专题4　相交线和平行线与三角形课件2025年湖北省中考数学基础夯实

2025-03-19

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专题四　相交线和平方线与三角形 -1- 1 目录 1 考点梳理 2 2 母题剖析 -1- 1. 掌握线段的基本性质和应用，会进行角的大小比较和运算，掌握相交线与平行线的性质和应用. 2. 了解五种基本尺规作图方法，掌握尺规作图的基本操作，规范尺规作图用语，掌握尺规作图典型题分析，会利用格点完成作图. 3. 了解三角形的性质，掌握与三角形有关的重要线段，掌握全等三角形的判定与性质. 首页目录考点梳理母题剖析 -1- 4. 了解线段垂直平分线与角平分线的性质，掌握特殊三角形的性质及判定. 5. 了解比例线段的性质，掌握平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质及判定，并能正确应用. 6. 了解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，能正确地解直角三角形并能进行实际应用. 首页目录考点梳理母题剖析 -1- 1. 通过线段、角、相交线与平行线的性质，掌握平行线的判定方法，会解决相交线与平行线的综合问题. 2. 结合实际尺规作图题的分析，练习、掌握尺规作图的方法，并能进行格点作图. 3. 通过了解三角形的边、角、中线、高线、角平分线、中位线等知识，掌握三角形的性质，并结合全等三角形的性质构造全等三角形，从而判定三角形全等. 首页目录考点梳理母题剖析 -1- 4. 了解等腰三角形与直角三角形的性质，结合练习熟练运用勾股定理及其逆定理，并注意特殊三角形的解不止一个. 5. 结合练习掌握相似三角形的判定，注意边角对应关系不明确时，要分类讨论，通过建立相似模型解决实际应用中的计算问题. 6. 通过特殊角的三角函数值解直角三角形，实际应用中要会构造直角三角形，注意彼此的联系. 首页目录考点梳理母题剖析 -1- 考点综述考点梳理 01 -1- 　线段、角、相交线与平行线一、直线和线段 1. 直线的基本事实：经过　两　点有一条直线，并且只有一条直线. 2. 线段的基本事实：两点之间，　线段　最短. 3. 线段的和与差：如图1，在线段AC上取一点B，则AB＋　BC　＝ AC，AB＝　AC　－BC，BC＝AC－AB. 　两　线段　 BC　 AC　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 4. 线段的中点：如图2，线段AB上的一点M，把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么M就叫作AB的中点，此时，有AM＝MB＝　 AB，AB＝2AM＝2MB. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 二、角 1. 角的类型类型锐角直角钝角平角周角 α的取值或取值范围 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° α＝180° α＝360° 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 度、分、秒的换算：1°＝60'，1'＝60″，1°＝3 600″. 3. 余角和补角定义性质余角如果两个角的和等于　90°　，那么这两个角互余同角(或等角)的余角相等补角如果两个角的和等于　180°　，那么这两个角互补同角(或等角)的补角　相等　 90°　 180°　相等　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 三、相交线图形对顶角举例：如图，∠1和∠3，∠2和∠4. 性质：对顶角相等邻补角举例：如图，∠1与∠4，∠1与∠2，∠3与∠4， ∠2与∠3. 性质：邻补角之和等于180° 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 三线八角同位角：如图，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7， ∠4与∠8. 内错角：如图，∠2与∠8，∠3与∠5. 同旁内角：如图，∠2与∠5，∠3与∠8 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 四、垂线 1. 在同一平面内，过一点有且仅有　一条　直线与已知直线垂直. 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，　垂线段　最短. 一条　垂线段　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 五、平行线 1. 平行公理及其推论公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行，即如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 平行线的性质与判定同位角　相等　两直线平行内错角　相等　两直线平行同旁内角　互补　两直线平行相等　相等　互补　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 六、距离 1. 两点间的距离：连接两点之间的线段长度. 2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 3. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 平行线间的距离处处相等. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 　五种基本尺规作图类型图示步骤作图依据 1.作一条线段等于已知线段 (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，a为半径画弧，交射线OP于点A，则OA 即为所求作的线段圆上的点到圆心的距离等于半径　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 2.作一个角等于已知角 (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，交∠α的两边于点P， Q； (2)画一条射线O'A，以点O'为圆心，　OP(或OQ)　的长为半径画弧，交射线O'A于点 M；三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 OP(或OQ)　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 2.作一个角等于已知角 (3)以点M为圆心，PQ的长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点N； (4)过点N作射线O'B，则 ∠AO'B即为所求作的角三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 3.作角的平分线 (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，交射线OA于点N，交射线OB于点M； (2)分别以点M，N为圆心， MN 　的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； (3)作射线OP，则OP即为所求作的角平分线三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线大于 MN　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 4.作线段的垂直平分线 (1)分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； (2)作直线MN，则MN即为所求作的垂直平分线到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 5.过点作已知直线的垂线点在直线上 (1)以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧画弧，交直线于点A和点B； (2)分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； (3)作直线MN，则MN即为所求作的垂线到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型图示步骤作图依据 5.点作已知直线的垂线点在直线外 (1)任取一点M，使点M和点P在直线的两侧； (2)以点P为圆心，　PM　的长为半径画弧，交直线于点A 和点B； (3)分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点N； (4)作直线PN，则PN即为所求的垂线到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 PM　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 　三角形及全等三角形一、一般三角形及其性质 1. 三角形的分类按边分三边都不相等的三角形等腰三角形：底≠腰的等腰三角形、　等边三角形　按角分：锐角三角形、　直角三角形　、钝角三角形　等边三角形　直角三角形　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 三角形的边角关系 (1)三边关系：　三角形两边的和大于第三边　，　三角形两边的差小于第三边　. (2)角的关系： ①内角和定理：　三角形三个内角的和等于180°　. ②任意一个外角　等于　与它不相邻的两个内角之和. ③任意一个外角　大于　任何一个与它不相邻的内角. 三角形两边的和大于第三边　三角形两边的差小于第三边　三角形三个内角的和等于180°　等于　大于　 (3)边角关系：同一个三角形中，等边对　等角　. 等角　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 3. 三角形中的特殊线段及直线特殊线段/直线性质 (文字语言) 示意图 (图形语言) 数学表示 (符号语言) 拓展延伸线段中线 AD是 △AB C的中线 ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝　CD　＝　 BC，S△ABD＝ S△ACD＝ S△ABC 三角形三条中线的交点为三角形的重心 CD　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 特殊线段/直线性质 (文字语言) 示意图 (图形语言) 数学表示 (符号语言) 拓展延伸线段高线 AD是 △AB C的高线 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥ 　BC　 (∠ADB＝∠ADC ＝90°) 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心 BC　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 特殊线段/直线性质 (文字语言) 示意图 (图形语言) 数学表示 (符号语言) 拓展延伸线段角平分线 AD是 △AB C的角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝　∠CAD　＝ ∠BAC (1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心； (2)内心到三角形三边的距离相等 ∠CAD　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 特殊线段/直线性质 (文字语言) 示意图 (图形语言) 数学表示 (符号语言) 拓展延伸线段中位线 DE是 △AB C的中位线 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝　 BC 适用情况：在三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线” 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 特殊线段/直性质 (文字语言) 示意图 (图形语) 数学表示 (符号语言) 拓展延伸直线垂直平分线 DE是△ABC中BC边的垂直平分线(中垂) ∵DE是△ABC中 BC边的垂直平分线，∴DE⊥BC，BE＝　C　，BD＝　CD　 (1)三角形的三条边的垂直平分线的交点为三角形的外心； (2)外心到三角形三个顶点的距离相等 CE　 CD　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 二、全等三角形的性质与判定 1. 全等三角形的性质性质一：全等三角形的对应边　相等　，对应角　相等　. 性质二：全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高线相等，周长相等，面积相等. 相等　相等　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 全等三角形的判定类型判定方法示例　三边　分别相等(SSS) ⇒ △ABC≌△DEF 两边和它们的　夹角　分别相等(SAS) ⇒ △ABC≌△DEF 三边　夹角首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型判定方法示例两角和它们的　夹边　分别相等(ASA) ⇒ △ABC≌△DEF 两角和其中一个角的对边分别相等(AAS) ⇒ △ABC≌△DEF 夹边首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 类型判定方法示例斜边和一条直角边分别相等(HL)(注：一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形) ⇒ Rt△ABC≌Rt△DEF 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 常见全等模型 (1)公共边模型　　　　　　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- (2)公共角模型(3)平行X型　　　　　　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- (4)非平行X型(5)旋转模型 (6)三角垂直模型首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 　等腰三角形与直角三角形一、特殊三角形及其性质　等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形图首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形边两腰相等三边相等 (1)两直角边互相垂直； (2)三边长满足勾股定理 (1)两直角边互相垂直； (2)三边长的比为 1∶1∶ 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形角两底角相等每一个角都等于60° 两锐角的和等于90° 两锐角均为45° 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形边角关系 (1)等边对等角； (2)等角对等边 (1)30°角所对的直角边是斜边的一半； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形对称性是轴对称图形，有1条对称轴是轴对称图形，有3条对称轴 / 是轴对称图形，有1条对称轴首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形判定 60° 90° 相等首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形面积计算公式 S＝ ahah 　 S＝ ah ＝　 a2 ( h＝ a) S＝ ch＝　a b　 S＝ a2＝ ch＝ c2＝ ah ah 　 ab 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 二、角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离　相等　.如图，若OC平分 ∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB，则PM＝　PN　. 2. 判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 相等　 PN　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 三、线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的　距离　相等. 2. 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 距离　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 　相似三角形及其应用一、相似的有关概念 1. 比例的性质 (1) ＝ ⇒ad＝bc(b，d≠0). (2) ＝ ⇒ ＝ (b，d≠0). (3) ＝＝…＝ ⇒ ＝ (b，d，…，n≠0，b＋d＋…＋ n≠0). 　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果 AC是线段AB和BC 的比例中项，且＝＝ ≈0.618，那么点 C叫作线段AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 3. 平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段　成比例　. 如图1，当l1∥l2∥l3时，有＝，＝等. 成比例　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 如图2，当DE∥BC时，有＝　　，＝；如图3，当DE∥BC时，有＝　　. 　　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 二、相似三角形的性质与判定 1. 定义：两个三角形的角对应相等，边对应成比例，那么这两个三角形叫作相似三角形. 2. 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边　成比例　. (2)相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比. (3)相似三角形的面积之比等于相似比的　平方　. 成比例　平方　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 3. 判定 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所构成的三角形与原三角形相似. (2)两角分别相等的两个三角形相似. (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4) 　三边　成比例的两个三角形相似. (5)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似. 三边　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 　三角函数及其实际应用一、锐角三角函数　 1. 锐角三角函数的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则有： ∠A的正弦： sin A＝　； ∠A的余弦： cos A＝　； ∠A的正切：tan A＝　 . 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 2. 特殊角的三角函数值记忆法 (1)图表记忆法：　α 三角函数　　 30° 45° 60° sin α —————— —————— cos α —————— —————— tan α 1 1 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- (2)规律记忆法：30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；30°，45°，60°角的余弦值分别等于60°，45°， 30°角的正弦值. 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 二、锐角三角函数的实际应用 1. 仰角、俯角：如图1，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫　仰角　，视线在水平线下方的角叫　俯角　. 2. 坡度(坡比)、坡角：如图2，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i＝tan α ＝　 . 仰角　俯角　　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 3. 方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南) 偏东(西)多少度，如图3，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向). 首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 几何测量问题中，计算结果要求精确到哪一位，即将结果四舍五入到哪一位，如：3.146 5保留整数是　3　，精确到0.1或精确到十分位为　3.1　，精确到0.01或百分位为　3.15　. 3　 3.1　 3.15　首页目录考点梳理母题剖析考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 -1- 考点综述母题剖析 02 -1- 　线段、角、相交线与平行线　 1相交线 1. [2024·常州]如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点 A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这一判断过程体现的数学依据是(　A　) A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]根据垂线段最短判断即可. [解析]F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. (新课标·跨学科试题)[2024·山西]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　C　) A. 155° B. 125° C. 115° D. 65° C 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3＝90°. ∵重力G的方向竖直向下， ∴α＋∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°－α＝90°－25°＝65°. ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴β＋∠2＝180°， ∴β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°. [高分突破]正确地识别图形是解题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2 平行线的判定 1. [2024·泸州]把一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝(　B　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° [解题思维]本题考查了平行线的性质，三角尺中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键.如图，利用平行线的性质得到∠3＝135°，再根据平角的定义求解，即可解题. B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图， ∵直角三角尺位于两条平行线间且∠1＝45°， ∴∠3＝135°，又∵直角三角尺含30°角， ∴180°－∠2－∠3＝30°， ∴∠2＝15°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2023·苏州]如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是 (　B　) A. 连接AB，则AB∥PQ B. 连接BC，则BC∥PQ C. 连接BD，则BD⊥PQ D. 连接AD，则AD⊥PQ B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位长度，点B 向上平移3个单位长度后，点B不在直线PQ上，∴AB与PQ不平行，选项A错误.连接BC，将点B平移到点P，即为向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，将点C按点B的方式平移后，点C在直线PQ上，∴BC∥PQ，选项B正确.连接BD，AD，并延长与直线PQ 相交，根据垂直的定义，可知BD，AD与PQ不垂直，选项C，D错误. [高分突破]平行的本质是平移，将线段平移后观察是否重合而判定是否平行是解题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3 利用平行线的性质求角度 1. [2024·陕西]如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　B　) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 第1题图 [解析]∵AB∥DC，∴∠B＋∠C＝180°.∵BC∥DE，∴∠C＝ ∠D，∴∠B＋∠D＝180°. ∵∠B＝145°，∴∠D＝180°－∠B＝35°. B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·苏州]如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为(　B　) 第2题图 A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° B [解析]∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝65°. 又∵∠2＝∠120°，∴∠3＝∠2－∠ACD＝55°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 4 与直尺或直角三角尺结合 [2024·盐城]小明将一块直角三角尺摆放在直尺上，如图，若∠1＝ 55°，则∠2的度数为(　B　) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，∵直尺的两边平行，∠1＝55°， ∴∠ABC＝∠1＝55°，∠2＝∠ACB. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC ＝180°－90°－55°＝35°， ∴∠2＝∠ACB＝35°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 5 平行线的性质与实际情境结合 (新课标·跨学科试题)[2024·达州]当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示).图中∠1＝80°， ∠2＝40°，则∠3的度数为(　B　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵水平面与容器底面平行(隐含条件)，∴∠1＝∠2＋∠3.又∵∠1 ＝80°，∠2＝40°，∴∠3＝∠1－∠2＝80°－40°＝40°. [高分突破]水平面与容器底面平行是隐含条件，熟记平行线的性质定理是解题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　五种基本尺规作图　 1 根据作图步骤或痕迹进行计算 [2024·临沂]如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP；分别以A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点D， E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q. 若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为　 . 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，过点F作FH⊥AN于点H. 由作图可得∠BAP＝∠CAP， DE⊥AB，AF＝BF＝ AB ＝2.∵∠PQE＝67.5°，∴∠AQF＝67.5°， ∴∠CAP＝∠BAP＝90°－67.5°＝22.5°， ∴∠FAH＝45°，∴AH＝FH＝ AF＝， ∴F到AN的距离为 . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2 根据要求尺规作图 1. [2024·威海]【感悟】如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB ＝AE，BC＝DE. 求证：∠BAC＝∠EAD. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E的左侧)，使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC(不写作法，保留作图痕迹)； [解析][感悟]证明：∵AB＝AE，∴∠B＝∠E. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED， ∴∠BAC＝∠EAD. [应用](1)作图如图1所示. 【应用】首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点 E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB(不写作法，保留作图痕迹). [解析](2)作图如图2所示. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4). 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出 △A1B1C1； [解析](1)△A1B1C1如图所示. (2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； [解析](2)40. (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标. [解析](3)(3，0)或(4，2)或(5，4)或(6，6).(写出一个即可) [解题突破]本题第(3)问需要学生利用网格得到△ABC的边AB，AC的长，判断出AB＝AC＝5，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，判断出点E在BC的垂直平分线上，即可解决问题. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　3　网格作图及相关计算(无刻度直尺作图) 1. [2023·安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点). (1)画出线段AB 关于直线CD对称的线段A1B1； [解析](1)线段A1B1如图所示. 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； [解析](2)线段A2B2如图所示. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分 AB. [解析](3)点M，N如图所示. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 利用网格及无刻度直尺作图时常见的问题及方法 1. 找中点，如图1 ，点M即为线段AB的中点(虚线为所作辅助线). 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. 作垂线，如图2，CD⊥AB. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 注意：作AB的垂线时，需观察AB的端点及所经过的网格的情况，视具体情况灵活作图. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·武汉]如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (1)在图1中，画射线 AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积； [解析](1)如图1，射线AD即为所求. (2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB； [解析](2)如图1，点E即为所求. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (3)在图2中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； [解析](3)如图2，点F及射线AF即为所求. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN(点A 与点M对应，点B与点N对应). [解析](4)如图2，线段MN即为所求. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　三角形及全等三角形　1　三角形及边角关系　 1. [2023·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 (　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵△ABC为等腰三角形∴AB＝AC或AC＝BC. 当AC＝BC＝4 时，AD＋CD＝AC＝4，此时不满足三角形的三边关系；当AC＝AB ＝3时，AD＋CD＞AC，满足三角形的三边关系，∴AC＝3. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. (新考法·结合三等分角考查规律探究)[2024·达州]如图，在△ABC 中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且 ∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝ ∠CBD. 在△ABE1中，AE2，BE2 分别是内角∠E1AB、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD……以此规律作下去.若∠C＝m°，则∠En＝　 m　度. m　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]由题意，得∠E1AD＝ ∠ACB，∠E1BD＝ ∠CBD，设 ∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β.由三角形的外角的性质得：β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，则∠E1＝ ∠C，同理可得：∠E2＝ ∠E1＝ ∠C，…，∠En＝ ∠C，即∠En＝ m°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2 三角形全等的判定 1. [2024·泸州]如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且 DE＝BF. 求证：∠1＝∠2. [分析]本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、先由平行四边形的性质得到AD＝CB，AD∥CB，则∠ADE＝ ∠CBF，再证明△ADE≌△CBF(SAS)，即可证明∠1＝∠2. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠ADE＝∠CBF，又∵DE＝BF， ∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴∠1＝∠2. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·北京]下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点 C，D； (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC的长为半径画弧，交O'A'于点C'，以点C'为圆心，CD的长为半径画弧，两弧交于点D'； (3)过点D' 作射线O'B' ，则∠A'O'B'＝∠AOB. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB. 其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(　A　) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 [解析]由题中作图过程可得，O'C'＝O'D'＝OC＝OD，C'D'＝CD， ∴△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴判定△C'O'D'≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等. A 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　3　全等三角形的判定与性质的综合应用 1. [2024·内江]如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE， AC＝DF，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； [分析]本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. (1)先证明AB＝DE，再结合已知条件可得结论；　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析](1)证明：∵AD＝BE， ∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，又∵AC＝DF，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SSS). 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数. [分析]本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. (2)证明∠A＝∠FDE＝55°，再结合三角形的内角和定理可得结论. [解析](2)∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°， ∴∠FDE＝∠A＝55°. ∵∠E＝45°， ∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·内江]如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D， P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为　2 　. 2 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作 FH⊥BC于点H. 利用三角形内心的定义可得出∠ABD＝∠CBD，利用SAS证明△BFP≌△BEP，得出PF＝PE，则PE＋PC＝PF＋ PC≥CF，当C，P，F三点共线时，PE＋PC最小，最小值为CF. 利用含30°的直角三角形的性质求出BH，利用勾股定理求出FH，CF 即可. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接 PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H. ∵I是△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，又BP＝BP， ∴△BFP≌△BEP(SAS)， ∴PF＝PE， ∴PE＋PC＝PF＋PC≥CF，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 当C，P，F三点共线时，PE＋PC最小，最小值为CF. ∵FH⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°， ∴BH＝ BF＝1， ∴FH＝＝， CH＝BC－BH＝7， ∴CF＝＝2 ， ∴PE＋PC的最小值为2 . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　等腰三角形与直角三角形　 1 等腰三角形 1. [2024·湖南]一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是　100　度. [分析]本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可. 100　 [解析]∵其底角为40°，∴其顶角＝180°－40°×2＝100°. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·重庆B]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长度为　2　. 2　 [解析]∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝ (180°－∠A)＝ 72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°＝∠C， ∴AD＝BD，BD＝BC，∴AD＝BC＝2. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [高分突破]熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3. (新课标　项目式学习)[2024·滨州] 【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝ AC，即知AB＋BD＝AC＋CD. 若把①中的BD＝CD替换为AB＋ BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝ ∠C，并分别提供了不同的证明方法. 小军证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 小民证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB与△ADC均为直角三角形，根据勾股定理，得…… 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 【问题解决】 (1)完成①的证明； [分析](1)根据AD⊥BC，可以得到∠ADB＝∠ADC＝90°，然后根据 SAS可以证明△ADB≌△ADC，从而可以得到结论成立； [解析](1)证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△ADB和△ADC中， ∴△ADB≌△ADC， ∴∠B＝∠C. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析](2)根据小军的证明过程可知：分别延长DB，DC至点E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；由小民的证明过程可知，是根据勾股定理和相似三角形的判定和性质求得结论成立的，写出相应的证明过程即可. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析](2)补充完整小军的证明过程如下：分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，如图所示. ∵AB＋BD＝AC＋CD，∴BE＋BD＝CF＋CD，即DE＝DF. ∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF，∴∠E＝∠F. ∵BE＝BA，CF＝CA，∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF. 又∵∠ABC＝∠E＋∠BAE， ∠ACB＝∠F＋∠CAF，∴∠ABC＝∠ACB. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 补充完整小民的证明过程如下： ∵AD⊥BC，∴△ADB与△ADC均为直角三角形，根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2， ∴AB2－BD2＝AC2－CD2， ∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2. ∵AB＋BD＝AC＋CD， ∴AB－CD＝AC－BD， ∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2， ∴AB2－2AB·CD＋CD2＝AC2－2AC·BD＋BD2，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴AB·CD＝AC·BD， ∴ ＝ . 又∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴△ADB∽△ADC， ∴∠B＝∠C. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [高分突破]本题是一道三角形综合题，明确题意，找出所求问题需要的条件是关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2 直角三角形 1. [2024·广元]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点 B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为(　A　) A. B. C. 2 D. 2 A 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理.由旋转得AC＝AE，∠CAE＝90°，DE＝BC＝1，推出△ACE是等腰直角三角形，CE＝4，过点A作AH⊥CE于点H，得到HD＝1，再利用勾股定理求出AD的长. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]由旋转得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠CAE＝90°，DE＝BC＝1， ∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD＋DE＝3＋1＝4. 如图，过点A作AH⊥CE于点H，则AH＝ CE＝CH＝HE＝2， ∴HD＝HE－DE＝2－1＝1， ∴AD＝＝＝ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·安徽]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(　B　) A. － B. － C. 2 －2 D. 2 － B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、对顶角的性质、勾股定理.过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，则∠BED＝90°.由 ∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝2 ，∠A＝∠ABC＝ 45°，进而得到CD＝2 ，∠DBE＝45°，即得△BDE为等腰直角三角形，故得到DE＝BE. 设DE＝BE＝x，由勾股定理得＋x2 ＝，求出x即可求解.正确作出辅助线是解本题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，则∠BED＝90°. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝＝2 ，∠A＝∠ABC＝45°， ∴CD＝2 ，∠DBE＝45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE＝BE. 设DE＝BE＝x，则CE＝2＋x. 在Rt△CDE中，CE2＋DE2＝CD2，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴(2＋x)2＋x2＝(2 )2，解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去)， ∴DE＝BE＝－1， ∴BD＝＝－ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3. [2024·北京]已知∠MAN＝α(0°＜α＜45°)，点B，C分别在射线 AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°－2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； [解析](1)证明：如图1，连接CD. ∵BC＝BD，∠CBD＝180°－2α， ∴∠1＝ (180°－∠CBD)＝α， ∴∠1＝∠A，∴CD＝CA. ∵∠2＝90°－∠A＝90°－α， ∠3＝90°－∠1＝90°－α， ∴∠2＝∠3，∴CD＝CE， ∴CA＝CE，即点C为AE的中点. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F. 用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明. [解析](2)EF＝2AC. 证明：如图2，在AM上取点H，使BH＝BA，连接DH，则∠4＝∠A ＝α， ∴∠ABH＝180°－2α＝∠CBD， ∴∠6＝∠9. 又AB＝HB，CB＝DB，∴△ABC≌△HBD， ∴DH＝AC，∠5＝∠A＝α，∴∠DHF＝2α. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∵DF∥AB，∴∠7＝∠A＝α，∠FDE＝90°. 取EF的中点G，连接DG，则EF＝2DG，DG＝FG， ∴∠8＝∠7＝α，∴∠DGH＝2α＝∠DHF， ∴DH＝DG，∴DG＝AC， ∴EF＝2AC. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　相似三角形及其应用　1　三角形的相似比 1. [2024·重庆A]若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　D　) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9 [解析]相似三角形的面积比等于相似比的平方. 　 D 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·临夏州]如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ ∠120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足 AA'＝ AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是　　. 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵AD是 △ABC底边的中线，∴AD⊥BC. 在Rt△ABD中， sin B＝＝， ∴AD＝ ×2＝1，∴BD＝＝，∴AA'＝ AD＝， ∴A'D＝1－＝ .令A'B'与BD的交点为M，A'C'与CD的交点为 N，由平移可知∠A'MD＝∠B＝30°，在Rt△A'DM中，tan ∠A'MD＝＝，∴MD＝＝ .∵A'M＝A'N，∴MN＝ 2MD＝，∴S重叠部分＝ MN·A'D＝ × × ＝ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2 相似三角形的性质与判定 1. (新课标　开放性试题)[2024·滨州] 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是　∠ADE＝∠C(答案不唯一)　.(写出一种情况即可) [解析]由相似三角形的判定方法即可得到答案. ∠ADE＝∠C(答案不唯一)　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·乐山]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，若＝，则＝　　. 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离， ∴ ＝＝ .∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴ ＝＝＝ . [高分突破]注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.另外，灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3. [2024·巴中]如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA＝1，则OG＝(　C　) A. B. C. D. C 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵图中12个直角三角形都相似， 360°÷12＝30°， ∴每个直角三角形中较小的锐角都为30°. 在Rt△OAB中， cos ∠AOB＝， ∵∠AOB＝30°，∴ cos ∠AOB＝＝ . 同理可得：＝，…，＝， ∴ ＝( )6＝ . ∵OA＝1，∴OG＝ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 4. [2023·东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC， AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 (　C　) A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 C 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠CAD＋∠ADC＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠BDE＋∠ADC＝ 120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴ ＝ .∵BD ＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴ ＝， ∴AD＝3. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 5. [2024·连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　D　) A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 [解析]如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形. D 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3 赵爽弦图 (新课标·数学文化)[2024·武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD. 直线MP交正方形ABCD 的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示的值是　　. 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]方法一：如图1，延长FE至点H，使得AH＝AE，∴∠H＝ ∠AEH＝∠BEP. 又∠AMH＝∠PMN＝∠MPN＝45°，∴△MAH∽△PBE，∴ ＝＝＝k，∴PB＝kAM. 由题意得AN＝PB，BN＝AM，∴MN＝(k－1)AM，AB＝ AM，∴ ＝ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 方法二：如图2，过点E作EI⊥AN于点I(关键点：构造“A”字型相似模型)，∴EI∥BN，∴△AEI∽△ABN，∴ ＝＝ .设 EI＝b，则BN＝(1＋k)b，∴AM＝(1＋k)b.∵∠AME＝∠PMN＝ 45°，∴△MEI是等腰直角三角形，∴IM＝EI＝b，∴AI＝kb. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∵EI∥BN，∴ ＝＝，∴IN＝k2b，∴AN＝kb＋k2b＝k(k＋1)b，∴MN＝(k2－1)b，S1＝AB2＝BN2＋AN2＝(k＋1)2b2＋k2(k ＋1)2b2＝(k2＋1)(k＋1)2b2，∴S2＝MN2＝(k2－1)2b2＝(k－1)2(k＋1)2b2， ∴ ＝ . 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [高分突破] 方法一：由BE＝kAE可想到构造8字型相似，再利用比例线段求解即可；方法二：见到45°可构造等腰直角三角形，再利用手拉手全等和平分线分线段成比例定理即可求解. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　4　相似综合 [2024·包头]如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF 相交于点G，H. ①求证：H是AC的中点； ②求AG∶GH∶HC； [分析](1)①根据S△ABE＝S△DCE，得出E为AD的中点，证明 △AHE≌△CHF即可；②先证明△AGB∽△HGE，得到＝＝ 2，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析](1)①证明：∵S△ABE＝S△DCE， ∴E为AD的中点， ∴AE＝DE＝ AD. ∵F是边BC的中点， ∴BF＝CF＝ BC. ∵在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAH＝∠FCH，∴AE＝CF. 又∵∠AHE＝∠CHF， ∴△AHE≌△CHF(AAS)， ∴AH＝CH， ∴H是AC的中点. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ②∵AE＝BF，AE∥BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AB∥EF，AB＝EF， ∴△AGB∽△HGE， ∴ ＝ . ∵△AHE≌△CHF， ∴EH＝FH＝ EF＝ AB，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴ ＝＝2， ∴AG＝2GH， ∴GH＝ AH＝ HC， ∴AG∶GH∶HC＝2∶1∶3；首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N. 试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论. [分析](2)连接BD交CN于点K，证明△AEB≌△DEM(AAS)，进一步证明四边形ABDM为平行四边形，得出DK为△CMN的中位线，故DK＝ MN，再证明△AEN≌△DEK，得到DK＝AN，再通过等量代换即可求解. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- (2)线段AM与线段AN之间的数量关系为：AM＝3AN，理由如下：如图，连接BD交CN于点K. ∵AB∥CD， ∴AB∥CM， ∴∠ABE＝∠DME，又∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEM， ∴△AEB≌△DEM(AAS)， ∴AB＝DM， ∴四边形ABDM为平行四边形，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴AM＝BD. ∵AB＝CD， ∴DM＝CD， ∴D为CM的中点. ∵DK∥MN， ∴ ＝＝，∠NAE＝∠KDE， ∴K为CN的中点， ∴DK为△CMN的中位线，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴DK＝ MN. ∵AE＝DE，∠AEN＝∠DEK，∠NAE＝∠KDE， ∴△AEN≌△DEK(ASA)， ∴DK＝AN， ∴AN＝ MN， ∴MN＝2AN， ∴AM＝AN＋MN＝3AN. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　三角函数及其综合应用 1 锐角三角函数　 1. [2024·天津] cos 45°－1的值等于(　A　) A. 0 B. 1 C. －1 D. －1 A 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.将 cos 45°＝代入即可求解. [解析] cos 45°－1＝ × －1＝0. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. [2024·甘肃]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝，则BC的长是(　B　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 B 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理.正确作出辅助线是解题关键.过点A作AD⊥BC于点D. 由等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD＝ BC. 根据 sin B＝＝，可求出AD＝ 4，最后根据勾股定理可求出BD＝3，即得出BC＝2BD＝6. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝AC＝5， ∴BD＝CD＝ BC. 在Rt△ABD中， sin B＝＝， ∴AD＝ AB＝ ×5＝4， ∴BD＝＝＝3， ∴BC＝2BD＝6. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3. [2024·深圳]如图，在△ABC中，AB＝BC，tan ∠B＝，D为BC 上一点，且满足＝，过D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则＝　　. 　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [分析]本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例.过点A作AH⊥BC于点H. 先设AB＝BC＝13x，根据tan ∠B＝， AH⊥CB，得AH＝5x，BH＝12x，再分别用勾股定理求出AD＝ x，AC＝ x，故 cos ∠ADC＝＝ .过点C作CM⊥AD于点 M. 运用解直角三角形得出DM＝ x，AM＝ x，代入＝，化简即可作答. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图1，过点A作AH⊥CB，垂足为点H. ∵ ＝，AB＝BC，∴设AB＝BC＝13x，则BD＝8x，DC＝5x. ∵tan∠B＝，AH⊥CB，∴ ＝ . ∵AB＝BC＝13x， ∴AH2＋BH2＝AB2＝169x2，图1 图1 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 解得AH＝5x，BH＝12x， ∴DH＝12x－8x＝4x，HC＝5x－4x＝x， ∴AD＝＝ x， AC＝＝ x， ∴ cos ∠ADC＝＝ . 如图2，过点C作CM⊥AD，垂足为点M， ∴DM＝CD· cos ∠ADC＝ x，图2 图2 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴AM＝AD－DM＝ x. ∵DE⊥AD，CM⊥AD， ∴MC∥DE， ∴ ＝＝＝ . 图2 图2 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 　2　锐角三角函数的实际应用 1. (新素材·黄鹤楼)[2024·武汉]黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有 “天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是　51　m.(参考数据：tan 63°≈2) 　 51　首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，延长BA交距水平地面102 m的水平线于点D，则BD＝102.在Rt△BDC中，∠BCD＝63°， ∴DC＝ ≈ ＝51.在Rt△ADC中，∠ACD ＝45°，∴AD＝DC＝51，∴AB＝BD－AD＝51，故测得黄鹤楼的高度是51 m. [高分突破]把实际问题转化为直角三角形问题是解决问题的关键. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 2. (新情境·测量风电塔筒的高度)[2024·甘肃]甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料可得，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.( 参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ) 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- [解析]如图，连接DF，交AH于点G. 由题意可得DF∥CE， AH⊥CE， ∴AH⊥DF，GH＝DC＝FE＝1.6 m， ∴∠AGD＝∠AGF＝90°. 在Rt△AGD中，∵∠ADG＝45°， ∴DG＝AG. 在Rt△AGF中，∵∠AFG＝53°，首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- ∴GF＝＝ ≈ ＝ AG. ∵DG＋GF＝CE＝182 m， ∴AG＋ AG＝182 m， ∴AG＝104 m， ∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6(m). 答：风电塔筒AH的高度为105.6 m. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 解直角三角形实际应用题的一般步骤 1. 审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和未知量. 2. 构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题，若不能在图中体现，则需添加适当的辅助线，作高线是常用的辅助线. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 3. 列关系式：根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素 (边、角) 之间的关系解直角三角形. 4. 检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，如含有复杂的小数等，因此要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意题目中对结果的精确位数有无要求. 首页目录考点梳理母题剖析考向1 考向2 考向3 考向4 考向5 考向6 -1- 本讲内容结束 -1- $$

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专题4 相交线和平行线与三角形 课件2025年湖北省中考数学基础夯实

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