专题1　数与式课件2025年湖北省中考数学基础夯实

专题一　数与式 -1- 1 目 录 1 考点梳理 2 2 母题剖析 -1- 1. 掌握实数的分类、实数的相关概念、实数的大小比较、科学记数 法、近似数和精确度、平方根、算术平方根、立方根、实数的运算. 2. 掌握代数式及整式的相关概念、整式的运算、因式分解. 3. 分式：掌握分式的概念、性质及相关运算. 4. 掌握二次根式的概念及性质、运算及估值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 1. 通过理解有理数、实数的相关概念及性质，会进行实数的四则运 算，提升运算能力. 2. 类比实数的学习内容，探究整式、分式、二次根式的内容，体会数 与式的“通性”，进一步了解用字母表示数的意义. 3. 了解各运算的性质，体会转化思想，提升计算能力及应用意识. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 考点综述 考点梳理 01 -1- 　实数 一、实数的分类 按定义分 有理数 整数（正整数、𝟎、负整数） 分数（　有限　小数或无限 　循环小数） 无理数：　无限不循环　小数 按性质分 正实数 𝟎 负实数 有限　 无限不循环　 实数的分类 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 常见的4种无理数：π及化简后含π的数，如1.5π，π－4；有规律但不循 环的无限小数，如0.202 002 000 2…(每相邻两个2之间依次多一个0)； 开方开不尽的数的方根，如 ， ；化简后含有根号的三角函数 值，如tan 30°， sin 45°.判断无理数时，不要只看形式，应化简到 最终结果再判断，如 ， 不是无理数. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、实数的有关概念 1. 数轴 (1)数轴三要素：原点、正方向、单位长度. (2)数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是 负数. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 定义 性质 相 反 数 只有 　符号　不 同的两个数互为 相反数 (1)a与b互为相反数⇔a＋b＝ 　0　； (2)在数轴上表示相反数的两个点位于原点的两 侧，且到原点的距离相等，这两个点关于原点 对称 符号　 0　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 定义 性质 倒 数 乘积是 　1　的两个数互为 倒数 (1)实数a，b互为倒数⇔ab＝1； (2)倒数等于它本身的数是 　1和－ 1　，0没有倒数 1　 1和－ 1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 定义 性质 绝 对 值 数轴上表示数a的点到原点 的距离叫作数a的绝对值， 记作 　｜a｜　 (1)｜a｜＝ ｜a｜具有非负性，即｜a｜≥0； (2)绝对值是a(a＞0)的数有两个，它 们 　互为相反数　，为a和－a ｜a｜　 互为相反数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、实数的大小比较 1. 数轴比较法：数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边 的点表示的数大. 2. 性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的 反而小. 3. 作差比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a ＜b. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 4. 作商比较法：若a＞0，b＞0，则 ＞1⇔a＞b； ＝1⇔a＝b； ＜ 1⇔a＜b. 5. 平方比较法： ＞ ⇔a＞b(a＞0，b＞0)；a＞ ⇔a2＞b(a＞ 0，b＞0). 6. 特殊比较法 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 四、科学记数法与近似数 1. 定义：把一个数表示成 　a×10n　的形式，其中1≤｜a｜＜10，n 是整数，如：261 000＝2.61×105，0.000 53＝5.3×10－4. 2. 表示方法 (1)确定a的值：a是整数位数只有一位的数，如：用科学记数法表示 261 000，则对应的a为2.61；用科学记数法表示0.000 53，则对应的a 为5.3. (2)确定n的值： ①当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数 　减去1　. ②当原数的绝对值大于0且小于1时，n为负整数，其绝对值等于原数中 左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前的零). a×10n　 减去1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到 哪一位，如：3.141 5精确到0.01为 　3.14　，精确到千分位 为 　3.142　. 3.14　 3.142　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 五、实数的运算 1. 四则运算 (1)加法 ①同号两数相加，取相同的符号，并把 　绝对值　相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值 　减去　较小的绝对值.互为相反数的两数相加和为0. ③一个数同0相加，仍得这个数. 绝对值　 减去　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，如：a－b＝a＋ (－b). (3)乘、除法 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘都 得0. ②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 　倒数　. 倒数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括 号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的，同级运算 应按从左到右的顺序进行. 3. 运算律 (1)加法 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)乘法 ①交换律：ab＝ba； ②结合律：(ab)c＝a(bc)； ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. (b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)能运用分配律，a÷(b－c)(b≠c)不能 运用分配律. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 　代数式与整式 一、代数式 1. 列代数式 (1)原价a的8.5折表示为0.85a；原价a提高20％后再打8折表示 为 　0.8(1＋20％)a　. (2)原量a的2倍多(或少)3表示为 　2a＋3(或2a－3)　；原量a增加(或减 少)10％表示为a(1＋10％)(或a(1－10％)). (3)3个单价为a元的商品与2个单价为b元的商品的总价为 　(3a＋2b)　 元. (4)每天完成的工作量为a，则完成m的工作量所需时间为 天. 0.8(1＋20％)a　 2a＋3(或2a－3)　 (3a＋2b)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 列出的代数式化为最简后，当最后一步是加、减时，有单位的必须将 代数式用括号括起来再加单位. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 代数式求值 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计 算求值. (2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将 所求代数式变形后与已知代数式构成倍分关系，一般会用到提公因式 法、平方差公式、完全平方公式. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、整式及其相关概念 1. 单项式 定义：由数或字母的 　乘积　表示的式子，单独的一个数或一个字母也 是单项式. 乘积　 系数：单项式中的 　数字　因数. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的 　和　. 数字　 和　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 多项式 定义：几个单项式的 　和　. 项：每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作 　常数项　. 次数：多项式中次数最高项的次数，如：2xy3＋ x2y的次数为4. 3. 整式：单项式和多项式统称为整式. 4. 同类项： 　所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项　(注： 所有的常数项都是同类项). 和　 常数项　 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、整式运算 1. 加减运算 (1)合并同类项 ①字母和字母的 　指数　不变. ②系数相加减作为新的系数，如：2xy2＋3xy2＝ 　5xy2　. 指数　 5xy2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)去括号法则 ①括号前是“＋”号，去括号时，括号内各项不变号：a＋(b＋c)＝ a 　＋　b 　＋　c. ②括号前是“－”号，去括号时，括号内每一项都变号：a－(b＋c)＝ a 　－　b 　－　c. ＋　 ＋　 －　 －　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 幂的运算(m，n为正整数) 同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即am·an＝ 　am＋n　. 同底数幂相除： 　底数不变，指数相减　，即am÷an＝  　am－n　(a≠0，且m＞n). 幂的乘方： 　底数不变，指数相乘　，即(am)n＝ 　amn　. 积的乘方： 　先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘　， 即(ab)n＝ 　anbn　. am＋n　 底数不变，指数相减　 am－n 　 底数不变，指数相乘　 amn　 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘　 anbn　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 乘法运算 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字 母连同它的 　指数　不变，作为积的因式，如：2a2·2a3b＝(2×2)·a2＋ 3b＝4a5b. 指数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加，如：a(b＋c)＝ab＋ac. (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加，如：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 4. 乘法公式 (1)平方差公式： 　(a＋b)(a－b)＝a2－b2　. (a＋b)(a－b)＝a2－b2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)完全平方公式： 　(a±b)2＝a2±2ab＋b2　. (a±b)2＝a2±2ab＋b2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 四、因式分解 1. 目的 目的一：把一个多项式化成几个整式的积的形式. 目的二：必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 基本方法 (1)提公因式法 公式：ma＋mb＋mc＝ 　m(a＋b＋c)　. 公因式的确定： m(a＋b＋c)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)公式法 (a＋b) (a－b) (a±b)2 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形 式，二者不可混淆. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 分式 一、分式的有关概念 1. 有关概念 (1)分式的定义：形如 　　(A，B都是整式，且B中含有 　字母　， B≠0)的式子. 　 字母　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 判断一个代数式是不是分式，必须在没有化简时判断，不能约分后再 判断. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)分式 有意义的条件： 　B≠0　. (3)分式 的值为零的条件： 　A＝0且B≠0　. (4)最简分式：分子与分母没有 　公因式　的分式. B≠0　 A＝0且B≠0　 公因式　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于零的整式，分 式的值不变，即 ＝ (用于通分)， ＝ (用于约分)，其中A， B，C是整式且B≠0，C≠0. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 给分式的分子、分母与分式本身中的任意两个加上负号，分式的值不 变，即 ＝ ＝－ ＝－ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、分式的运算 1. 约分 (1)概念：把一个分式的分子和分母中的公因式(不为1的数)约去. (2)确定公因式的方法 ①取分子、分母系数的 　最大公因数　作为公因式的系数. ②取各个因式的 　最低次幂　作为公因式的因式. ③若分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公 因式. 最大公因数　 最低次幂　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 通分 (1)概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的 分式. (2)确定最简公分母的方法 ①取各个分母系数的 　最小公倍数　作为最简公分母的系数，取各个因 式的 　最高次幂　作为最简公分母的因式. ②若分母为多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公 分母. 最小公倍数　 最高次幂　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 分式的四则运算 (1)分式的乘除法 ①乘法： · ＝ 　 　(分子与分子相乘，分母与分母相乘)，其中b， d≠0. ②除法： ÷ ＝ 　 　(除以一个数，等于乘这个数的倒数)，其中 b，c，d≠0. ③乘方： ＝ 　 　(分子、分母各自乘方)，其中n为整数，b≠0. 　 　 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- (2)分式的加减法 ①同分母分式相加减： ± ＝ 　 　(分母不变，分子相加减)，其中 b≠0. ②异分母分式相加减： ± ＝ 　 ± 　＝ (先通分，转化为同 分母分式的加减)，其中b，d≠0. 　 ± 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 4. 分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的，同级运算按照从左至右的顺序进行计算. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 1. 运算中有整式时，可以将整式看作分母为1的分式. 2. 可以因式分解的要先因式分解，再约分. 3. 分式运算的结果要化成整式或最简分式. 4. 分式化简求值时，要注意符号的变化，分式的分子在添括号或去括 号时要作为一个整体，若括号前为“－”号，则去括号或添括号后括 号内每一项都要变号. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 　二次根式 一、算术平方根、平方根、立方根 1. 正数与0只有 　一　个算术平方根，负数没有算术平方根. 2. 正数有 　两　个平方根，且它们 　互为相反数　；0的平方根是0； 负数没有平方根. 3. 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立 方根. 一　 两　 互为相反数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 任意非负数a的算术平方根是非负数，即 ≥0(a≥0)，若 ＋ ＝ 0，则a＝0，b＝0. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二、二次根式的有关概念 1. 二次根式的定义：一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 2. 二次根式有意义的条件：被开方数为 　非负　数. 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开得尽方的 　因数　或因式. (2)被开方数不含 　分母　，如： 是最简二次根式， 和 不是 最简二次根式. 非负　 因数　 分母　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 　被开方 数　相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式，如： 和 是 同类二次根式. 被开方 数　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 三、二次根式的性质 1. 双重非负性：式子 中，a 　≥　0，  　≥　0. 2. 两个重要的性质： &()𝟐＝　𝒂　(𝒂≥𝟎); ＝｜𝒂｜＝ 　𝒂　(𝒂≥𝟎), −𝒂(𝒂<𝟎). ≥　 ≥　 𝒂　 𝒂　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 3. 积的算术平方根： ＝  　 · 　(a≥0，b≥0). 4. 商的算术平方根： ＝　 (a≥0，b＞0). · 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 四、二次根式的运算 加减法 先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次 根式 乘法 · ＝　 (a≥0，b≥0) 除法 ＝　 (a≥0，b＞0) 混合运算 与实数的运算顺序相同 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 二次根式的运算结果必须是最简二次根式或整式，且分母中不含二次 根式. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 五、二次根式的估值 1. 确定在哪两个相邻的整数之间 (1)对二次根式平方，如：()2＝13. (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如：9和16. (3)取以上两个整数的算术平方根，如： ＝3， ＝4. (4)确定这个二次根式的值在取算术平方根后所得的两个整数之间， 如：3＜ ＜4. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 2. 确定离哪个整数较近 (1)确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如：3＜ ＜4. (2)求出两个相邻整数的平均数，如： ＝3.5. (3)用平方法比较二次根式和平均数的大小，若二次根式的平方大于平 均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如：3.52＝ 12.25＜13，则 离4较近. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 确定 的整数部分或小数部分：首先求出与 相邻的两个整数b和 c(b＜c)，则 的整数部分是b，小数部分是 －b.如： 的整数 部分为2，小数部分为 －2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 考点4 -1- 考点综述 母题剖析 02 -1- 　实数 1 实数与数轴相结合的应用 [2024·北京]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中 正确的是(　C　) A. b＞－1 B. ｜b｜＞2 C. a＋b＞0 D. ab＞0 C 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]由图中数轴上实数a，b的对应点的位置可知：－2＜b＜－1，2 ＜a＜3，那么1＜｜b｜＜2，ab＜0，a＋b＞0，故选C. [误区防错]实数在数轴上的点通常会结合绝对值、相反数、两点距离等 进行考查.特别要注意a＋b，ab等与0的大小关系，不能简单判定0＜a ＋b＜2. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2 科学记数法 [2024·北京]北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力 为4×1017 Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，整体投产 后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍， 达到m Flops，则m的值为(　D　) A. 8×1016 B. 2×1017 C. 5×1017 D. 2×1018 [解析]由题意知：日前设备算力为4×1017 Flops，投产后的算力m是日 前的5倍，那么m＝4×1017×5＝20×1017＝2×1018. D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 大数的科学记数法、小数的科学记数法、含计算过程的科学记数法的 本质是科学记数法的一部分，知道把一个数表示成a×10n(1≤｜a｜ ＜10，n是整数)是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3 实数的大小比较 [2024·安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周 率的一种分数形式的近似值，为 .比较大小：  　＞　 (填 “＞”或“＜”). [解析]本题考查实数的大小比较，经分析，通过平方计算得：()2＝ × ＝10＝ ， ＝ ＝ ，那么 ＞ . ＞　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 4 二次根式的运算 (教材改编题)如图，以数轴上－1所对应的点为圆心，以图中直角三角 形的斜边为半径画弧，圆弧与数轴的交点为点A，点A所表示的数是  　－ 1　.  －1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]∵半径长为 ， ∴点A与－1所对应点的距离为 ， ∴点A与原点的距离为 －1. [解题思维]本题主要考查实数与数轴的关系，要特别注意点A与原点之 间的距离是 －1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 5 实数的混合运算 [2024·成都]计算： ＋2 sin 60°－(π－2 024)0＋｜ －2｜. [解析]∵ ＝4， sin 60°＝ ，a0＝1(a＞0)， ∴原式＝4＋2× －1＋2－ ＝5. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 特殊角度的三角函数值 角度 30° 45° 60° 90° 正弦 sin 1 余弦 cos 0 正切tan 1 ＋∞ 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 代数式与整式 1 代数式的概念及运算 1. [2024·成都]若m，n为实数，且(m＋4)2＋ ＝0，则(m＋n)2的 值为 　1　. [解析]由题意知：m，n为实数，且(m＋4)2＋ ＝0，那么 解得 则(m＋n)2＝(－4＋5)2＝12＝1. 1　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [误区防错]对于a2＋b2(a，b为实数)，由于a2≥0，b2≥0，因此a2＋ b2≥0，而题目中a2＋b2＝0，则a2＝0且b2＝0，这里是两个条件必须同 时满足. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. (新考法·结合面积的计算考查整式的运算)[2024·新疆]如图，在正方 形ABCD中，若面积S矩形AEOH＝12，周长C矩形OFCG＝16，则S正方形EBFO ＋S正方形HOGD＝ 　40　. 40　 [分析]本题考查了二元二次方程组的应用以及正方形的性质，找准等量 关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]方法一　设正方形EBFO的边长为x，正方形HOGD的边长为 y，则S正方形EBFO＝x2，S正方形HOGD＝y2，由题意，得 ∴x＋y＝8，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝82－2×12＝40，即S正方形EBFO ＋S正方形HOGD＝40. 方法二　设正方形EBFO的边长为x，正方形HOGD的边长为y，则S正 方形EBFO＝x2，S正方形HOGD＝y2，由题意，得 ∴x＋y ＝8，则x，y可看作是关于m的一元二次方程m2－8m＋12＝0的两个 根，解得m1＝6，m2＝2，故S正方形EBFO＋S正方形HOGD＝62＋22＝40. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2因式分解 [2024·云南]分解因式：a3－9a＝(　A　) A. a(a－3)(a＋3) B. a(a2＋9) C. (a－3)(a＋3) D. a2(a－9) [解析]a3－9a＝a(a2－9)＝a(a－3)(a＋3). A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 因式分解的一般步骤 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3整式的化简及求值 [2024·甘肃]先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其 中a＝2，b＝－1. [解析]原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b ＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b ＝(4ab＋2b2)÷2b ＝2a＋b. 当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2＋(－1)＝4＋(－1)＝3. [解题思维]熟记完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，平方差公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b)；掌握同类项的化简；掌握推导完全平方公式、 平方差公式；了解立方差公式的化简：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 4规律探索题 [2024·宁夏]观察下列等式： 第1个：1×2－2＝22×0； 第2个：4×3－3＝32×1； 第3个：9×4－4＝42×2； 第4个：16×5－5＝52×3； … 按照以上规律，第n个等式为 　n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2(n－1)　. [解析]分析所给的等式形式，总结出规律，再对等式的左边进行整理. n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2(n－1)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 1. 对于求第n个等式或式子的数式规律题，具体解题步骤如下： 第一步：先观察给出的等式或式子(计算出已给式子的结果)； 第二步：标序数； 第三步：将等式左边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式； 第四步：将等式右边的每项用含序数的式子表示出来； 第五步：分析对比所得的结果，从结果与序数或结果与所给数式中数 字的构成与个数两方面进行对比，寻找不变的量及变化的量之间的关 系，从而得到结果与各个等式或式子之间满足的关系式，求第n个数 式时直接套用关系式即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. 求n个式子和的方法： 所求式子的结果就等于另一边经过运算后的结果，一般是通过相应运 算(和、差、积、商)消去相同的项，然后将剩余的项合并，得出结果. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 分式 1 结合实数的分式运算 1. [2023·北京]若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 　x≠2　. [分析]本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题 的关键. [解析]由题意，得x－2≠0，解得x≠2. x≠2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. [2023·上海]化简： － 的结果为 　2　. [分析]本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必 须熟练掌握. [解析]原式＝ ＝ ＝2. 2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]原式＝ ÷ ＝ · ＝ · ＝ · ＝ ＝ . 3. [2024·烟台]利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：3x2－5＝，若m是其显示结果的平方根，先化简：( ＋ )÷ ，再求值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- ∵32－5＝4，∴32－5的平方根为±2， 由题意，得2－m≠0，m＋3≠0，m－3≠0， ∴m≠2，m≠±3，∴m＝－2， ∴原式＝ ＝－ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 先化简，再求值是分式运算中常见的考查形式，解答时要注意以下 三点： 1. 一定要先化简，而且要化为最简分式或整式，再求值.化简时，除 法一定要转化为乘法后再运算，分子、分母是多项式的，可先将分 子、分母因式分解，再进行运算. 2. 求值时，要先指出字母的取值，再代入计算. 3. 开放性的字母取值时，一定要使原分式及化简过程中出现的分式都 有意义，切忌随心所欲地取值. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 4. [2022·宜昌]求代数式 ＋ 的值，其中x＝2＋y. [分析]本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减法则、约分法则 是解题的关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]原式＝ － ＝ ＝ . 当x＝2＋y时，原式＝ ＝1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 5. 观察下面的等式： ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，…. (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整 数)； [解析](1) ＝ ＋ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的. [解析](2)∵ ＋ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＋ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 1. (新课标·开放性试题)[2023·黄冈]请写出一个正整数m的值，使得 是整数：m＝ 　2　(答案不唯一). [解析]本题考查二次根式的取整问题，被开方数要是平方数，正整数是 不包括0的自然数. ＝1， ＝2， ＝3， ＝4， ＝5， ＝6， ＝7， ＝8， ＝9， ＝10…当m＝2时， ＝ ＝ ＝4(符合)，当m＝8时， ＝ ＝ ＝8(符合)…依此类推，答案不唯一. 2　 　二次根式 1 二次根式的运用 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2. [2023·烟台]下列二次根式中，与 是同类二次根式的是(　C　) A. B. C. D. [分析]本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是 解此题的关键.几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相 同，那么这几个二次根式叫同类二次根式. C 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析]A. ＝2，和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B. 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C. ＝2 ，和 是同类二次根式，故本选项符合题意；D. ＝2 ，和 不是 同类二次根式，故本选项不符合题意. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 3. [2023·济宁]若代数式 有意义，则实数x的取值范围是(　D　) A. x≠2 B. x≥0 C. x≥2 D. x≥0且x≠2 [分析]本题考查了分式和二次根式的定义，关键是能准确理解并运用以 上知识. [解析]由题意，得x≥0且x－2≠0， 解得x≥0且x≠2. D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 4. (1)计算： － × ； [分析]本题考查了二次根式的混合运算、因式分解(运用公式法)，以及 分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键. [解析](1)原式＝3 － ＝3 － ＝2 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)按要求填空： 小王计算 － 的过程如下： 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 解： － ＝ － ……第一步 ＝ － ……第二步 ＝ ……第三步 ＝ ……第四步 ＝ .……第五步 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 小王计算的第一步是 　因式分解　(填“整式乘法”或“因式分解”)， 计算过程的第 　三　步出现错误.直接写出正确的计算结果是   　 . 因式分解　 三　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- [解析](2) － ＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ ， 小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误.直接写出 正确的计算结果是 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 2二次根式的非负性及综合运算 阅读材料：像(＋ )(－ )＝1， × ＝a(a≥0)，这种两个 含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为 有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中 的根号. 解答下列问题： (1)请写出 的一个有理化因式： 　 (答案不唯一)　；  　(答案不唯一)　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (2)观察下面的变形规律，请你猜想： ＝ －1， ＝ － ， ＝ － ，…， ＝  　－ 　； [分析]本题主要考查二次根式的混合运算，正确地将二次根式分母有理 化是解题关键. [解析](2) ＝ ＝ － . [分析]本题主要考查二次根式的混合运算，正确地将二次根式分母有理 化是解题关键. － 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- (3)利用上面的方法，请化简： ＋ ＋ ＋…＋ . [解析](3)原式＝ －1＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ －1. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 考向4 -1- 本讲内容结束 -1- $$