专题2　方程(组)与不等式(组)-2025年湖北省中考数学基础夯实课件

专题二　方程(组)与不等式(组) -1- 1 目 录 1 考点梳理 2 2 母题剖析 -1- 1. 了解一元一次方程的概念、形式及解方程的一般步骤；了解二 元一次方程组的概念、解法及其应用；会解决一次方程(组)的实际 应用问题. 2. 掌握分式方程的概念及其解法，以及分式方程的增根、实际应 用的解题方法. 3. 掌握一元二次方程的相关概念、解法，以及一元二次方程根的 判别式、根与系数之间的关系. 4. 掌握一元一次不等式(组)的解法，会对含参不等式(组)进行计 算，能够解决一元一次不等式(组)的实际应用问题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 1. 通过等式的性质及消元法求解一次方程，归纳总结出一次方程常见 的应用问题 (比如：行程、工程、利润、方案决策问题等)，并总结出 列、解方程的一般步骤. 2. 将分式方程转化为整式方程求解时，直接开方法、配方法、公式 法、因式分解法是解决此类问题的常用方法. 3. 熟知平均增长率问题、利润问题、传播问题、单循环赛制问题、面 积问题等常见数学模型. 4. 结合方程(组)和不等式(组)的解法，全面总结常见的数学模型，优化 解题方法和技巧. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 考点综述 考点梳理 01 -1- 　一次方程(组)及其应用 一、等式的性质 若a＝b，则a±c＝b±c；若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c≠0， 则 ＝ . 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、一元一次方程 1. 概念：只含有 　一　个未知数，且未知数的次数是 　1　，等号两边 都是整式，这样的方程叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的一般形式： 　ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)　. 一　 1　 ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 解一元一次方程的一般步骤 去 分 母 若未知数的系数含有分母，则先去分母，即在方程两边同乘各分 母的 　最小公倍数　 最小公倍数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 去括号 若括号前为“－”号，去括号后括号里面各项要 　变号　 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项移到方程的另 一边，注意移项时要 　改变符号　 合并同 类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 系数化 为1 方程两边同除以未知数的 　系数a　，得到方程的解为 　x＝ 　 变号　 改变符号　 系数a　 x＝ 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (1)不要漏乘不含分母的项(尤其是常数项)； (2)分子是一个整体，去分母后需加括号. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、二元一次方程(组) 1. 概念 概念 一般形式 二元 一次 方程 含有 　两　个未知数，并且含 有未知数的项的次数都是 　1　 的整式方程 ax＋by＝c(a，b，c都是 常数，且a≠0，b≠0) 两　 1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 概念 一般形式 二元 一次 方程 组 有两个未知数，每个含有未知 数的项的次数都是1，并且一共 有两个方程的方程组 (a1，a2不同时为0，b1，b2 不同时为0) 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 二元一次方程组的解法 (1)基本思路：二次一次方程组 一元一次方程. (2)解法：消元法. ①代入消元法：多适用于方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知 数的系数是1或－1的情形. ②加减消元法：多适用于方程组中两个方程的同一未知数的系数相同或 互为相反数的情形. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 二元一次方程(组)解的应用 (1)若 是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝c的解，则am＋ bn＝c. (2)若 是关于x，y的二元一次方程组 的解， 则 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 解题步骤 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 四、一次方程(组)的常见应用问题 1. 行程问题 (1)基本量间的关系： 　路程　＝速度×时间. (2)相遇问题(如图1)： ①全路程(AB)＝甲走的路程(AC)＋乙走的路程(　BC　). ②全路程＝速度和×相遇所用时间. 路程　 BC 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (3)追及问题 ①同地(A地)不同时出发(如图2)：被追者走的路程(AC)＝追者走的路程 (　AC　). ②同时不同地(A地、B地)出发(如图3)： AC 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- Ⅰ.被追者走的路程(BC)＋两地间的距离(AB)＝追者走的路程(　AC　). Ⅱ.追及路程＝速度差×追及时间. (4)航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度 －水流速度. AC 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 工程问题 (1)基本量间的关系：工作量＝ 　工作效率　×工作时间. (2)常用等量关系：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的 和等于总工作量. 工作效率　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 利润率问题 基本量间的关系：利润＝售价－ 　进价　；利润率＝ ×100％. 4. 配套问题 (1)数量关系：m件A产品与n件B产品配套. (2)常用数量关系：A产品的数量×n＝B产品的数量×m. 进价　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 5. 积分问题 常用等量关系：比赛总场数＝胜场总数＋平场总数＋负场总数；比赛总 积分＝胜场总积分＋平场总积分＋负场总积分. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 6. 数字问题 (1)一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c(其中a， b，c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，则这个三位数表示 为100a＋10b＋c. (2)一些常见表示：两个连续整数，较大的数用n表示，则较小的数用n －1表示；偶数用2n表示，连续的偶数用2n＋2或2n－2表示；奇数用 2n＋1或2n－1表示. (3)处理策略：抓住数字间或新数、原数之间的关系列方程求解. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 7. 方案决策问题 处理策略：根据题意分别列出不同方案的代数式，再通过计算比较结 果，即可得到满足题意的方案. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 　分式方程及其应用 一、分式方程及其解法 1. 分式方程： 　分母　中含有未知数的方程叫作分式方程，如： ＋1 ＝x是分式方程. 分母　 2. 分式方程的解法 (1)思路：分式方程 整式方程. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)一般步骤： 最简 公分母 最简 公分母 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 把整式方程的根直接当成原分式方程的根，漏掉验根步骤，导致失分. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、分式方程的增根 1. 分式方程的增根是在去分母时产生的，它会使分式方程的分母 为 　0　. 2. 分式方程的增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程 的根. 0　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、分式方程的应用 1. 解题步骤 (1)审题，找等量关系； (2)设对应的未知数； (3)根据等量关系列分式方程； (4)解方程； (5)检验； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 检验所求根是不是原分式方程的根；检验所求根是否符合题意. (6)作答. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 常见关系式 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 　一元二次方程及其解法 一、一元二次方程 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 　2　的整 式方程. 2. 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c为常数，a≠0). 3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边 　相等　的未知数 的值，若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，则am2＋bm＋c ＝0. 　 2　 相等　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：形如x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的一元二次方程， 可直接开平方求解. 2. 配方法： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 右边　 二次项 系数 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 公式法： 一般形式　 x＝ 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 4. 因式分解法：将方程的右边化为0，将方程的左边分解为两个一次因 式的乘积，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，它们的解就 是一元二次方程的解.如果ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，那么 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为 　x1＝m，x2＝n　. x1＝m，x2＝n　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 1. 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单(最基 本的方法)； 2. 配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法 (万能方法). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、一元二次方程根的判别式、根与系数之间的关系 1. 一元二次方程根的判别式 定义：一般地，式子 　b2－4ac　叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的判别式，常用符号“Δ”表示. 与根的 b2－4ac　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 关系 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋ c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝ 　－ 　，x1x2＝ 　 　. － 　 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况确定字母参数的值或取值 范围时，不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大， 导致解题错误.对于形如ax2＋bx＋c＝0的方程有实数根的问题，要从 a＝0和a≠0两个方面去考虑. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 四、一元二次方程的应用 1. 一般步骤：审、设、列、解、验、答. 2. 常见类型 (1)平均增长(降低)率问题：设a为起始量，b为终止量，n为增长(降低) 的次数，则平均增长率公式为a(1＋x)n＝b(x为平均增长率)，平均降 低率公式为a(1－x)n＝b(x为平均降低率). (2)利润问题： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (3)传播(分裂)问题：传染源(分裂母体)＋第一轮被传染数(分裂个数)＋ 第二轮被传染数(分裂个数)＝第二轮被传染后的总数(分裂后的总个数). (4)单循环赛制(握手)问题：设有x(x≥2)个队，每两队打一场比赛，则 一共比赛的场数为 . (5)“每每型”问题：单价每降低1元，每天可多售出10件，我们把这种 经济问题称为“每每型”问题，解决此类问题的关键在于理清销售量随 着单价的变化而变化的数量关系. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (6)面积问题： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 不规则图形一般先分割或组合成规则图形，或转化为规则图形，再运 用规则图形的面积公式列方程解决问题. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 　一元一次不等式(组)及其应用 一、一元一次不等式(组) 1. 不等式的基本性质 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 解一元一次不等式 (1)基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤ 　系 数化为1　(注意不等号方向是否改变). (2)解集在数轴上的表示 解集 在数轴上表示 x＜a x＞a x≥a x≤a 系 数化为1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一定边界点，二定方向.定边 界点时，“＞”和“＜”是空心圈，“≤”和“≥”是实心点；定方 向的原则为小于向左，大于向右. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 解一元一次不等式组 解法步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)将每一个不等式的解集在同一个数轴上表示出 来，找出它们的公共部分； (3)根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公 共部分，那么不等式组无解 一元一次不等式 组的解集情况 不等式组 (设a＜b) 解集 解集在数轴 上的表示 口诀 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 一元一次不等式 组的解集情况 x≥b 同大 取大 x≤ a 同小 取小 a≤x≤ b 大小 小大 中间 找 x≤a a≤x≤b 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 一元一次不等式 组的解集情况 无解 大大 小小 无处 找 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，含有字母时，要注意对 字母的取值进行讨论. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、一元一次不等式(组)的实际应用 1. 不等关系的一些常用关键词 常用关键词 符号 大于，多于，超过，高于 ＞ 小于，少于，不足，低于 ＜ 至少，不低于，不小于 ≥ 至多，不超过，不高于，不大于 ≤ 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 用不等式(组)解决实际问题的一般步骤 不等关系 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 考点综述 母题剖析 02 -1- 　一次方程(组)及其应用 　 　1　一次方程(组)的解法及其解的应用 1. [2024·滨州]解方程： ＝ . [解析]去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)， 去括号，得4x－2＝3x＋3， 移项，得4x－3x＝3＋2， 合并同类项，得x＝5. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. [2023·南充]关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝ 1，则4m÷2n的值是(　D　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 [解析] 由①－②，得2x＋2y＝2m－n－1，∴x ＋y＝ .∵x＋y＝1，∴ ＝1，∴2m－n＝3， ∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m－n＝23＝8. D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　2　一次方程(组)的实际应用 1. (数学文化)[2024·广西]《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其 中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱(注：1亩 ≈666.67 m2)，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出 租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为(　B　) A. ＋ ＋ ＝1 B. ＋ ＋ ＝100 C. 3x＋4x＋5x＝1 D. 3x＋4x＋5x＝100 B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]第一年3亩1钱可得 钱，第二年4亩1钱可得 钱，第三年5亩1钱 可得 钱.三年共得100钱，即 ＋ ＋ ＝100. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. (工作量分配问题)[2024·陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一 次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去 参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次 一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]设总任务量为1，这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x) h， 由题意可知，小峰打扫每小时可完成总任务的 ，爸爸打扫每小时可完 成总任务的 ， 由题意，得 x＋ (3－x)＝1， 解得x＝2. 答：这次小峰打扫了2 h. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 常见的方程应用题类型及其数量关系 行程 问题 基本数量关系：时间＝ 常用数量关系： － ＝时间差(注意时 间单位统 一) 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 工 程 问 题 基本数量关系：工作时间＝ 常用数量关系： － ＝时间差 － ＝时间差 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 工 程 问 题 基本数量关系：工作时间＝ 常用数量关系： － ＝时间差 － ＝时间差 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 销 售 问 题 基本数量关系： ＝数量 常用数量关系： － ＝数量差 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3. (变式探究　探究乘车人数＋租车费用最省)[2023·张家界]为拓展学生 视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用甲种客车若干 辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种客车，则多出三辆车， 且其余客车恰好坐满. 甲、乙两种客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 45 60 租金/(元/辆) 200 300 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆甲种客 车？ [分析](1)本题中等量关系为：45×甲种客车辆数＋15＝师生总数， 60×(甲种客车辆数－3)＝师生总数，据此列方程组可得出答案. [解析](1)设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆甲种 客车，根据题意，得 解得 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆甲种客车. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合 算？ [分析](2)需要分别计算甲种客车和乙种客车各自的租金，比较后再 取舍. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](2)租甲种客车：600÷45≈14(辆)，∴需租14辆，租金为200×14 ＝2 800(元) . 租乙种客车：600÷60＝10(辆)，∴需租10辆，租金为300×10＝ 3 000(元). ∵2 800＜3 000，∴租用14辆甲种客车更合算. [误区防错]本题考查二元一次方程组的应用.注意租车时最后不管余几 个人都要租一辆，所以在计算车辆数时用“收尾法”，而不是用“四舍 五入”法. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　分式方程及其应用 　1　分式方程的解法 1. [2024·遂宁]分式方程 ＝1－ 的解为正数，则m的取值范围是 (　B　) A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2 　 B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]方程两边同时乘(x－1)，得2＝x－1－m，解得x＝m＋3.∵分式 方程 ＝1－ 的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3.又∵x≠1， 即m＋3≠1，∴ m≠－2(易忽略点)，∴m的取值范围为m＞－3且 m≠－2.故选B. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. 解下列分式方程： (1) － ＝1； [解析](1)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)， 整理，得2x－2＝0， 解得x＝1. 检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0， ∴x＝1是增根，应舍去. ∴原方程无解. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2) ＝ ＋1. [解析](2)方程两边同乘3(x＋1)， 得3x－2x＝3(x＋1)， 解得x＝－ . 检验：当x＝－ 时，3(x＋1)≠0， ∴x＝－ 是方程的解， ∴原方程的解为x＝－ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3. 若关于x的分式方程 ＋ ＝ 无解，则m＝ 　－4或6或1　. [解析]当原分式方程无解时，有下列情况： ①x＝－2为原方程的增根， 此时有2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即2×(－2＋2)－2m＝3×(－2－2)， 解得m＝6. －4或6或1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- ②x＝2为原方程的增根， 此时有2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即2×(2＋2)＋2m＝3×(2－2)， 解得m＝－4. ③方程两边同乘(x＋2)(x－2)， 得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 化简，得(m－1)x＝－10. 当m＝1时，整式方程无解，即分式方程无解. 综上所述，当原方程无解时，m的值为－4或6或1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　2　分式方程的实际应用 1. (种植面积问题)[2023·重庆B]某粮食生产基地为了落实在适宜地区开 展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划 用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种.甲区的农田比乙区的农田多10 000亩(注：1亩≈666.67 m2)，甲区农田的80％和乙区全部农田均适宜试 种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同. (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [分析]设乙区有农田x亩，则甲区有农田(x＋10 000)亩，根据“甲区 农田的80％和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面 积刚好相同”，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出乙区的农 田亩数，再将其代入(x＋10 000)中，即可求出甲区的农田亩数.本 题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确 列出一元一次方程. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]方法一　(1)设乙区有农田x亩，则甲区有农田(x＋10 000) 亩，根据题意，得80％(x＋10 000)＝x， 解得x＝40 000， 所以x＋10 000＝40 000＋10 000＝50 000. 答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩. [解析]方法二　(1)设甲区有农田x亩，则乙区有农田(x－10 000)亩， 由题意，得80％x＝x－10 000， 解得x＝50 000， 则x－10 000＝50 000－10 000＝40 000. 答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害 治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药.由于 两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷 洒时间相同).喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的 平均多喷洒 亩，求派往甲区的每架次无人机平均喷洒多少亩. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](2)甲区试种的农田为80％×50 000＝40 000(亩). 设派往甲区无人机y架次，则派往乙区无人机1.2y架次， 根据题意，得 ＝ ＋ ， 解得y＝400， 经检验，y＝400是原方程的解，且符合题意. 所以 ＝100. 答：派往甲区的每架次无人机平均喷洒100亩. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](2)设派往甲区的每架次无人机平均喷洒y亩，派往甲区a架次无 人机，则派往乙区的每架次无人机平均喷洒 亩，派往乙区 1.2a架次无人机， 由题意，得ay＝1.2a ， 即y＝1.2 ， 解得y＝100. 答：派往甲区的每架次无人机平均喷洒100亩. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. (生产、工程问题)[2024·重庆B]某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各 完成总粉刷任务的一半.据测算需要A，B两种外墙漆各300千克，购买 外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆 每千克的价格多2元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (1)求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元； [分析](1)设B种外墙漆每千克的价格是x元，则A种外墙漆每千克的价格 是(x＋2)元.根据“购买外墙漆总费用为15 000元，且A种外墙漆每千克 的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列关于x的一元一次方 程，解之即可. [解析](1)设B种外墙漆每千克的价格为x元，则A种外墙漆每千克的价格 为(x＋2)元， 根据题意，得300x＋300(x＋2)＝15 000， 解得x＝24， ∴x＋2＝24＋2＝26. 答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙的面积的 ，乙完 成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时，问甲每小时 粉刷外墙的面积是多少平方米. [分析](2)设甲每小时粉刷外墙的面积是y平方米，则乙每小时粉刷外墙 的面积是 y平方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“乙 完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时”，可列出 关于y的分式方程，解之检验后，可得结论. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)设甲每小时粉刷外墙的面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积 为 y平方米， 根据题意，得 ＝ ＋5， 解得y＝25， 经检验，y＝25是所列方程的解，且符合题意. 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 列方程(组)解决实际问题的一般步骤 1. 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量. 2. 设：设出关键未知数. 3. 列：根据题意，找出题中的等量关系，列方程(组). 4. 解：解所列的方程(组)，求得未知数的值. 5. 验：检验未知数的值是否符合题意. 6. 答：规范作答，注意单位名称. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　一元二次方程及其解法 　1　一元二次方程根的判别式及其应用 [2024·广安]若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围是(　A　) A. m＜0且m≠－1 B. m≥0 C. m≤0且m≠－1 D. m＜0 　 A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的意义，解题 的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根满足Δ＞0.∵关于x的一 元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2 －4(m＋1)＞0，解得m＜0.又∵m＋1≠0，∴ m≠－1(易忽略 点)，∴m的取值范围是m＜0且m≠－1.故选A. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　2　一元二次方程根与系数的关系 [2024·烟台]若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－ 4m＋n2的值为 　6　. [解析]∵一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，∴ m＋n＝ 2，mn＝－ (提示：一元二次方程根与系数的关系)，2m2－4m＝ 1，∴3m2－4m＋n2＝2m2－4m＋m2＋n2＝m2＋n2＋1＝(m＋n)2－ 2mn＋1＝22－2× ＋1＝6. 　 6　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x1＋x2＝－ ， x1·x2＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　3　一元二次方程的应用 1. [2024·重庆B]重庆在低空经济领域实现了新的突破，今年第一季度低 空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行 将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 x，根据题意，可列方程为 　200(1＋x)2＝401　. 　 200(1＋x)2＝401　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]利用“预计今年第三季度低空飞行航线安全运行的架次数＝今年 第一季度低空飞行航线安全运行的架次数×(第二、三两个季度安全运 行架次的平均增长率)2”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解. 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出 一元二次方程是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 解决增长、降低率问题的方法 设a为原来的量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量 时，a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后 的量时，a(1－m)n＝b. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. [2024·南充]已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两 个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； [解析](1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1) ＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0， 解得k＞1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值. [解析](2)∵1＜k＜5，∴整数k的值为2，3，4. 当k＝2时，方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3. 当k＝3或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述，k的值为2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为b2－4ac，通常 用“Δ”来表示，它与方程根的情况有如下关系： 方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根 Δ＞0 方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 Δ＝0 方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根 Δ＜0 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3. (变化率问题)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人 得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动， 利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次， 进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月 平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意， 得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608， 化简，得4x2＋12x－7＝0， ∴(2x－1)(2x＋7)＝0， ∴x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5(舍). 答：进馆人次的月平均增长率为50％. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次 的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人 次？请说明理由. [解析](2)∵进馆人次的月平均增长率为50％， ∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝128× ＝432＜500. 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 4. (日历问题)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如 图是2019年1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个 菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相 减，例如：9×11－3×17＝48，13×15－7×21＝48.不难发现，结果都 是48. (1)请证明发现的规律； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](1)证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为(a－7)，(a－1)， (a＋1)，(a＋7)， ∵(a－1)(a＋1)－(a－7)(a＋7)， ＝a2－1－(a2－49)， ＝a2－1－a2＋49 ＝48， ∴将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相 乘，再相减后的结果为48. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的 积为435，求这5个数中的最大数； 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](2)设这5个数中的最大数为x，则最小数为(x－14). 根据题意，得x(x－14)＝435， 整理，得x2－14x－435＝0， 解得x1＝29，x2＝－15(不符合题意，舍去). 答：这5个数中的最大数是29. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (3)嘉琪说：她用一个如图所示菱形框框出5个数字，其中最小数与最大 数的积是95，请直接判断他的说法是否正确(不必叙述理由). [解析](3)嘉琪的说法不正确，理由如下： 设这5个数中的最大数为y，则最小数为(y－14)， 根据题意，得y(y－14)＝95， 整理，得y2－14y－95＝0， 解得y1＝19，y2＝－5(不符合题意，舍去). ∵19在日历的最后一列， ∴不符合题意， ∴嘉琪的说法不正确. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　一元一次不等式(组)及其应用 1 不等式(组)及其应用(一) (新课标·开放性试题)[2024·临沂]写出满足不等式组 的一个 整数解： 　－1(答案不唯一)　. [解析] 解不等式①，得x≥－1，解不等式②，得x＜ 3，∴ 不等式组的解集为－1≤x＜3(点拨：同大取大，同小取小， 大小小大中间找，大大小小无处找)，∴不等式组的整数解为－1，0， 1，2. 　 －1(答案不唯一)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　2　含参不等式(组)问题 1. [2024·南充]若关于x的不等式组 的解集为x＜3，则m 的取值范围是(　B　) A. m＞2 B. m≥2 C. m＜2 D. m≤2 [解析]解不等式2x－1＜5，得x＜3，又x＜m＋1，不等式组的解集为 x＜3，∴m＋1≥3，∴m≥2.故选B. B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. 若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤－2，且 关于y的分式方程 ＝ －2的解是负整数，求所有满足条件的整数 a的值之和. [解析] 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 解不等式①，得x≤－2，解不等式②，得x＜ . ∵不等式组 的解集为x≤－2， ∴ ＞－2，解得a＞－11. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 解 ＝ －2，得y＝ . ∵y＝ ＜0，∴a＜1，∴－11＜a＜1. ∵y＝ ≠－1，∴a≠－2，∴－11＜a＜1且a≠－2. ∵y＝ 是负整数，∴a＝－8或a＝－5. 故满足条件的整数a的值之和是－8－5＝－13. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中所含待定字母的值，是 考查学生掌握及灵活运用所学知识的综合体现.可先求出不等式 (组)的解集(解集用含待定字母的形式表示)，再利用解集的等价性 求出待定字母的值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3. 已知关于x的不等式组 有5个整数解，求a的取 值范围. [解析] 由不等式①，得x≥3a－2，由不等式 ②，得x≤2，∴3a－2≤x≤2.∵不等式组有5个整数解，∴x＝2，1， 0，－1，－2，∴－3＜3a－2≤－2，解得－ ＜a≤0. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 求一元一次不等式(组)中待定字母的取值范围问题，首先把不等式(组) 的解集用含有待定字母的式子表示出来，然后把它与已知解集联系起 来求解.解决这类问题有时要运用方程知识，有时要用到不等式知识， 也可以利用数轴进行分析得出结论. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　3　不等式(组)及其应用(二) [2024·泸州]某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B 商品的费用多60元；购进5件A商品和2件B商品的总费用为620元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (1)求A，B两种商品每件的进价各为多少元； [分析](1)设A商品的进价为x元/件，B商品的进价为y元/件.根据 “购进3件A商品比购进4件B商品的费用多60元；购进5件A商品和2 件B商品的总费用为620元”可列出关于x，y的二元一次方程组，解 之即可得出结论. [解析](1)设A商品每件的进价是x元，B商品每件的进价是y元， 根据题意，得 解得 答：A商品每件的进价是100元，B商品每件的进价是60元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A 商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为 满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商 品的件数最多为多少？ 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [分析](2)设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品，根据“购进B商 品的件数不少于A商品件数的2倍，且销售完A，B两种商品后获得的总 利润不低于1 770元”可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其最 大值，即可得出结论. [解析](2)设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品.根据题意，得 解得19≤m≤20， ∴m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 　4　教材题微探究(租车费用最省问题) 1. (教材母题)某学校计划在总费用2 300元的限额内，租用汽车送234名 学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、 乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 45 30 租金/(元/辆) 400 280 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (1)共需租多少辆汽车？ [解析](1)每辆车上至少需要1名教师，则汽车总数不能大于6；要保证 240名师生有座，则汽车总数不能小于 (取整数为6)辆，故汽车总数 为6辆. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [思路点拨](1)每辆车上至少要有1名教师，共有6名教师，故汽车至多需 租6辆，又由师生总数为240人，根据“所需的车辆数＝人数÷载客量” 算出租载客量最大的客车所需辆数，因为甲种客车的载客量为45人， 取整，故得到至少需租6辆甲种客车，所以汽车至少需租6辆，综合 可得需租6辆汽车. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)给出最节省费用的租车方案. [解析](2)设租用m辆甲种客车，则租车费用Q(元)是m的函数，即Q＝ 400m＋280(6－m)， 化简，得Q＝120m＋1 680. 由题意，知120m＋1 680≤2 300，解得m≤ ， 又m为整数，故m≤5. ∵要保证240名师生有座，∴45m＋30(6－m)≥240，解得m≥4， 故4≤m≤5， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- ∴有两种租车方案： 方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车； 方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车. ∵Q随m的增加大增大， ∴当m＝4时，Q取得最小值，Qmin＝2 160， 即最节省费用的租车方案为租4辆甲种客车，2辆乙种客车. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [思路点拨]((2)设租车总费用为Q元，租甲种客车m辆，则租乙种客车(6 －m)辆，根据“租车总费用＝甲种客车租金×甲种客车辆数＋乙种客 车租金×乙种客车辆数”可得Q＝120m＋1 680，结合“租车总费用不 超过2 300元”可得120m＋1 680≤2 300⇒m≤ ，又m为整数，故 m≤5，再根据“师生总数为240人”可得为45m＋30(6－m)≥240，即 m≥4，综合可得m的取值范围为4≤m≤5.因为k＝120＞0，所以Q随 m的增大而增大，所以当m＝4时，可得最节省费用的租车方案. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 列不等式(组)解决实际问题的一般步骤 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. (变式探究　方程、不等式、函数综合探究租车最低费用)为贯彻执行 “德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某市中学组织全体学生 前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带 队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就 有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如 下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 35 30 租金/(元/辆) 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租车总费用不超过3 000元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ [解析](1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据题意，得30x＋7 ＝31x－1，解得x＝8， 则30x＋7＝30×8＋7＝247. 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ [解析](2)师生总数为247＋8＝255(人). ∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车. 设租甲种客车m辆，租乙种客车(8－m)辆. 根据题意，得 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 解得3≤m≤5.5. ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， 故一共有3种租车方案： 租甲种客车3辆，租乙种客车5辆，或租甲种客车4辆，租乙种客车4辆， 或租甲种客车5辆，租乙种客车3辆. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (3)在(2)的条件下，学校租车总费用最少是多少元？ [解析](3)租甲种客车3辆，租乙种客车5辆，租车总费用为3×400＋ 5×320＝2 800(元)；租甲种客车4辆，租乙种客车4辆，租车总费用为 4×400＋4×320＝2 880(元)；租甲种客车5辆，租乙种客车3辆，租车总 费用为5×400＋3×320＝2 960(元)，故学校租车总费用最少是2 800元. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 本讲内容结束 -1- $$