专题6　圆2025年湖北省中考数学基础夯实课件

专题六　圆 -1- 1 目 录 1 考点梳理 2 2 母题剖析 -1- 1. 掌握圆的基本性质及与圆有关的几何图形. 2. 掌握与圆有关的位置关系. 3. 掌握与圆有关的计算. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 1. 弄清与圆有关的概念及性质，了解垂径定理及推论，学会弧、 弦、 圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及推论，掌握圆内接三角形、内 接四边形及正多边形的特征. 2. 通过点与圆的位置关系的判定方法，学会直线与圆的位置关系的判 定方法，掌握切线的性质与判定及定理，理解三角形的内切圆. 3. 学会弧长与扇形面积的计算方法，通过圆柱的侧面积及侧面展开 图，学会圆锥的侧面积及侧面展开图. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 -1- 考点综述 考点梳理 01 -1- 　圆的基本性质 一、与圆有关的概念 如图1，点A，B，C，D均在☉O上，线段AB过圆心O，且点D为 的中点，连接AC，OC，OD. (1)图中 　∠BAC　是圆周角， 　∠AOC，∠BOC，∠AOD， ∠BOD，∠COD　是圆心角(写出小于180°的角即可)； ∠BAC　 ∠AOC，∠BOC，∠AOD， ∠BOD，∠COD　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- (2)图中 　AC，AB　是弦，其中 　AB　是最长的弦； (3)图中 　 ， ， ， ， 　是优弧，　， ， ， ， 　是劣弧； (4)图中 和　 ， 和　 　， 和 是等弧. AC，AB　 AB　 ， ， ， ， 　  ， ， ， ， 　  　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 二、与圆有关的性质 1. 对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所 在的直线都是它的对称轴， 　圆心　是它的对称中心. 2. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度与自身重合. 圆心　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 三、弦、弧、圆心角的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相同的圆心角所对的弧 　相等　，所对的 弦 　相等　. 2. 推论： (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 　 相， 所对的弦 　相等　. (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 　 相， 所对的优弧和劣弧分别 　相等　. 相等　 相等　 相等 相等　 相等 相等　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 在同圆或等圆中，若 ＝2 ，则 所对的圆心角(或圆周角)等于 所对的圆心角(或圆周角)的2倍，但弦AB≠2CD. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 四、圆周角定理及其推论(图2) 1. 定理： 　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半　，即 ∠BAC＝ ∠BOC. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 2. 推论： (1) 　同弧或等弧所对的圆周角相等　，即∠BAC＝∠BDC. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 　直角(或90°)　，90°的圆周角所对 的弦是 　直径　. 同弧或等弧所对的圆周角相等　 直角(或90°)　 直径　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 1. 一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补； 2. 一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 五、直径与直径垂直 如图3，AB，CD是☉O的直径，且AB⊥CD，则AB 与CD将☉O分成 面积相等的四部分. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 六、※垂径定理及其推论 1. 定理：垂直于弦的直径 　平分这条　弦，并且 　平分　弦所对的两 条弧. 2. 推论：平分弦(不是直径)的直径 　垂直　于弦，并且 　平分　弦所对 的两条弧. 平分这条　 平分　 垂直　 平分　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 如图4，在以下五个结论中： (1) ＝　 ；(2)  　 ＝ ； (3)AE＝ 　BE　；(4)AB⊥CD；(5)CD是直径.只要满足其中的两个 结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”. 若由(3)(5)推其他3个 结论，应满足AB不是直径. BE　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 七、圆中的平行线 如图5，在☉O中，AD∥BC，则 ＝ ，AB＝CD，AC＝BD， △ABD≌△DCA，△ABC≌△DCB. 当AB不平行于CD时，四边形 ABCD是 　等腰梯形　； 如图6，当AB∥CD时，四边形ABCD是 　矩. 等腰梯形　 矩形 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 八、三角形的外接圆 定义 经过三角形三个顶点的圆 圆心 名称 外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的 　垂直平分线　的交 点) 性质 三角形的外心到三角形的 　三个顶点　的距离相等 垂直平分线　 三个顶点　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 定义 经过三角形三个顶点的圆 角度 关系 如图7，∠BOC＝2∠A，∠BOC＝360°－2∠A' 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 九、圆内接四边形的性质(图8) 1. 圆内接四边形的对角 　互补　，即∠B＋∠D＝ 　180°　. 2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠DCE＝ ∠ 　A　. 互补　 180°　 A　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 十、正多边形和圆 名称 公式 图例 内角 正n边形的每个内角为 ＝180°－ R：半径r：边心距 a：边长θ：中心角 外角 正n边形的每个外角为 中心角 正n边形的每个中心角θ＝——— 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 名称 公式 图例 边心 距 正n边形的边心距r＝ R：半径 r：边心距 a：边长 θ：中心角 周长 正n边形的周长l＝na 面积 正n边形的面积S＝ 　 rl(l为正 n边形的周长) 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 　与圆有关的位置关系 一、点与圆的位置关系(设☉O的半径为r，点到圆心的距离为d) 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 二、直线与圆的位置关系(设☉O的半径为r，圆心到直线的距离为d) 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d＞r d＝r d＜r 直线与圆的交点 的个数 没有交点 有且只 有 　一 交点 有 　两个　交点 示意图 一个 两个　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 三、切线的性质与判定 1. 切线的性质：圆的切线 　垂直　于过切点的半径. 2. 切线性质的推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过 　切点　. (2)经过切点且垂直于切线的直线必过 　圆心　. 垂直　 切点　 圆心　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 3. 切线的判定 (1)如果圆心到一条直线的距离 　等于　圆的半径，那么这条直线是圆 的切线. (2)经过半径的外端并且 　垂直　于这条半径的直线是圆的切线. 等于　 垂直　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 4. 切线长定理及有关结论 (1)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 　相 等　.这一点和圆心的连线 　平分　两条切线的夹角.如图，AB，AC 是☉O的两条切线，则AB＝ 　AC　，∠OAB＝ 　∠OAC　＝  　∠BAC　. 相 等　 平分　 AC　 ∠OAC　 ∠BAC　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- (2)由切线长定理可得出的结论有：AO⊥BC；BD＝CD；OB⊥AB， OC⊥AC；∠1＝∠2＝∠3＝∠4等. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 四、三角形的内切圆 图形 圆心名称 性质 角度关系  　内心　(三角形的 内切圆圆心)，是三 角形三个内角的平 分线的交点 三角形的内心到 三角形的三条边 的距离 　相等　 ∠BOC＝90°＋  　 ∠A 内心　 相等　 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 1. 在Rt△ABC中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则内切圆 半径为 或 ，外接圆半径为 c. 2. 若△ABC 的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC＝ (a＋b＋c)r. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 　与圆有关的计算 一、弧长与扇形面积的计算 R为圆的半径，弧所对 的圆心角的度数为 n°，l为扇形的弧长 弧长 l＝ 　 　 扇形 面积 S扇形＝ 　 ＝ lR 　 　 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 应用弧长公式和扇形面积公式时，一不要混淆分母，二要牢记n指的 是扇形的圆心角度数，而不是圆周角度数. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 二、圆柱的侧面积及侧面展开图：S圆柱侧＝2πRl(其中R是底面圆半 径，l是圆柱的高). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 三、圆锥的侧面积及侧面展开图 1. 圆锥的侧面展开图是 　扇形　. 2. 圆锥的底面圆的周长等于其侧面展开图(扇形)的弧长，即2πr＝ (其中l是母线长). 扇形　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 3. 圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的 　半径　. 4. 圆锥的轴截面是 　等腰　三角形，圆锥的母线长l、底面圆半径r、 圆锥的高h之间的数量关系是 　h2＋r2＝l2　. 5. S圆锥侧＝ ＝πrl. 半径　 等腰　 h2＋r2＝l2　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 在进行计算时要区分开扇形的两个面积公式与圆锥侧面积公式中字母 的含义. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考点1 考点2 考点3 -1- 考点综述 母题剖析 02 -1- 　圆的基本性质 1 垂径定理的实际应用 [2024·通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为 拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　B　) B A. 1.25 m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.45 m 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆 心，AB＝1 m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5 m. 设拱门所在圆的半径为r m， 则OA＝OC＝r m.∵CD＝2.5 m， ∴OD＝(2.5－r)m， ∴r2＝0.52＋(2.5－r)2， 解得r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3 m. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 2 垂径定理及其推论的相关计算 [2024·广州]如图，☉O中，弦AB的长为4 ，点C在☉O上， OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则 点P与☉O的位置关系是(　C　) C A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内 C. 点P在☉O外 D. 无法确定 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]如图，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.设OC与AB交于点 D. ∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝ AB＝2 ，∴OA＝ ＝ 4.∵OP＝5＞4，∴点P在☉O外. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [一题多解]先根据垂径定理得出AD＝BD＝ AB，再由∠ABC＝ 30°，得出∠AOD＝2∠ABC＝60°，故∠A＝30°，可得OA＝ 2OD，设OD＝x，则OA＝2x， 利用勾股定理求出x的值，从而得出 OA的长.根据点与圆的位置关系即可得出结论. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 3 圆周角定理及推论的相关计算 1. [2024·广元]如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD 延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　A　) A. 64° B. 60° C. 54° D. 52° [分析]根据同弧所对圆周角是圆心角度数的一半可先求出∠ABC的度 数，再根据圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数，最后根 据邻补角的定义即可求出答案. A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]∵∠AOC＝128°， ∴∠ABC＝64°. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠ADC＝180°－64°＝116°， ∴∠CDE＝180°－∠ADC＝64°. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 2. [2024·宜宾]如图，△ABC内接于☉O，BC为☉O的直径，AD平分 ∠BAC交☉O于D. 则 的值为(　A　) A. B. C. 2 D. 2 A 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]如图，连接BD，CD，∵BC是☉O的直径，∴ ∠BAC＝ ∠BDC＝90°(依据：圆周角定理的推理).∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ，∴BD＝CD. 将△ADC绕点D逆时 针旋转90°，得到△A'DB，∠A'BD＋∠ABD＝∠ACD＋∠ABD＝ 180°，故A，B，A'三点共线，∴ AB＋AC＝AB＋A'B＝ A'A(点拨：截长补短法).∵由旋转可知∠A'DB＝∠ADC，A'D＝ AD，∴∠A'DA＝∠A'DB＋∠BDA＝∠ADC＋∠BDA＝∠BDC＝ 90°，∴△ADA'为等腰直角三角形， ∴ ＝ ，∴ ＝ .故选A. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [一题多解]本题可利用特殊位置求解.当点A在BC的垂直平分线上时， AD 为☉O的直径，易得AB＝AC＝ BC，∴ ＝ ＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 4 圆的基本性质综合题 [2024·苏州改编]如图，△ABC中，AB＝4 ，D为AB的中点， ∠BAC＝∠BCD， cos ∠ADC＝ ，☉O是△ACD的外接圆. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (1)求BC的长； [分析]解答第2问时，可利用△BAC∽△BCD得到 ＝ ，再利用勾 股定理建立方程求解；解答第3问时，可考虑构造出含直径的直角三角 形，利用勾股定理计算出直径. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析](1)∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD， ∴ ＝ . ∵AB＝4 ，D为AB的中点， ∴BD＝AD＝2 ， ∴BC2＝16， ∴BC＝4. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (2)求AC的长； [解析](2)如图，过点A作AE⊥CD于点E. ∵在Rt△AED中， cos ∠CDA＝ ＝ ，AD＝2 ， ∴DE＝1， ∴AE＝ ＝ . ∵△BAC∽△BCD， ∴ ＝ ＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 设CD＝x，则AC＝ x，CE＝x－1. ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， ∴( x)2＝(x－1)2＋()2，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4(舍去)， ∴CD＝2，∴AC＝2 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (3)求☉O的半径. [解析](3)如图，连接CO并延长，交☉O于点F，连接AF. ∵∠AFC与∠ADC都是 所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC， ∴ cos ∠AFC＝ cos ∠ADC＝ . ∵CF为☉O的直径， ∴∠CAF＝90°， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- ∴ sin ∠AFC＝ ＝ sin ∠CDA＝ ＝ ， ∴CF＝ ，∴☉O的半径为 . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 　与圆有关的位置关系 1 与切线性质相关的简单计算 [2024·泰安]如图，AB是☉O的直径，AH是☉O的切线，点C为☉O上 任意一点，点D为 的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相 交于点F，连接AD，若DF＝1，tan B＝ ，则AE的长为 　 　. 　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]∵AB是☉O的直径，∴∠ADF＝∠ADB＝90°.∵AH是☉O的 切线，∴ ∠BAF＝90°(依据：圆的切线垂直于过切点的半径)， ∴∠DAF＝90°－∠DAB＝∠ABD，∴△DAF∽△DBA，∴ ＝ ＝tan B＝ .又∵DF＝1，∴AD＝2，∴AF＝ ＝ .∵点D为 的中点，∴ ＝ ，∴∠DAC＝∠ABD＝∠DAF. 又∵∠ADE＝∠ADF＝90°，∴∠AED＝∠AFD，∴ AE＝AF＝　 (依据：等角对等边). 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 2 三角形的内切圆、内心 [2023·聊城改编]如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内 心，连接OB，IA. 若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　C　) C A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 25° 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [分析]根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，再根据角平分线 的定义得到∠BAC的度数.连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝ 2∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可得到答案. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]如图，连接OC. ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC. ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝70°. ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝140°. ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝ ×(180°－∠BOC)＝ ×(180°－140°)＝ 20°. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 3 与切线的判定和性质相关的证明与计算 [2024·湖北]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以 CE为直径的☉O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (1)求证：AB是☉O的切线； [解析](1)证明：如图，连接OD. ∵BD＝BC，OB＝OB，OD＝OC， ∴△OBD≌△OBC(SSS)， ∴∠ODB＝∠OCB＝90°，即OD⊥BD. 又∵OD为☉O的半径，∴AB是☉O的切线. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (2)若AD＝ ，AE＝1，求 的长. [解析](2)∵∠ODB＝90°，∴∠ODA＝90°. 设☉O的半径为x. 在Rt△AOD中，AO2＝OD2＋AD2， 即(x＋1)2＝x2＋()2， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 解得x＝1，∴OD＝OC＝1，OA＝2， ∴ cos ∠AOD＝ ＝ ，∴∠AOD＝60°. ∵△OBD≌△OBC， ∴∠BOD＝∠COF＝ ×(180°－60°)＝60°， ∴ 的长为 ＝ . 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 圆中与切线相关的常见辅助线 判定切线时，连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂 线；有切线时，常常连接切点和该圆的圆心得到半径. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 4与切线性质相关的实际应用 [2024·滨州]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古 典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释 《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容 圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含 c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d， 下列表达式错误的是(　D　) 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- A. d＝a＋b－c B. d＝ C. d＝ D. d＝｜(a－b)(c－b)｜ 答案：D 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]方法一：本题作为选择题，用特殊值法可快速定位答案. ∵三角形ABC为直角三角形， ∴令a＝3，b＝4，c＝5. 选项A：d＝a＋b－c＝2， 选项B：d＝ ＝2， 选项C：d＝ ＝2， 选项D：d＝｜(a－b)(c－b)｜＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 方法二：如图，过点O作OE⊥AC于点E， OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F，连接AO， BO，CO. 易证得四边形OECD是正方形， 设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b－r，BD＝BF＝a－r. ∵AF＋BF＝AB， ∴b－r＋a－r＝c， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- ∴r＝ ， ∴d＝a＋b－c.故选项A正确. ∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB， ∴ ab＝ ar＋ br＋cr， ∴ab＝r(a＋b＋c)， ∴r＝ ，∴d＝ .故选项B正确. ∵由前面可知d＝a＋b－c， 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- ∴d2＝(a＋b－c)2＝(a＋b)2－2c(a＋b)＋c2＝a2＋ 2ab＋b2－2ac－2bc＋c2. ∵a2＋b2＝c2， ∴上述式子＝2c2＋2ab－2ac－2bc＝2(c2＋ab－ac －bc)＝2[(c2－ac)＋b(a－c)]＝2(c－a)(c－b)， ∴d＝ ，故选项C正确. 用排除法可知选项D错误. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 5 圆的有关计算 [2024·江西]如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连 接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°. (1)求证：BD是半圆O的切线； [分析](1)根据圆周角定理得到∠ACB＝90°， 进而得到∠D＋∠CAB＝90°⇒∠ABD＝90°， 根据切线的判定定理即可得到结论. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析](1)证明：方法一　∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°. 又∵∠D＝60°， ∴∠ABD＝90°， ∴BD⊥OB. 又∵OB是半圆O的半径， ∴BD是半圆O的切线. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 方法二　∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＋∠ABC＝90°. 又∵∠D＝∠ABC， ∴∠CAB＋∠D＝90°， ∴∠ABD＝90°， ∴BD⊥OB. 又∵OB是半圆的半径， ∴BD是半圆O的切线. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- (2)当BC＝3时，求 的长. [分析](2)连接OC，根据圆周定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，再根 据等边三角形的性质得到OC＝BC＝3，由弧长公式得 ＝ ＝ 2π. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]((2)如图，连接OC. 在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°. 又∵OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴OC＝BC＝3，∴ ＝ ＝2π. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 　与圆有关的计算 1 阴影部分面积的计算 1. (直接和差法)[2024·吉林]某新建学校因场地限制，要合理规划体育场 地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由☉O和扇形OBC 组成，OB，OC分别与☉O交于点A，D. OA＝1 m，OB＝10 m， ∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 　11π　 m2(结果保留π). 11π　 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]S阴影＝S扇形OBC－S扇形OAD＝ － ＝ ＝ 11π(m2). [易错剖析]圆心角为n°，半径为R的扇形的面积为 ，不要与弧长 公式混淆. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 2. (面积比较法)[2024·威海]如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点 C是AO的中点，过点C作CE⊥AO交 于点E，过点E作 ED⊥OB，垂足为点D. 在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部 分的概率是(　B　) A. B. C. D. B 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]∵∠AOB＝90°，CE⊥AO，ED⊥OB，∴ 四边形OCED是 矩形(依据：有三个角是直角的四边形是矩形)，∴DE＝OC，S△OCE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形OBE. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- ∵点C是AO的中点，∴DE＝OC＝ OA＝ OE，∴ sin ∠EOD＝ ＝ ，∴∠EOD＝30°，∴S阴影＝S扇形OBE＝ ＝ .又 ∵S扇形OAB＝ ＝ ，∴点P落在阴影部分的概率是 ＝ ＝ . [易错剖析]某事件发生的概率＝该事件占有的面积与总面积之比.利用 面积和差，用扇形的面积表示阴影部分的面积是解题关键. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 2 圆锥的计算 [2024·烟台]如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心， 以FB的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这 个圆锥的底面半径为　. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝ ∠AFE＝∠E＝ ＝120°，AB＝AF＝EF ＝DE＝6，∴∠AFB＝∠ABF＝∠EFD＝∠EDF＝ ×(180°－120°)＝30°，∴∠BFD＝120°－2×30° ＝60°.如图，过点A作AG⊥BF于点G，则BF＝ 2FG＝2AF· cos 30°＝2×6× ＝6 .设这个圆锥 的底面半径为r，则2πr＝ ×6 ，∴r＝ . [解题通法]根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根 据直角三角形的边角关系求出扇形的半径，由弧长的计算公式进行计算 即可. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 3 圆与正多边形的相关计算 (新课标·数学文化)[2023·福建]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术 注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方 法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他 用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6，如图，☉O的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可 得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形 作近似估计，可得π 的估计值为(　C　) C A. B. 2 C. 3 D. 2 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- [解析]  如图，过点A作AC⊥OB于点C(关键辅助线)，∵∠AOC ＝ ＝30°，∴AC＝ OA＝ ，∴正十二边形的面积为12× ×1× ＝3，∴☉O的面积近似为3，∴π×12≈3，∴π≈3 .故选C. 首页 目录 考点梳理 母题剖析 考向1 考向2 考向3 -1- 本讲内容结束 -1- $$