁对称， 谁不变，另一个变号；关于原点对称，都变号. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 4. 相关距离公式 (1)点到坐标轴的距离：点P(x，y)到x轴的距离为｜y｜，到y轴的距离 为｜x｜. (2)点到原点的距离：点P(x，y)到原点的距离为 . (3)在x轴(y＝0)或平行于x轴的直线上两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间的距 离为｜x1－x2｜. (4)在y轴(x＝0)或平行于y轴的直线上两点P3(a，y1)，P4(a，y2)间的距 离为｜y1－y2｜. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 1. 平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)间的距离PQ＝ . 2. 中点坐标公式：已知平面内两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则线段PQ 的中点坐标为(， ). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 二、函数及其图象 1. 函数的概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y， 对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与其对应，那么我们称x 是自变量，y是x的函数. 2. 函数的三种表示方法：解析法、列表法、 　图象法　. 图象法　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 3. 函数自变量的取值范围 类型 示例 自变量的取值范围 整式型 y＝x－1 取全体实数 分式型 y＝ 分母不为0 二次根式型 y＝ 被开方数大 于或等于0 分式＋二次根式型 y＝ 被开方数大于或等于0，且分 母不为0 被开方数大于或等于0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 类型 示例 自变量的取值范围 零(或负整数)次幂型 y＝(x－1)0 底数不为0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 4. 函数图象的画法：列表、 　描点　、连线. 描点　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象与性质 一般 形式 y＝kx＋b(k≠0)(特别地，当b＝0时， y＝kx为正比例函数) k， b的 符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜ 0 b ＞0 b＝0 b＜0 图象 　 b＜0 b＞0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 图象 经过 的象 限 第一、 二、三象 限 第 　一、 三　象限 第一、 三、四象 限 第 　一、 二、四　象 限 第二、 四象限 第二、 三、四象 限 增减 性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一、 三　 一、 二、四　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过 　原点　的一条直线；一次函 数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过 和(0， 　b　)两点的 一条直线 原点　 b　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- k，b符号的确定方法 1. 若一次函数的图象从左向右呈上升趋势，则k＞0；若呈下降趋势， 则k＜0. 2. 若一次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b＞0；若在y 轴的负半轴上，则b＜0；若在原点，则b＝0. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 用待定系数法确定解析式的一般步骤 设：设出含有待定系数k，b的一次函数的解析式y＝kx＋b(k≠0)； 列：将已知两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于系 数 　k，b　的二元一次方程组； 解：解所列的方程组，求出k，b的值； 代：将求得的k，b的值代入所设的解析式中，得到所求一次函数的解 析式. k，b　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 二、一次函数图象的平移 1. 直线y＝kx＋b 直线y＝k(x＋m)＋b. 2. 直线y＝kx＋b 直线 　y＝k(x－m)＋b　. 3. 直线y＝kx＋b 直线 　y＝kx＋b＋n　. 4. 直线y＝kx＋b 直线y＝kx＋b－n. y＝k(x－m)＋b　 y＝kx＋b＋n　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 左加右减、上加下减. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 两条直线的位置关系 已知两个一次函数y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 三、一次函数与方程(组)、不等式之间的关系 与一元一 次方程之 间的关系 如图1，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图 象与x轴的交点A的横坐标⇔方程kx ＋b＝0的解，即 　x＝xA　 与二元一次方程 组之间的关系 如图2，一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0) 与y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象交点B的 横、纵坐标⇔方程组 的解，即_____________　 x＝xA　 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 与一元一次不等式之间的关系 (1)如图1，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围⇔不等式kx＋b＞0的解集，即x＞xA ；一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围⇔不等式kx＋b＜0的解集，即x＜xA. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 与一元一次不等式之间的 关系 (2)如图2，一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在一次函数y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象下方部分对应的x的取值范围 ⇔不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集，即x＜xB；一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在一次函数y2＝k2x＋ b2(k2≠0)的图象上方部分对应的x的取值范围⇔不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集，即x＞xB设直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为A(xA，0)直线y1＝k1x＋b1(k1≠0)与y2＝k2x＋b2(k2≠0)的交点为B(xB，yB)，过两直线的交点 B作y轴的平行线，将平面分成两个区域 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 利用一次函数的最值解决最优问题：题中通常涉及利润最大或费用最 少问题，在自变量的取值范围内，根据一次函数的增减性确定函数的 最大(小)值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　反比例函数的图象与性质 一、概念：一般地： 形如 　(k≠0，k为常数)的函数叫作反比 例函数. 　 y＝ 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 二、图象与性质 表达式 y＝ (k≠0，k为常数)或y＝kx－1(k≠0，k为常数)或 xy＝k(k≠0，k为常数) k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，即x≠0， y≠0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 图象所 在象限 第 　一、三　象限 (x，y同号) 第 　二、四　象限(x，y异号) 性质 在每个象限内，y随 x的增大而 　减小　 在每个象限内，y随x的增大 而 　增大　 图象 特征 双曲线关于直线y＝x，y＝ 　－x　对称，关于原点 对称 一、三　 二、四　 减小　 增大　 －x　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 在同一平面直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象 有交点，则两个交点关于原点对称. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 三、比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点P(x，y)向两坐标轴 作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝PN·PM＝｜ x｜·｜y｜＝｜xy｜＝ 　｜k｜　. ｜k｜　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法 k 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 2. 利用k的几何意义求解：当面积已知时，可考虑用k的几何意义求 反比例函数的解析式，由图形面积得｜k｜，再结合图象所在象限判 断k的正负，可得k的值，最后代入解析式即可.k 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 反比例函数图象与一次函数图象的相交问题 1. 反比例函数y＝ (k1≠0)与一次函数y＝k2x＋b(k2≠0)图象的交点 问题： (1)交点坐标的求法：联立两个函数解析式并求解，若方程组有解，则 两图象有交点，方程组的解即为交点的坐标. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (2)交点个数与k1，k2的关系： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 2. 反比例函数图象与一次函数图象所围成的常见三角形问题： 图象 面积 S△AOB＝S△OCB＋S△OCA S△AOB＝S△OCB－S△OCA 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　反比例函数的实际应用 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 　 表达式 一般式： y＝ 　ax2＋bx＋c　(a，b，c是常数，a≠0)； 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 图象 a＞0 a＜0 ax2＋bx＋c　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 开口方向 向 上 向下 对称轴 直线x＝ 　 －或直线x＝h 顶点坐标   　 或(h，k) 向上 － 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 最值 当x＝－ 时，y有 最小值 (或当x ＝h时，y有最小值k) 当x＝－ 时，y有最大值 (或当x＝h时，y有最 大值k) 增 减 性 在对称 轴左侧 y随x的增大而  　 减 　 y随x的增大而 　增大　 在对称 轴右侧 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 减小 增大　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 二、二次函数的表达式 1. 三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的 　顶点坐 标　. (3)交点式(图象与x轴存在交点时)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 分别是抛物线与x轴的两个交点的 　横坐标　. (4)三种表达式之间的关系：顶点式 一般式 交点式. 顶点坐 标　 横坐标　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 2. 待定系数法确定二次函数的表达式 (1)设二次函数的表达式. (2)将图象上的点的坐标代入所设表达式中，得到关于 　待定系数　的 方程(组). (3)解方程(组)，求得待定系数的值，将其代回所设表达式中. 待定系数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 3. 二次函数图象的平移 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 涉及抛物线的平移时，应先将表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋ k(a≠0).口诀为上加下减，左加右减. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 1. 抛物线与a，b，c之间的关系 符号 图象的特征 a(决定开口方向) a＞0 开口向上 a＜0 开口 　向下　 a，b(决定对称轴的位置) b＝0 对称轴为 　y轴　 ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c(决定与y轴的交点位置) c＝0 图象过 　原点　 向下　 y轴　 原点　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 符号 图象的特征 c(决定与y轴的交点位置) c＞0 与y轴的正半轴相交 c＜0 与y轴的负半轴相交 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 2. 二次函数与一元二次方程的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－ 4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点 a＞0 有两个交点 有一个交点 无交点 a＜0 有两个交点 有一个交点 无交点 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－ 4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的实数根 有两个不相 等的实数根 有两个 　 相 的实数根  　无　 实数根 相等 无　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 3. 二次函数与一元二次不等式的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac ＜0 a＞0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点 不等式ax2＋bx＋c＞0 解集为x＜ x1或x＞x2 解集为x≠x1(或 x≠x2) 解集为全体实数 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac ＜0 a＞0 不等式ax2＋bx＋c ＜0 解集为x1＜ x＜x2 无解 无解 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac ＜0 a＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点 不等式ax2＋bx＋c ＞0 解集为x1＜ x＜x2 无解 无解 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac ＜0 a＜0 不等式ax2＋bx＋c＜0 解集为x＜ x1或x＞x2 解集为 x≠x1(或 x≠x2) 解集为全 体实数 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　二次函数的应用 二次函数图象中的线段长、面积、角度问题 1. 平面直角坐标系中线段的长度问题 如图1， (1)当AB∥x轴时，AB＝｜xA－xB｜＝ 　xB－xA　. (2)当CD∥y轴时，CD＝｜yC－yD｜＝ 　yC－yD　. 　 xB－xA　 yC－yD　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (3)当线段所在直线不平行于坐标轴时，常常过线段的端点作坐标轴的 平行线，转化为(1)(2)两种情况，利用勾股定理求线段长，如图1，EF ＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 2. 平面直角坐标系中图形的面积问题 (1)如图2，当三角形的一边平行于坐标轴或者在坐标轴上时：当AB∥x 轴时， 过点C作CM⊥x轴，垂足为M，与AB交于点D，则S△ABC＝ AB·CD＝  　(xB－xA)(yC－yD)　；当EG∥y轴时，过点F作FN⊥y 轴，垂足为N，与EG交于点H，则S△EFG＝ EG·FH＝  　(yE－ yG)(xH－xF)　.  　(xB－xA)(yC－yD)　  　(yE－ yG)(xH－xF)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- (2)用割补法转化为(1)的情况求三角形面积： 如图3，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，与AC交于E，过点C作 CM⊥BD于M，过点A作AN⊥BD于N，则S△ABC＝S△ABE＋S△BCE＝ BE·(AN＋CM)＝ (xB－xE)(yC－yA)； 如图4，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，与AB交于E，过点A作 AN⊥CD于N，过点B作BM⊥CD于M， 则S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝ CE·(AN＋BM)＝ (yC－yE)(xB－xA). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 3. 平面直角坐标系中的角度问题 可以构造直角三角形，利用锐角三角函数求解；或者构造全等(或相似) 三角形，把角的问题转化为边的问题来解. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 二次函数的实际应用主要考查利润最大、面积最值、方案最优等问 题，一般解题步骤如下： (1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)确定自变量的取值范围； (3)分析所得函数的性质，一般通过配方把二次函数的一般式化为顶点 式，利用二次函数的增减性寻找函数的最值； (4)利用最值解决提出的实际问题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 　函数与方程(组)、不等式的关系 两个函数图象的交点个数⇔联立后方程(组)解的个数，分三种情况： 情况一：无交点⇔方程(组)无解； 情况二：有一个交点⇔方程(组)有一个解； 情况三：有两个交点⇔方程(组)有两个解. 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的 交点情况 方程(组)解 的情况 不等式解集 的情况 直线y＝kx＋b 与直线y＝m的 交点的横坐标为 p 方程kx＋b＝m 的解为x＝p 结合图象，得不 等式kx＋b＞m 的解集为x＞p； 不等kx＋b＜m 的解集为x＜p 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的 交点情况 方程(组)解的情况 不等式解集 的情况 抛物线y＝ax2＋ bx＋c与直线y＝ m的交点的横坐 标为p，q 方程ax2＋bx＋c＝m的解为x1＝p，x2＝q 结合图象，得不等式ax2＋bx＋c＞m的解集为x＞p或x＜q； 不等式ax2＋bx＋c＜m的解集为q＜x＜p 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的 交点情况 方程(组)解 的情况 不等式解集 的情况 曲线y＝ (x＞0) 与直线y＝m的交点的横坐标为p 方程 ＝m的解 为x＝p 结合图象，得不 等式 ＞m的解 集为0＜x＜p； 不等式 ＜m的 解集为x＞p. 注：要注意题干 中自变量x的取 值范围 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的 交点情况 方程(组)解 的情况 不等式解集 的情况 直线y＝kx＋b 与直线y＝k1x＋ b1的交点坐标为 (p，q) 方程组 的解 为 结合图象，得不 等式kx＋b＞ k1x＋b1的解集为x＞p；不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集为x＜p 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的交 点情况 方程(组)解 的情况 不等式解集 的情况 抛物线y＝ax2＋bx ＋c与直线y＝kx ＋b1的交点的横坐 标为m，n 方程ax2＋bx＋c＝kx＋b1的解为x1＝m，x2＝n 结合图象，得不等式ax2＋bx＋c＞kx＋b1的解集为x＞m或x＜n；不等式ax2＋bx＋c＜kx＋b1的解集为n＜x＜m 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 示意图 函数图象的交 点情况 方程(组)解 的情况 不等式解集 的情况 双曲线y＝ 与直线y＝k2x＋b的交点的横坐标为m，n 方程 ＝k2x ＋b的解为x1 ＝m，x2＝n 结合图象，得不等式 ＞k2x＋b的解集为0＜x＜m或x＜n；不等式 ＜k2x＋b的解集为n＜x＜0或x＞m 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 1. 方程(组)的解即为两个函数图象交点的横坐标. 2. 以交点为界，当y1＞y2时，即为函数y1的图象在函数y2图象上方时 自变量x的取值范围. 对于方程kx＋b＝m或ax2＋bx＋c＝m或 ＝m或kx＋b＝k1x＋b1 或ax2＋bx＋c＝kx＋b1或 ＝k2x＋b，若有n个解，则说明等式两 边所代表的函数的图象有n个交点. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7 考点8 -1- 考点综述 母题剖析 02 -1- 　平面直角坐标系与函数 1平面直角坐标系中点的坐标特征 [2024·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点 的坐标是(　B　) A. (－1，－4) B. (－1，4) C. (1，4) D. (1，－4) [解析]平面直角坐标系中任意一点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(－ x，－y)，关于x轴对称的点的坐标为(x，－y) ，关于y轴对称的点的 坐标为(－x，y).故选B. B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2平面直角坐标系中点的平移、旋转与对称 [2024·江西]在平面直角坐标系中将点A(1，1)向右平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度得到点B. 则点B的坐标为  　(3，4)　. [解析]在平面直角坐标系中，点(x，y)向上平移m个单位长度，向右平 移n个单位长度后的坐标为(x＋n，y＋m).点的平移对应的坐标口诀 为：上加下减，左减右加. (3，4)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 图形与坐标 [2024·湖北]如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋 转90°，点A的对应点的坐标是(　B　) A. (4，6) B. (6，4) C. (－6，－4) D. (－4，－6) B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]如图，设点A的对应点为A'，则∠AOA'＝90°，OA'＝OA，分 别过点A，A'作x轴的垂线，垂足分别为B，C，则∠ABO＝∠A'CO ＝∠AOA'＝90°，∴∠BAO＋∠AOB＝90°，∠A'OC＋∠AOB＝ 90°，∴∠BAO＝∠A'OC，∴ △AOB≌△OA'C(AAS)(提示：一线 三直角模型)，∴A'C＝OB＝4，OC＝AB＝6，∴点A'的坐标为(6，4). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 1. 一线三直角模型的应用：如图1，∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可分 别过点B，B'作坐标轴的垂线，得到△BCO≌△ODB'. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2. 秒杀法：如图2，点B(a，b)绕点O逆时针旋转3次，每次旋转 90°，分别得到点B1(－b，a)，B2(－a，－b)，B3(b，－a). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 4 函数及其自变量的取值范围、图象 1. [2024·牡丹江]函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 　x≥－3且 x≠0　. [解析]函数y＝ 中，分子的被开方数满足x＋3≥0，且分母x≠0， 则 ⇒x≥－3且x≠0. x≥－3且 x≠0　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2. [2024·扬州]在平面直角坐标系中，函数y＝ 的图象与坐标轴的交 点个数是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]当x＝0时，y＝ ＝2，则函数y＝ 的图象与y轴的交点为(0， 2).令 ＝0，得x＝－2，它是该分式方程的增根，故 ＝0无解， 即函数y＝ 的图象与x轴没有交点.综上所述，函数y＝ 的图象 与坐标轴的交点个数为1. [巧解快解]函数y＝ 的图象可以看作函数y＝ 的图象向左平移2个 单位长度得到，因此函数y＝ 的图象与坐标轴的交点个数是1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 5 实际问题中分析、判断函数图象 [2024·武汉]如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆 柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水 时间t的函数关系的是(　D　) D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]下层圆柱底面半径大，水面上升快；上层圆柱底面半径稍小，水 面上升稍慢；再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡， 第二段比第一段缓，第三段比第二段缓. [方法归纳]本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时 间段内装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 6 几何问题中分析、判断函数图象 [2024·烟台]如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重 合，EF＝2 cm，∠E＝60°.现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC 方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中，菱形 EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数 关系图象大致是(　D　) 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 答案：D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]连接EG，HF. 易得EG＝ EF＝6，HF＝EF＝2 .在整个 运动过程中，设菱形EFGH的边与矩形ABCD的边的交点分别为M， N，EG与矩形ABCD的边的交点为K. 分析如下. t的取 值范围 图示 分析 0≤t≤ 3 GK＝t，∴MN＝2t· tan 30°＝ t，∴S＝ ·t· t＝ t2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- t的取 值范围 图示 分析 3＜t≤6 EK＝6－t，∴MN＝2(6－t)·tan 30°＝ (6－t)，∴S＝ ×6×2 － ×(6－t)× (6－t)＝6 － (6－t)2 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 6＜t≤8 S＝ ×6×2 ＝6 8＜t ≤11 GK＝t－8，∴MN＝2(t－8)·tan 30°＝ (t－8)，∴S＝ ×6×2 － ×(t－8)× (t－8)＝6 － (t－8)2 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 11＜t ≤14 EK＝14－t，∴MN＝2(14－t)·tan 30°＝ (14－t)，∴S＝ ×(14－t)× (14－t)＝ (14－t)2 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 结合几何图形中的动点判断函数图象 这类问题的解决方法 1. 判断趋势法：根据题意分段，判断每段的增减变化趋势，从而寻找 相应的图象. 2. 求表达式法：根据题意求出每段的表达式，结合函数的性质即可得 到答案. 3. 定点排除法：从选项中各图象的关键转折点入手，根据动点运动情 况进行排除. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　一次函数的图象和性质 1 一次函数解析式的确定 [2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经 过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标； [分析](1)利用待定系数法求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为 4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可. 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](1)把A(0，1)，B(1，2)代入y＝kx＋b(k≠0)得 解 得 ∴函数解析式为y＝x＋1. 由题意知点C的纵坐标为4， 当y＝x＋1＝4时，x＝3， ∴C(3，4). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝ x＋n的值大于函数y＝kx ＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值. [分析](2)根据函数图象得出当y＝ x＋n 过点(3，4)时满足题意，代入 点(3，4)求出n的值即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](2)由(1)知，当x＝3时，y＝4. ∵当x＜3时，函数y＝ x＋n的值大于函数y＝x＋1的值且小于4， ∴当y＝ x＋n过点(3，4)时满足题意，代入点(3，4)，得4＝ ×3＋ n，解得n＝2. [核心点评]本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法的应用，要 学会用数形结合的思想解题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 一次函数的图象与性质 [2024·临夏州]一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小， 它的图象不经过的象限是(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]根据一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，可 以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数的图象经 过哪几个象限、不经过哪个象限. ∵一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小. ∴k＜0，又∵b＝－1＜0， ∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 分析、判断一次函数的图象 [2024·通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y ＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线 l1，l2.下列结论正确的是(　A　) A A. b1＋b2＞0 B. b1b2＞0 C. k1＋k2＜0 D. k1k2＜0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析] 根据图象，可得到b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0，然后即可判 断各个选项中的结论是否正确. 由图象知b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0，∴b1＋b2＞0，故选项A正 确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1＋k2＞0，故 选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 4 与一次函数的增减性、 最值、取值范围有关的问题 [2024·南充]当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6， 则实数m的值为(　A　) A. －3或0 B. 0或1 C. －5或－3 D. －5或1 A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]分两种情况讨论：①当m＋1＞0，即m＞－1时，y随x的增大而 增大，∴当x＝5时，y＝6，即5(m＋1)＋m2＋1＝6，整理，得m2＋5m ＝0，解得m1＝0，m2＝－5(舍去).②当m＋1＜0，即m＜－1时，y随 x的增大而减小，∴当x＝2时，y＝6，即2(m＋1)＋m2＋1＝6，整理， 得m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2＝1(舍去).综上所述，m＝0或－ 3，故选A. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 5 一次函数图象的平移、旋转 [2024·苏州]直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋 转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 　y . y＝ x－ 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]根据题意画出示意图，结合特殊角的三角函数值即可解决问题. 如图，将x＝0代入y＝x－1，得y＝－1， ∴点B的坐标为(0，－1). 将y＝0代入y＝x－1，得x＝1，∴点A的坐标为(1，0). ∴OA＝OB＝1⇒∠OBA＝∠OAB＝45°，由旋转可知∠BAC＝15°，∴∠OAC＝45°＋15°＝60°，在Rt△AOC中，tan ∠OAC＝ ， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴OC＝ ⇒C(0，－ ). 设直线l2的表达式为y＝kx＋b⇒ ⇒ ⇒直线l2的函 数表达式为y＝ x－ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 6 一次函数与方程、不等式的关系 [2024·呼伦贝尔]点P(a，b)在直线y＝－ x＋4上，a，b是二元一次方 程5a－6b＝33的解，则点P在(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]根据一次函数与方程的关系，列方程组求解. 由题意，得方程组 解得 ∴P ，故P点在第四象限. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 7 一次函数与几何图形的综合 [2024·凉山州]如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3) 两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 　9　. 　 9　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出点C的坐标， 然后根据三角形的面积公式计算面积即可. ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋3. 当y＝0时，x＝－3，∴C(－3，0)， ∴S△AOC＝ ×3×6＝9. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　一次函数的实际应用 1 行程问题 [2024·威海]同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间. 甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不 变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距 离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是(　A　) 　 A A. 甲车行驶 h与乙车相遇 B. A，C两地相距220 km C. 甲车的速度是70 km/h D. 乙车中途休息36 min 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]根据函数图象可得A，B两地之间的距离为20 km，乙车中途休 息了1 h，4 h时，两车同时到达C地，故选项D不正确.易知甲车的速度 为 ＝60(km/h)，则A，C两地的距离为4×60＝240(km)，故选项 B，C均不正确.设经过x h两车相遇 ，依题意，得60(x－2)＝40，解得x ＝ ，故甲车行驶 h与乙车相遇，故选项A正确. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　　利用函数的图象解决实际问题的关键是正确理解图象横、纵坐标 表示的意义，理解变化的过程，才能准确解决问题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 利润最大问题 [2024·眉山]眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产 业蓬勃发展，促进了文创产品的销售.某商店用960元购进的A款文创产 品和用780元购进的B款文创产品数量相同，每件A款文创产品进价比每 件B款文创产品进价多15元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)A，B款文创产品每件的进价各是多少元？ [解析](1)设A款文创产品每件的进价为a元，则B款文创产品每件的进价 为(a－15)元， 根据题意，得 ＝ ， 解得a＝80. 经检验，a＝80是原分式方程的解，且符合实际意义，则a－15＝80－ 15＝65. 答：A款文创产品每件的进价为80元，B款文创产品每件的进价为65元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元， 根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创 产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最 大，最大利润是多少？ [解析](2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100－x)件，总 利润为W元， 根据题意，得80x＋65(100－x)≤7 400， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 解得x≤60. 由题意可得W＝(100－80)x＋(80－65)(100－x)＝5x＋1 500. ∵5＞0，∴W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，W取得最大值，W最大＝5×60＋1 500＝1 800. 此时购买B款文物产品的数量为100－60＝40(件). 答：购进A款文创产品60件、B款文创产品40件时，销售完后获得的利 润最大，最大利润是1 800元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 阶梯费用问题 [2023·连云港]目前，连云港市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基 础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一 阶梯 0～400 m3(含400)的部分 2.67元/m3 若家庭人口超过4人的，每增 加1人，第一、二阶梯年用气 量的上限分别增加100 m3， 200 m3 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第二 阶梯 400～1 200 m3(含1 200)的部分 3.15元/m3 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100 m3，200 m3 第三 阶梯 1 200 m3以上的部分 3.63元/m3 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)一户家庭人口为3人，年用气量为200 m3，则该年此户需缴纳燃气费 用为 　534　元； [分析](1)用200乘以第一阶梯的燃气价格即可. 534　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为x m3(x＞1 200)，该年此户需要 缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式； [分析](2)根据题意，按第一、二阶梯的燃气价格写出函数表达式即可. [解析](2)y与x的函数表达式为y＝400×2.67＋(1 200－400)×3.15＋ 3.63(x－1 200)＝3.63x－768(x＞1 200). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的 燃气费用均为3 855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气(结果 精确到1 m3). [分析](3)先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元，判断甲、乙两 户的用气量的范围，再分别计算出用气量即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)∵400×2.67＋(1 200－400)×3.15＝3 588＜3 855， ∴ 甲户该年的用气量达到了第三阶梯. 由(2)知，当y＝3 855时，3.63x－768＝3 855，解得x≈1 273.6. 又∵2.67×(100＋400)＋3.15×(1 200＋200－500)＝4 170＞3 855， 且2.67×(100＋400)＝1 335＜3 855， ∴乙户该年的用气量达到第二阶段，但未达到第三阶梯. 设乙户年用气量为a m3，则有2.67×500＋3.15(a－500)＝3 855，解得a ＝1 300.0， ∴1 300.0－1 273.6＝26.4≈26(m3). 答：该年乙户比甲户多用约26 m3的燃气. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　反比例函数的图象与性质 1 反比例函数的基本性质 [2024·天津]若点A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝ 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　B　) A. x1＜x2＜x3 B. x1＜x3＜x2 C. x3＜x2＜x1 D. x2＜x1＜x3 B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]∵5＞0，∴反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，且在每 个象限内y随x的增大而减小.∵点B(x2，1)，C(x3，5)在第一象限内反 比例函数y＝ 的图象上，1＜5，∴x2＞x3＞0.∵点A(x1，－1)在第三 象限内反比例函数y＝ 的图象上，∴x1＜0，∴x1＜x3＜x2.故选B. [方法点拨]本题也可直接得将y＝－1，1，5分别代入y＝ ，求出x1， x2，x3的值，再比较大小. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 反比例函数解析式的确定 [2023·广西]如图，过反比例函数y＝ (x＞0)的图象上点A，分别作x 轴、y轴的平行线，交反比例函数y＝－ 的图象于B，D两点，以 AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记 为S1，S2，S3，S4，若S2＋S3＋S4＝ ，则k的值为(　C　) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]设A ，在y＝－ 中，令y＝ ，得x＝－ ，令x＝m 得y＝－ ，∴B ，D( m，－ )，C ，∴S2＝ S4＝1，S3＝ .∵S2＋S3＋S4＝ ，∴1＋ ＋1＝ ，解得k＝2，经检 验k＝2是方程的解，且符合题意. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 反比例函数中｜k｜的几何意义及易错点 1. 反比例函数中｜k｜的几何意义 反比例函数y＝ (k≠0)的图象上有一点P，过点P分别作PA⊥y轴， PB⊥x轴，垂足分别为A，B，则矩形AOBP的面积为｜k｜，且 S△AOP＝S△BOP＝ ｜k｜. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2. 利用反比例函数中｜k｜的几何意义解决问题时的易错点 (1)忽略反比例函数的图象所在象限而导致k的符号出错； (2)弄错矩形或三角形的面积与｜k｜的倍数关系. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 反比例函数与几何图形的简单综合 [2024·宜宾]如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点A，B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于 点N，则 的值为(　B　) B A. B. C. D. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]过点A作BC的垂线，垂足为点D，设BC与y轴交于点E，如图. 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC的中点，设A (a＞ 0)，B (b＜0).∵AB＝AC，∴BD＝DC＝a－b，∴C ，∵AC的中点为M，∴ M (点拨：中点坐 标公式).∵点M在反比例函数的图象上，∴ · ＝k，∴b＝ －3a(b＝a不符合题意，已舍去). 由题意可知AD∥NE，∴ ＝ ＝ ＝ .故选B. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解题技巧]巧作辅助线：遇等腰三角形，用“三线合一”. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 4 反比例函数与一次函数的综合 [2024·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0) 与双曲线y ＝ 交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合 图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中 点；③在y＝ 的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1＞y2， 那么x1＞x2；④S△BOD＝ .其中正确结论的个数是(　C　) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]反比例函数与正比例函数的图象均关于坐标原点中心对称，若有 交点，则一定是两个，且这两个交点关于原点对称，故结论①正 确.AC⊥x轴，则AC∥y轴.∵AO＝BO，∴ DB＝DC，即点D是 BC的中点(依据：平行线分线段成比例)，故结论②正确.当点P，Q 在同一象限内时，若y1＞y2，则x1＜x2，故结论③错误. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 易知S△BOC＝S△AOC＝ ×2＝1，∴S△BAC＝2.易证△BOD∽△BAC， ∴ ＝ ＝ ，∴S△BOD＝ S△BAC＝ ，故结论④正确，因 此结论①②④正确.故选C. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 5 反比例函数与几何知识的综合 [2023·宜宾]如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直 角顶点C(3，0)，顶点A，B(6，m)恰好落在反比例函数y＝ 第一象 限的图象上. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式； [解析](1)如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点 E，则∠ACD＋∠CAD＝90°. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE. 又∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴ △ACD≌△CBE(“一线三直角”模型)， ∴AD＝CE，CD＝BE. ∵C(3，0)，B(6，m)， ∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝m， ∴OD＝OC－CD＝3－m， ∴A(3－m，3).而B(6，m)， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴k＝3(3－m)＝6m，解得m＝1， 即A(2，3)，B(6，1)， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝ . 设直线AB对应的一次函数的表达式为y＝ax＋b， 将A(2，3)，B(6，1)分别代入，得 解得 ∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝－ x＋4. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小？若存在，求出最 小值；若不存在，请说明理由. [解析](2)存在点P使△ABP的周长最小. 如图2，作点B(6，1)关于x轴的对称点B'(6，－1)，连接AB'交x轴于点 P，连接PB，由对称性可知PB＝PB'， ∴PA＋PB＝PA＋PB'＝AB'， 故此时PA＋PB的值最小， 故此时PA＋PB＋AB的值也最小. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1-  易得AB＝2 ，AB'＝4 (提示：利用两点间距离公式计算)， ∴△ABP周长的最小值为PA＋PB＋AB＝AB' ＋AB＝4 ＋2 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 6 反比例函数与一次函数的综合 [2024·连云港]如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋ 1(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A，B，与y轴交于点 C，点A的横坐标为2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)求k的值； [解析](1)∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，当x＝2时，y＝ ＝3， ∴将点A(2，3)代入y＝kx＋1，得k＝1. (2)利用图象直接写出kx＋1＜ 时x的取值范围； [解析](2)x＜－3或0＜x＜2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度，与函数y＝ (x＞0) 的图象交于点D，与y轴交于点E ，再将函数y＝ (x＞0)的图象沿AB 平移，使点A，D分别平移到点C， F处，求图中阴影部分的面积. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)由题意可知C(0，1)，CE＝4. 如图，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，可求得CG ＝2 . 又∵A(2，3)，C(0，1)，∴AC＝2 . 连接CF，AD，由平移的性质可知，阴影部分面积等 于▱ACFD的面积，即2 ×2 ＝8. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　反比例函数的实际应用 　1. 随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研 究所开发了一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血 液中药物浓度y(μg/mL)与服药时间x(h)之间的函数关系如图所示(当 3≤x≤10时，y与x成反比例).根据图中信息可知，血液中药物浓度不 低于6 μg/mL的持续时间为(　C　) 　 C A. 4 h B. h C. h D. h 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [分析]先求出正比例函数的解析式与反比例函数的解析式，再令y＝6， 确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]设正比例函数的解析式为y＝kx，反比例函数的解析式为y＝ ，把(3，8)分别代入解析式，得8＝3k， ＝8， 解得k＝ ，m＝24，故所求函数解析式分别为y＝ x，y＝ ， 当y＝6时，6＝ x，6＝ ， 解得x1＝ ，x2＝4， 故持续时间为4－ ＝ (h). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [点评]本题考查了正比例函数解析式、反比例函数解析式的确定与应 用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气 体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p(kPa)是气体体积V(mL) 的反比例函数，其图象如图所示.则下列说法中错误的是(　D　) A. 这一函数的表达式为p＝ B. 当气体体积为40 mL时，气体的压强 值为150 kPa C. 当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D. 若注射器内气体的压强不能超过400 kPa，则其体积V不能超过15 mL D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [分析]利用待定系数法求得函数解析式，即可判断选项A；将V＝40 mL 代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图象的增减性，即可 判断选项C；求得当p＝400 kPa时气体体积V的值，结合函数图象即可 判断选项D. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]A. 设p＝ ，由题意知200＝ ，∴k＝6 000，即p＝ ，故 该选项正确，不符合题意；B. 当V＝40 mL时，p＝ ＝150，∴气 体的压强值为150 kPa，故该选项正确，不符合题意；C. 由函数图象可 知，气体的压强p随着气体体积V的增大而减小，故该选项正确，不符 合题意；D. 当p＝400 kPa时，V＝ ＝15，结合函数图象可知，气 体的体积应不小于15 ml，故该选项错误，符合题意. [点评]本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象 与性质是解题关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某 天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)与时间x(h)之间 的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数 图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)求CD段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； [分析](1)应用待定系数法求函数解析式； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](1)设CD段对应的函数解析式为y＝ (k≠0，12＜x＜24)， 把D(24，10)代入y＝ (k≠0)中， 得k＝24×10＝240， ∴y＝ . 当y＝20时，20＝ ， 解得x＝12，即a＝12， ∴所求关系式为y＝ (12＜x＜24). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ [分析](2)由(1)知a＝12，观察图象可得； [解析](2)由(1)知a＝12. ∵B(2，20)， ∴恒温阶段保持的时间有：12－2＝10(h). 答：恒温阶段保持的时间有10 h. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12 ℃到20 ℃的条件下最适合生长， 若某天恒温系统开启前的温度是10 ℃，那么这种蔬菜一天内最适合生 长的时间有多长？ [分析](3)先求出AB段的解析式，代入临界值y＝12，分别求出AB段和 CD段温度为12 ℃的时间，再相减即可即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)设AB段的解析式为y＝mx＋n(m≠0，0≤x≤2)， 把(0，10)，(2，20)代入y＝mx＋n中， 得 ∴AB段的解析式为y＝5x＋10. 当y＝12时，12＝5x＋10， 解得x＝0.4. 令12＝，解得x＝20. 20－0.4＝19.6(h). 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6 h. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [点评]本题是反比例函数和一次函数的综合应用，考查了反比例函数和 一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解 析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 4. 世界的面食之根就在山西.山西面食是中华民族饮食文化中的重要组 成部分.如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m) 是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数，其图象经过A(2，64)， B(m，100)两点. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)求y与S之间的函数关系式； [分析](1)直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可； [解析](1)设y与x之间的函数表达式为y＝ (S＞0)， 将(2，64)代入，得k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为y＝ (S＞0). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)求m的值，并解释它的实际意义. [分析](2)利用(1)中所求进而得出m的值，得出其实际意义. [解析](2)将(m，100)代入y＝ ，得m＝1.28. 实际意义：当面条的横截面积为1.28 mm2时，面条长度为100 m. [点评]此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解y与S代表的 意义是解题关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 5. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯(如图1所示)，他发现调节的原理 是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗， 台灯的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)满足反比例函数关系，其图 象如图2所示. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)求I关于R的函数解析式； [分析](1)用待定系数法求出函数解析式； [解析](1)设I关于R的函数解析式为I＝ .由图象可知， 当R＝1 100 Ω时，I＝0.2 A， ∴k＝0.2×1 100＝220， ∴I关于R的函数解析式为I＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)当R＝1 375 Ω时，求I的值； [分析](2)将R＝1 375 Ω代入解析式，求出I的值即可； [解析](2)当R＝1 375 Ω时，I＝ ＝0.16(　A　). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A，求该台灯的 电阻R的取值范围. [分析](3)求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即 可得出结果. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)当I＝0.1 A时，R＝ ＝2 200(Ω)， 当I＝0.25 A时，R＝ ＝880(Ω)， ∴该台灯的电阻R的取值范围为880 Ω≤R≤2 200 Ω. [点评]本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握 反比例函数的性质是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　二次函数的图象与性质 29 二次函数的基本性质 [2024·赤峰]如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上， 点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，则下列 结论正确的是(　B　) 　 B A. m＋n＝1 B. m－n＝1 C. m＝1 D. ＝1 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]如图，分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别 为点M，N，易知A(m，－m2＋4)，C(n，－n2＋4)， ∴AM＝m，MO＝－m2＋4，CN＝n，NO＝－n2＋ 4.易证△CDN≌△DAM，∴DM＝CN＝n，DN＝ AM＝m，∴MN＝DM＋DN＝m＋n.又MN＝NO －MO＝m2－n2，∴m2－n2＝m＋n，即(m＋n)·(m －n)＝m＋n.∵m＞n＞0，∴m＋n≠0，∴m－n ＝1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 二次函数图象的平移 [2024·滨州]将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 　(1，2)　. [解析]将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位 长度，平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋2，故平移后抛物线的 顶点坐标为(1，2). (1，2)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 抛物线平移后确定表达式的方法 1. 方法一：根据顶点变化确定抛物线的表达式. (1)根据平移变换不改变抛物线的开口方向和大小，可知平移后抛物线 对应的二次函数的二次项系数a的值不变，从而可设平移后抛物线的 表达式为y＝a(x－h)2＋k. (2)根据平移方式确定平移后顶点的坐标，即确定h，k的值，代入y＝ a(x－h)2＋k即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2. 方法二：根据平移规律“左加右减，上加下减”确定抛物线的表 达式. 平移前抛物 线的表达式 平移n个单位 长度(n＞0) 平移后抛物线的 表达式 y＝ax2＋bx＋c 向左 y＝a(x＋n)2＋b(x＋n)＋c 向右 y＝a(x－n)2＋b(x－n)＋c 向上 y＝ax2＋bx＋c＋n 向下 y＝ax2＋bx＋c－n 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 与系数a，b，c有关的判断 [2024·武汉]抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过(－1， 1)，(m，1) 两点，且0＜m＜1.下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1； ③若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2＞－ ，x1＞x2，总 有y1＜y2，则0＜m≤ . 其中正确的是 　②③④　(填写序号). ②③④　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]由题意，得 　抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝　 (提示： 抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称).∵0＜m＜1， ∴－ ＜ ＜0，∴－ ＜－ ＜0.又∵a＜0，∴b＜0，故①中结 论错误.∵0＜m＜1，∴m－(－1)＞1，即(－1，1)，(m，1)两点之间的 距离大于1.又∵a＜0，∴x＝m－1时，y＞1，∴若0＜x＜1，则a(x －1)2＋b(x－1)＋c＞1，故②中结论正确. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∵－ ＜－ ＜0，a＝－1，∴－ ＜ ＜0，∴－1＜b＜0.∵ 抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过点(－1，1)，a＝－1，∴－1－b＋c＝1，∴c＝b ＋2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝2，Δ＝b2－4a(c－2)＝b2＋4b＝ (b＋2)2－4＜0，∴方程无实数解，故③中结论正确.∵a＜0，∴抛物线 开口向下.∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，当x1＞x2时，总有y1 ＜y2，∴ 点A离抛物线的对称轴较远(提示：抛物线开口向下时， 离对称轴越远的点的纵坐标越小)，∵x1＋x2＞－ ，∴ ＞－ ， ∴－ ＜ ≤－ ，解得0＜m≤ ， 故④中结论正确. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 1. 代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标代入解 析式，求出各点的纵坐标，继而比较大小. 2. 增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称 轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小. 3. 距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小.对于二次函数y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当a＞0时，抛物线上的点到对称轴的距离越小， 对应的函数值越小，如图1. (2)当a＜0时，抛物线上的点到对称轴的 距离越小，对应的函数值越大，如图2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　二次函数的应用 1 二次函数的实际应用 [2024·湖北]如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一 边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗. 设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为 y(单位：m)，面积为S( 单位：m2). 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； [解析](1)由题意，得x＋y＋x＝80， ∴y＝80－2x， ∴S＝y·x＝(80－2x)x＝－2x2＋80x. [解题模板](1)先根据2x＋y＝80，求出y与x之间的函数解析式，再根 据矩形面积公式求出S与x之间的函数解析式. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不 能，请说明理由； [解析](2)矩形实验田的面积S能达到750 m2. 令S＝750，则－2x2＋80x＝750， 整理，得x2－40x＋375＝0， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 解得x1＝15，x2＝25. ∵ 墙长为42 m(易错点：易忽略墙长这一条件)， ∴0＜y≤42， ∴0＜80－2x≤42， 解得19≤x＜40， ∴x＝25. [解题模板](2)先求出x的取值范围，再将S＝750代入函数解析式中，求 出x的值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ [解析](3)S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800. ∵－2＜0，19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800，即当x＝20时，S最大， 最大面积是800 m2. [解题模板](3)将S与x之间的函数解析式配成顶点式，求出S的最大值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 二次函数与线段长、图形面积的综合题 [2024·成都]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2－2ax －3a(a＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D 是抛物线第四象限上一点. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (1)求线段AB的长； [解析](1)令y＝0，得ax2－2ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∴AB＝3－(－1)＝4. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan ∠ABD 的值； [解析](2)xC＝(－1＋3)÷2＝1，∴yC＝－4， ∴C(1，－4). 如图，过点D作DH⊥x轴于点H. 设D(d，d2－2d－3)，则直线AD的解析式为y＝(d－3)x＋d－3，DH＝－d2＋2d＋3. 过点C作CG⊥x轴交AD于点G，则G(1，2d－6). ∴CG＝2d－6－(－4)＝2d－2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∵S△ACD＝S△ABD， ∴ CG·(xD－xA)＝ AB·DH， ∴(2d－2)(d＋1)＝4(－d2＋2d＋3)， 解得d1＝－1(舍去)，d2＝ ，∴D ， ∴tan ∠ABD＝ ＝ ＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得 到△A'EB'.将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线 L'上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标； 若不是，请说明理由. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)抛物线L'与L交于某个定点. 设D(d，m). ∵点E在x轴上，且AD＝DE，∴E(2d＋1，0). ∵△ADB平移得到△A'EB'，且点A'，B'在抛物线L'上， ∴相当于将抛物线L向右平移(d＋1)个单位长度，再向上平移－m个单 位长度得到抛物线L'， ∴抛物线L'的解析式为y＝a(x－d－1)2－2a(x－d－1)－3a－m. 联立抛物线L，L'的解析式，得ax2－2ax－3a＝a(x－d－1)2－2a(x－ d－1)－3a－m，其中m＝ad2－2ad－3a， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 整理，得2x－6－6d＋2xd＝0， 即2(d＋1)(x－3)＝0， ∴x＝3， 故抛物线L'与L交于定点(3，0). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 二次函数的图象与性质＋待定系数法求函数解析式＋相似三角 形的判定与性质 [2024·武汉]抛物线y＝ x2＋2x－ 交x轴于A，B两点(A在B的右 边)，交y轴于点C. (1)直接写出点A，B，C的坐标； [解析](1)A(1，0)，B(－5，0)，C . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线 PQ∥AC，交y轴于点Q. 若BC平分线段PQ，求点P的坐标； [解析](2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，代入点A(1，0)， C ， 得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝ x－ . ∵PQ∥AC， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴ 　设直线PQ的解析式为y＝ x＋n　(提示：若两条直线平行，则它 们的斜率相等). 设点P的坐标为 ，代入直线PQ的解析式，得 m2 ＋2m－ ＝ m＋n， 整理，得n＝ m2－ m－ ， ∴直线PQ的解析式为y＝ x＋ m2－ m－ . 令x＝0，得y＝ m2－ m－ ， 即点Q的坐标为 ， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴ PQ的中点坐标为 (提示：若点P(x，y)是 线段MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x＝ ，y＝ ). 设直线BC的解析式为y＝px＋q(p≠0)，代入点B(－5，0)， C ， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－ x－ . ∵BC 平分线段PQ， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴将PQ的中点坐标 代入直线BC的解析式，得  　m2＋ m－ ＝－ · －　 (提示：线段PQ的中点在直线BC上)， 解得m1＝0(舍去)，m2＝－2， ∴点P的坐标为 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- (3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于 E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG. 若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析](3)如图，过点G作MN∥x轴，分别过点E，F 作直线MN的垂线，垂足分别为M，N， 则∠M＝∠N＝∠EGF＝90°， ∴∠MEG＋∠EGM＝∠EGM＋∠FGN＝90°， 即∠MEG＝∠FGN， ∴△EGM∽△GFN，∴ ＝ ， 即EM·FN＝GM·GN. ∵点D与原点O关于点C 对称， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴点D的坐标为(0，－5). 设直线EF的解析式为y＝k1x(k1≠0)， 直线DE的解析式为y＝k2x－5(k2≠0)， 联立 得k1x＝ x2＋2x－ ， 即 x2＋(2－k1)x－ ＝0. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 联立 得k2x－5＝ x2＋2x－ ， 即 x2＋(2－k2)x＋ ＝0. 设点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，点G的横坐 标为g， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 则e，f是方程 x2＋(2－k1)x－ ＝0的两个根，e，g 是方程 x2＋(2－k2)x＋ ＝0的两个根， 由根与系数的关系可得e·f＝－5，e·g＝5，e＋g＝ －2(2－k2)＝2k2－4， ∴f＝－g. ∵点E，F，G均在抛物线y＝ x2＋2x－ 上， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴ 　EM＝ － ＝ (e＋g＋4)(e－g)　(提 示：去括号后，利用提公因式和平方差公式分别因式)， FN＝ － ＝ (f＋g＋4)(f－g)，GM＝g －e， GN＝f－g(提示：用坐标表示线段长时，一定要用较大数减 较小数，确保结果为正)， 则 (e＋g＋4)(e－g)· (f＋g＋4)(f－g)＝(g－e)·(f－g) ， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 整理， 得e＋g＝－5(提示：将f＝－g代入化简)， ∴2k2－4＝－5， 解得k2＝－ ， ∴直线DE的解析式为y＝－ x－5. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 　函数与方程(组)、不等式的关系 　 1一次函数与方程(组)、不等式的关系 若二元一次方程组 无解，则一次函数y＝3x－5与y＝3x ＋1的位置关系为(　A　) A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 [解析]∵二元一次方程组 无解，∴一次函数y＝3x－5与y ＝3x＋1的位置关系是平行. A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 2 二次函数与方程(组)、不等式的关系 如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，该函数图象的 对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a ＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方 程ax2＋bx＋c－ ＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a＜2.其 中，正确结论的个数有(　B　) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [分析]根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次 函数的性质判断即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [解析]∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴－ ＝1， ∴b＝－2a， ∴2a＋b＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2 和3之间， ∴与x轴的另一个交点在－1和0之间， ∴方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－1和0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ 有两个交点， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ∴方程ax2＋bx＋c－ ＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在－1和0之间， ∴a－b＋c＜0. ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a－b＋2＜0， ∴b－a＞2，故④错误. [点评]本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴 的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握 二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 3 二次函数性质的应用 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时 间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中，正确结论的个数是(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- [分析]令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即 可判断②；分别求出当t＝2和t＝5时h的值，即可判断③. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45， ∵－5＜0. ∴当t＝3时，h有最大值，且最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30 m， 故②正确； [解析]①令h＝0，则30t－5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6 s， 故①正确； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- ③当t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)， 当t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)， ∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度， 故③错误. [点评]本题考查了二次函数的应用.解此题的关键是把实际问题转化成 数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 考向7 考向8 -1- 本讲内容结束 -1- $$